лабы / Лаба_чм_№2
.pdfМинистерство цифрового развития, связи и массовых
коммуникаций Российской Федерации
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
Московский технический университет связи и информатики
___________________________________________________________________
Кафедра «Информатики»
Лабораторная работа №2 по дисциплине Численные методы «Аппроксимация функций. Интерполяция функций»
Выполнил |
|
Студент группы БИК2205 |
_________________________ |
Проверил |
|
Старший преподаватель |
_________________________ Мацкевич А.Г. |
Москва 2024
1. Цель работы
Целью лабораторной работы является решение задачи интерполяции
функции в точке с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона.
2.Исходные данные
Точки интерполяции:
Для интерполяции полиномом Ньютона xa 0.16;
Для интерполяции полиномом Лагранжа xb 1.17.
Таблица значений аргумента и значений функции:
№ |
Аргумент |
Функция |
|
№ |
Аргумент |
Функция |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0.05 |
-4.1710 |
16 |
0.85 |
-1.4630 |
|
1 |
0.10 |
-4.1330 |
17 |
0.90 |
-1.0770 |
|
2 |
0.15 |
-4.0845 |
18 |
0.95 |
-0.6565 |
|
3 |
0.20 |
-4.0240 |
19 |
1.00 |
-0.2000 |
|
4 |
0.25 |
-3.9500 |
20 |
1.05 |
0.2940 |
|
5 |
0.30 |
-3.8610 |
21 |
1.10 |
0.8270 |
|
6 |
0.35 |
-3.7555 |
22 |
1.15 |
1.4005 |
|
7 |
0.40 |
-3.6320 |
23 |
1.20 |
2.0160 |
|
8 |
0.45 |
-3.4890 |
24 |
1.25 |
2.6750 |
|
9 |
0.50 |
-3.3250 |
25 |
1.30 |
3.3790 |
|
10 |
0.55 |
-3.1385 |
26 |
1.35 |
4.1295 |
|
11 |
0.60 |
-2.9280 |
27 |
1.40 |
4.9280 |
|
12 |
0.65 |
-2.6920 |
28 |
1.45 |
5.7760 |
|
13 |
0.70 |
-2.4290 |
29 |
1.50 |
6.6750 |
|
14 |
0.75 |
-2.1375 |
30 |
1.55 |
7.6265 |
|
15 |
0.80 |
-1.8160 |
|
|
|
|
3. Интерполяция полиномом Лагранжа
3.1Выбор узлов
Врамках задачи необходимо интерполировать заданную точку
полиномами Лагранжа первой, второй и третьей степени. Для этого необходимо из исходной таблицы выбрать четыре (так как максимальная степень полинома равна трём) наиближайших к исходной точке узла так, чтобы точка лежала между этими узлами. Для заданной точки это узлы под номерами 21, 22, 23, 24 из исходной таблицы. Далее необходимо перенумеровать узлы в порядке удаления от исходной точки (где нулевой узел – наиближайший).
Таблица с найденными исходными узлами (слева) и таблица с
перенумерованными узлами (справа) представлены ниже.
k |
xk |
yk |
|
k |
xk |
yk |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
1.10 |
0.8270 |
0 |
1.15 |
1.4005 |
|
22 |
1.15 |
1.4005 |
1 |
1.20 |
2.0160 |
|
23 |
1.20 |
2.0160 |
2 |
1.10 |
0.8270 |
|
24 |
1.25 |
2.6750 |
3 |
1.25 |
2.6750 |
|
3.2 Расчёт интерполяционных полиномов Лагранжа
Необходимо записать интерполяционные полиномы Лагранжа
первой, второй и третьей степени и вычислить их значение в заданной точке.
Полином перовой степени: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x-xk |
|
|
|
|
|
x-xk |
|
|
|
|
|
|
||||
L1 |
|
x |
|
|
|
|
1 |
yk |
|
+ |
|
|
0 |
yk |
|
|
=1.6467 |
||||
|
|
xk |
-xk |
|
0 |
xk |
-xk |
|
1 |
L1 xb |
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
L1 |
|
1.17-1.20 |
1.4005+ |
1.17-1.15 |
2.0160 |
||||||||||||||||
|
1.15-1.20 |
|
1.20 |
-1.15 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
L1 |
=1.6467 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Полином второй степени: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x-xk |
x-xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
x-xk |
x-xk |
|
|
|
|
|
|
|
x-xk |
x |
|||||||||||||||||||
L2 |
x |
|
-xk |
1 |
|
|
2 |
|
yk |
|
+ |
|
|
|
-xk |
0 |
|
|
2 |
|
|
yk |
+ |
|
-xk |
0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
xk |
xk |
|
-xk |
|
|
0 |
|
|
xk |
xk |
|
-xk |
|
|
1 |
|
xk |
x |
|||||||||||||||||||||
L2 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
||||||||||||
xb =1.6417 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
1.17-1.20 1.17-1.10 |
1.4005+ |
1.17-1.15 1.17-1.10 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.15-1.20 1.15-1.10 |
1.20-1.15 1.20-1.10 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
L2=1.6417 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Полином третьей степени: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x-xk |
x-xk |
|
x-xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
x-xk |
|
x-xk |
|
x-xk |
|
|
|||||||||||||||||||||
L3 |
x |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
yk |
|
+ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|||||||||||
|
|
|
xk |
-xk |
xk |
-xk |
xk |
|
-xk |
|
|
0 |
|
|
xk |
-xk |
xk |
-xk |
xk |
-x |
||||||||||||||||||||||
L3 |
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
2 |
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|||||||||
xb =1.6416 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L3 1.17-1.20 1.17-1.10 1.17-1.25 1.4005+ 1.17-1.151.15-1.20 1.15-1.10 1.15-1.25 1.20-1.15
L3=1.6416
3.3 Оценка погрешности
Далее необходимо рассчитать оценки погрешности полученных
значений для полиномов первой и второй степени. Оценка погрешности вычисляется по следующей формуле:
|f x -L |
|
x | |
≤|L x -L |
|
x | |
| |
n |
| |
| n+1 |
n |
| |
Однако в рамках задачи можно отбросить левую часть неравенства, так
как точные значения функции неизвестны.
