лабы / Лаба_чм_№4
.pdfМинистерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций
Российской Федерации
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
Московский технический университет связи и информатики
___________________________________________________________________
Кафедра «Информатики»
Лабораторная работа №4 по дисциплине Численные методы «Численное интегрирование»
Выполнил |
|
|
Студент группы БИК2205 |
_________________________ |
|
Проверил |
|
|
Старший преподаватель |
_________________________ |
Мацкевич А.Г. |
Москва 2024
1. Исходные данные |
|
f x 2 x3 -2 x sin x |
– исходная функция. |
a 3 b 4 |
– пределы интегрирования. |
h0 0.25 |
– начальный шаг интегрирования. |
Метод для «ручного» решения: метод трапеций.
Метод для программного решения: метод Симпсона.
2. «Ручной» расчёт
Необходимо вычислить значение определённого интеграла исходной
функции методом трапеций.
Расчёт интеграла с исходным шагом:
|
b-a |
|
– количество точек на интервале интегрирования; |
||
n |
h0 |
+1=5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
‖ |
|
|
|| |
– интервал интегрирования с учётом шага; |
‖fori 0,1 n- |
1|| |
||||
|
|
‖ |
←a+i h0 |
|
|
|
‖ |
‖xi |
|| |
|
|
|
‖ |
‖ |
|
|| |
|
‖x |
‖|
Расчёт значения интеграла: |
|
|
||||
|
b-a |
|
|
|
n-1 |
|
Ih0 |
2 n |
f x |
+f x |
|
+2 ∑ f x =10.074 |
|
|
0 |
|
length x -1 |
i=1 |
i |
|
Расчёт интеграла с половинным шагом: |
|
|||||
b-a |
|
|
– количество точек на интервале интегрирования; |
|||
n |
|
+1=9 |
|
|||
h0÷2 |
|
|
|
|
|
|
x |
‖ |
|
|
|
|
|| |
– интервал интегрирования с учётом шага; |
‖fori 0,1 n-1|| |
|||||||
|
‖ |
‖ |
|
←a+i |
h0 |
|| |
|
|
‖ |
‖x |
i |
|
|| |
|
|
|
‖ |
‖ |
|
2 |
|| |
|
|
|
‖ |
|
|
|
|||
‖x |
‖|
Расчёт значения интеграла: |
|
|
||||||
|
|
b-a |
|
|
|
n-1 |
|
|
Ih0_2 |
|
2 n |
f x |
+f x |
|
+2 ∑ f |
x =9.627 |
|
|
|
0 |
|
length x -1 |
i=1 |
i |
||
Расчёт |
оценки погрешности по правилу Рунге: |
|
||||||
p 2 |
|
– степень метода; |
|
|
||||
Ih0_2-Ih0 |
=-0.149 |
– оценка погрешности. |
||||||
R |
2p -1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Расчёт значения интеграла с помощью внутренней функции:
b
⌠⌡f x dx=9.071268 – точное значение исходного интеграла
a
3. Программный расчёт
Необходимо вычислить значение определённого интеграла исходной
функции методом Симпсона.
Входные данные: |
|
|
f x x3 |
– исходная функция; |
|
a 0 |
b 1 |
– пределы интегрирования; |
h0 0.25 |
– начальный шаг интегрирования; |
|
ε 10-4 |
|
– желаемая точность; |
p 4 |
|
– ранг метода. |
Тело программы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A ‖R←1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
||||
‖ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
‖k←1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
||||
‖while|R|≥ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| |
||||||
‖ |
|
‖ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| |
||
‖ |
|
‖ |
|
|
|
|
|
|
|
b-a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| |
||||||||||
‖ |
|
‖n← b-a +1 |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| |
|||||||||||||
‖ |
|
‖ |
|
h0 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| |
|||||||
|
|
|
|
h0 k ÷2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
‖ |
|
‖fori 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|| |
||||||
‖ |
|
‖ |
‖forj 0,1 n -1 |
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|| |
||||||||||||
‖ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|| |
|||||||||||||||
‖ |
|
‖ |
‖ |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|| |
‖ |
|
‖ |
‖ |
‖ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i+1 |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|| |
||
‖ |
|
‖ |
‖ |
‖x ←a+j h0÷ |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|| |
|||||||||||||
|
‖ |
‖ |
‖ |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
‖ |
|
‖ |
‖ |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni ÷2-1 |
|
|
|
|
ni ÷2 |
|
|
|
|
| |
|| |
||||
‖ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+f x |
|
|| |
|||||||||||
‖ |
|
‖ |
‖I ← |
|
|
|
0 |
|
f x +2 ∑ f x +4 ∑ f x |
2 |
c-1 |
n -1 |
| |
|| |
|||||||||||||||||||
‖ |
|
‖ |
‖ |
i |
|
3 |
i |
+1 |
|
|
|
|
0 |
|
c=1 |
|
2 |
c |
|
c=1 |
|
| |
|| |
||||||||||
|
‖ |
‖ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
| |
|||||||||||||||||
‖ |
|
‖ |
|
I -I |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| |
||
‖ |
|
‖ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| |
|
‖ |
|
‖R← |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| |
||
‖ |
|
‖ |
|
2p -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| |
|||
‖ |
|
‖k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| |
||
‖ |
|
‖ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| |
‖Result←I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
||||||
‖ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
‖Resultlength Result ←R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
||||||||||||||||
‖ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
‖Resultlength Result ←k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
||||||||||||||||
‖ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
‖Result |
|
|
|
|
|
– значение интеграла с большим шагом; |
|
|
|
|
|
| |
|||||||||||||||||||||
A =0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A =0.25 |
|
|
|
|
|
|
– значение интеграла с меньшим шагом; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
– значение оценки погрешности по правилу Рунге. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверка работы программы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x1 |
|
‖fori 0,1 5-1|| |
|
|
|
|
x2 ‖fori 0,1 9-1 |
|| |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
‖ |
‖ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|| |
|
|
|
|
‖ |
‖ |
|
|
|
|
|
|| |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
←a+i h0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
←a+i h0 |
÷2|| |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
‖ |
‖xi |
|
| |
| |
|
|
|
|
‖ |
‖xi |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
‖ |
‖ |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
|
|
|
|
‖ |
‖ |
|
|
|
|
|
|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‖ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
‖ |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‖x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
‖x |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
||