семестр 2 / БИК2205_ДЗ_1
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ СВЯЗИ И МАССОВЫХ
КОММУНИКАЦИЙ
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ»
ФАКУЛЬТЕТ
«КИБЕРНЕТИКА И ИНФОРМАЦИОННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ»
КАФЕДРА
«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»
ОТЧЁТ ПО ДОМАШНЕЙ РАБОТЕ №1 по дисциплине «ТВиМС»
на тему: «Описательная статистика»
Выполнил |
|
|
Студент группы БИК2205 |
_______________________ |
|
Проверил |
|
|
|
_______________________ |
Владимиров А.Л. |
Москва 2024
1ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
Вкачестве исходных данных необходимо сформовать выборку из двадцати чисел по следующему условию:
′ = |
+ + , |
(1) |
|
|
( −1)+1 |
|
|
где = 1,2, … ,20.
В рамках задачи (для варианта номер три) = 3, тогда формула (1) примет вид:
′ = |
+ |
+ . |
(2) |
3 −2 |
3 −1 |
3 |
|
По формуле (2) и будет строится итоговая выборка из двадцати чисел.
|
|
2 |
ФОРМИРОВАНИЕ ВЫБОРКИ |
|
|||
|
Для |
формирования выборки используется |
последовательность |
чисел |
|||
|
, , |
, … , , |
равномерно распределённая на |
|
|
отрезке [0,1]. А |
также |
1 |
2 3 |
|
|
|
|
|
|
бернуллиевская последовательность чисел = ( |
|
≤ ), = 1,2,3, … , , где |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) – это индикатор события (он равен единице, если событие произойдёт,
и равен нулю в противном случае). Далее на основе полученных и строится выборка, описанная формулой (2).
Для непосредственного получения значений последовательности чисел
используется программа Microsoft Excel и встроенная в неё функция «СЛЧИС()»
(здесь и далее используются только внутренние функции программы Microsft
Excel). Для |
получения значений |
используется |
функция |
«ЕСЛИ()» |
по |
|
|
|
|
|
|
параметру |
(в рамках задачи |
= 0.4) |
в следующем виде: |
||
«ЕСЛИ(<значение ячейки><=0.4;1;0)». |
Ниже представлена |
таблица |
со |
||
сформированными последовательностями чисел. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
Рисунок 2.1 – Вспомогательные значения для формирования выборки
2
Далее, на основе данных из таблицы 2.1 по формуле (2) формируется итоговая выборка. Итоговая выборка ′ представлена ниже, на рисунке 2.2.
Рисунок 2.2 – Итоговая полученная выборка
3 АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННОЙ ВЫБОРКИ
На основе полученной выборки необходимо: построить вариационный ряд,
статистический ряд; рассчитать выборочное среднее и выборочную дисперсию;
поострить график выборочной функции распределения.
Вариационный ряд – это элементы выборки, расставленные в порядке возрастания. В программе Excel вариационный ряд строится с помощью функции «сортировка». Вариационный ряд представлен ниже, на рисунке 3.1.
Статистический ряд – это таблица пар чисел, где одно число – это вариант выборки, а второе – это частота встречи варианта в выборке. В программе Excel
статистический |
ряд |
строится |
с |
помощью |
функции |
«=СЧЁТЕСЛИ(<диапазон выборки>;<вариант>)». |
Статистический |
ряд |
|||
представлен ниже, на рисунке 3.2. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3 |
Рисунок 3.1 – Вариационный ряд
Рисунок 3.2 – Статистический ряд
Выборочное среднее, в программе Excel, находится с помощью функции
«=СРЗНАЧ(<диапазон выборки>)». Выборочная дисперсия, в программе Excel,
находится с помощью функции «=ДИСП.В(<диапазон выборки>)». Значения выборочного среднего и выборочной дисперсии представлены ниже, на рисунке 3.3.
Рисунок 3.3 – Значения выборочных среднего и дисперсии
4
Выборочная функция распределения строится по следующей формуле:
|
0, < 0 |
|
( ) = { 5, 0 ≤ < 1 . |
(3) |
|
|
15, 1 ≤ < 2 |
|
|
|
|
|
20, ≥ 2 |
|
График выборочной функции распределения представлен ниже, на рисунке 3.4.
Эмпирическая функция распределения
Частота n
-1
25
20
15
10
5
0
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Значение элемента x
Рисунок 3.4 – График выборочной функции распределения
4 ТЕОРИТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ
Необходимо найти теоретическую функция распределения (и построить её график), а также теоретическое математическое ожидание и теоретическую дисперсию.
Теоретическая функция распределения, по условию,
теоретической функции биномиального распределения:
( ) = (1 − )−,
где = 1,2, . . ,20 – число испытаний;
– число успехов;
соответствует
(4)
5
– вероятность успеха.
Теоретические математическое ожидание и дисперсию можно найти по формулам (5) и (6) соответственно:
( ) = , |
(5) |
( ) = (1 − ). |
(6) |
С помощью программы Excel, в рамках задачи, значения для теоретической функции распределения находятся с помощью функции
«=БИНОМ.РАСП(<3>;<n>;<0,4>;ЛОЖЬ)». Значения математического ожидания и дисперсии вычисляются по вышеописанным формулам. Результаты вычислений представлены ниже на рисунке 4.1 и рисунке 4.2.
Рисунок 4.1 – Значения теоретической функции распределения
Рисунок 4.2 – Значения теоретических математического ожидания и дисперсии
6
График теоретической функции распределения строится аналогично графику эмпирической функции распределения. Он представлен ниже, на рисунке 4.3.
Теоритическая функция распределения
Теоритические значения
0,3500
0,3000
0,2500
0,2000
0,1500
0,1000
0,0500
0,0000 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Количество испытаний
Рисунок 4.3 – График теоретической функции распределения
5 СРАВНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ
Необходимо сравнить эмпирические и теоретические значения математических ожиданий, дисперсий и функций распределения.
Сравнение значений математических ожиданий и дисперсий представлено ниже, на рисунке 5.1. Из него видно, что значения сильно разнятся
(теоретические значения больше чем в восемь раз превосходят эмпирические).
Рисунок 5.1 – Сравнение значений математического ожидания и дисперсии
Сравнительный график эмпирической и теоретической функций
распределения представлен ниже, на рисунке 5.2. Из него видно, что значения
7
эмпирической функции распределения сильно больше, чем значения
теоретической функции распределения.
Сравнительный график функций распределения
2,5000
2,0000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теоритическая ФР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,0000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эмпирическая ФР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,5000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,0000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Рисунок 5.2 – График сравнения значений эмпирической и теоретической функций распределения
8