Оценка погрешности:
R1 ||L2-L1||=5.0400 10-R32 ||L3-L2||=8.4000 10-5
Результаты вычисления оценок погрешности представлены в таблице
ниже.
Степень_полинома Значение_полинома Оценка_погрешности
1 |
1.6467 |
0.005 |
2 |
1.6417 |
8.4 10-5 |
31.6416
4.Интерполяция полиномом
Ньютона
4.1 Выбор узлов
В рамках задачи необходимо интерполировать заданную точку по
формуле Ньютона. Для этого, в рамках задачи, необходимо выбрать четыре узла из исходной таблицы. Сначала выбираются узлы с номерами один и два, причём так, чтобы точка находилась между этими узлами. Далее выбираются ещё два узла по следующему правилу: если первый (нулевой) узел находится слева от точки, а второй (первый) узел находится справа от точки, то добавлять узлы следует справа от точки; если первый (нулевой) узел находится справа от точки, второй (первый) находится слева, то узлы следует добавлять слева от точки.
Таблица с найденными исходными узлами (слева) и таблица с
перенумерованными узлами (справа) представлены ниже.
k |
xk |
yk |
|
k |
xk |
yk |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0.15 |
-4.0845 |
0 |
0.15 |
-4.0845 |
|
3 |
0.20 |
-4.0240 |
1 |
0.20 |
-4.0240 |
|
4 |
0.25 |
-3.9500 |
2 |
0.25 |
-3.9500 |
|
5 |
0.30 |
-3.8610 |
3 |
0.30 |
-3.8610 |
|
4.2 Расчёт интерполяционных полиномов Ньютона
Необходимо записать интерполяционные полиномы Ньютона
первой, второй и третьей степени и вычислить их значение в заданной точке.
Для этого сначала необходимо вычислить конечные разности
первого, второго и третьего порядка.
Разности первого порядка:
Δy0 yk1-yk0=0.0605 Δy1 yk2-yk1=0.0740 Δy2 yk3-yk2=0.0890
Разности второго порядка:
Δ2y0 Δy1-Δy0=0.0135 Δ2y1 Δy2-Δy1=0.0150
Разность третьего порядка:
Δ3y0 Δ2y1-Δ2y0=1.5000 10-3
Таблица конечных разностей:
x y Δy Δ2y Δ3y
0.15 -4.0845 0.0605 0.0135 0.0015
0.20 -4.0240 0.0740 0.0150
0.25 -3.9500 0.0890
0.30 -3.8610
Также надо определить шаг h: h x -x =0.0500
10
Далее, первая формула Ньютона:
Δy0 Δ2y0 Δny0
Pn x y0+ 1! h x-x0 + 2! h x-x0 x-x1 +
+ n! h 
x-xn-1
Преобразовав вышеописанную формулу получим формулы для
полиномов Ньютона нужной степени.
Для первой степени: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Δy |
|
|
|
|
|
|
|
P1 |
|
z |
|
y + |
0 |
|
|
z-x |
|
P1 |
|
=-4.07240000 |
|
|
1!h |
|
0 |
xa |
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
P1 -4.0845+ 10.06050.0500 0.16-0.15 =-4.0724
Для второй степени:
Δy Δ2y
P2 z y0+ 1!0h z-x0 + 2!h0 z-x0 z-x1
P2 xa =-4.07245400
P2 -4.0845+ 10.06050.0500 0.16-0.15 + 20.01350.0500 0.16-0.15 0.1
P2=-4.07245400
Для третьей степени: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Δy |
|
|
|
Δ2y |
|
|
|
|
|
Δ3y |
|
|
|
|
|
P3 |
z y + |
0 |
z-x |
+ |
0 |
z-x |
z-x |
+ |
z-x |
z-x |
|
||||||
|
0 |
1!h |
|
0 |
|
2!h |
|
0 |
|
1 |
|
3!h |
|
0 |
|
1 |
|
P3 xa =-4.07245382
P3 -4.0845+ 10.06050.0500 0.16-0.15 + 20.01350.0500 0.16-0.15 0.1
P3=-4.07245382
4.3 Оценка погрешности
Далее необходимо рассчитать оценки погрешности полученных
значений для полиномов первой и второй степени. Оценка погрешности вычисляется по следующей формуле:
|f x -L |
|
x | |
≤|P x -P |
|
x | |
| |
n |
| |
| n+1 |
n |
| |
Однако в рамках задачи можно отбросить левую часть неравенства, так
как точные значения функции неизвестны.
Оценка погрешности:
R1 ||P2-P1||=5.4000 10-5 R2 ||P3-P2||=1.8000 10-7
Результаты вычисления оценок погрешности представлены в таблице
ниже.
Степень_полинома Значение_полинома Оценка_погрешности
1 |
-4.07240000 |
5.4000 10-5 |
2 |
-4.07245400 |
1.8000 10-7 |
3-4.07245382
5. Блок схемы алгоритмов
5.1 Для интерполяции полиномом
Лагранжа
5.2 Для интерполяции полиномом Ньютона