лабы / Лаба_чм_№1

коммуникаций Российской Федерации

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное

бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Московский технический университет связи и информатики

___________________________________________________________________

Кафедра «Информатики»

Лабораторная работа №1 по дисциплине Численные методы

«Методы решения нелинейных уравнений»

Выполнил

Студент группы БИК2205

_________________________

Проверил

Старший преподаватель

_________________________ Мацкевич А.Г.

Москва 2024

6

5

4

3

2

1

F x

00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2 Аналитический способ

Для аналитического способа решения необходимо найти значения

самой функции, её первой и второй производных на некотором

промежутке (в данном случае, на промежутке x 0,0.1 1, найденном

в графическом методе).

Первая производная:

Fd1 x d F x →ex +4 e-x.

dx

Вторая производная:

Fd2 x d2

F x →ex -4 e-x.

dx2

Таблицы значений функции и её производных.

0

-4

5

-3

0.1

-3.5142

4.7245

-2.5142

0.2

-3.0535

4.4963

-2.0535

0.3

-2.6134

4.3131

-1.6134

0.4

-2.1895

4.1731

-1.1895

x=

0.5

F x = -1.7774

Fd1

x =

4.0748

Fd2

x = -0.7774

0.6

-1.3731

4.0174

-0.3731

0.7

-0.9726

4.0001

0.0274

0.8

-0.5718

4.0229

0.4282

0.9

-0.1667

4.0859

0.8333

1

0.2468

4.1898

1.2468

Видно, что на отрезке от нуля до единицы, исследуемая функция

меняет знак, значит существует, по крайне мере, один корень.

Значения первой производной исследуемой функции, на заданном

отрезке, не меняют знак, что подтверждается аналитическим анализом

выражения ex +4 e-x. Это значит, что первая производная

исследуемой функции положительна на всём отрезке от нуля до

единицы.

Из всего вышеописанного следует, что на отрезке от нуля до

единицы функция F(x) монотонна и имеет один корень.

3. Этап уточнения корня

3.1 Метод простых

итераций

3.1.1 Описание метода

В методе простых итераций необходимо привести уравнение вида

f x 0 к виду x φ x . Тогда рекуррентная формула будет иметь вид:

x φ x

, n 0,1 ∞.

n+1

n

Для сходимости метода необходимо, чтобы

| d

|

на всём

|

φ x |<1

|dx

|

выбранном отрезке, иначе сходимость не обеспечена.

Для метода простых итераций, в рамках задачи, сначала необходимо

построить рекуррентную формулу следующего вида: φ x x+λ f x ,

где параметр λ может быть определён по правилу: λ

-1 , где в

d f x

dx

знаменателе стоит максимальное по модулю значение первой

производной исследуемой функции на заданном отрезке (с

сохранением знака значения).

В рамках задачи получим следующее:

λ -1

φ x x+λ F x →-e

x

-x

- 4 e

+1 +x

5

5

Так как было совершено преобразование по вышеописанным

формулам, то метод простых итераций, в рамках задачи, сходится (в

этом и заключается одна из целей использованного преобразования).

В качестве начального приближения выбирается любая точка,

принадлежащая выбранному отрезку.

Условием окончания итерационного процесса метода простых

итераций является удовлетворение двум следующим условиям:

1.

Два последующих приближения (найденных икса) отличаются

между собой по модулю на величину, не превышающую

заданной точности.

формулой: x

φ x

n+1

n

x 0

F x

=-4

0

0

x φ

x

=0.8

F x

=-0.5718

1

0

1

x φ

x

=0.9144

F x

=-0.1079

2

1

2

x φ

x

=0.9359

F x

=-0.0193

3

2

3

вычислить следующим образом:

q

≤|x -x |

q 0.021

q

|x -x |=0.0005

1-q

| 3 2|

1-q

|

3

2|

3.2 Метод хорд

3.2.1 Описание метода

Необходимыми и достаточными условиями для сходимости метода

являются:

Исходная функция непрерывна на выбранном отрезке;

Значения функции на краях отрезка имеют разные знаки;

Первая и вторая производные исследуемой функции отличны от

нуля и сохраняют свои знаки на протяжении всего выбранного

отрезка.

Для выбора начального приближения сперва необходимо выбрать

неподвижную точку. Неподвижной точкой будет тот край отрезка, на

котором знак значения функции совпадает со знаком её второй

производной на этом же конце. Тогда второй конец отрезка

выбирается в качестве начального приближения.

Рекуррентной формулой для метода хорд является следующее

выражение, где x

– это неподвижная точка:

s

f x

x x -

n

x -x

n+1 n

f x -f x

s n

s

n

Итерационный процесс метода секущих прекращается тогда, когда

модуль разницы текущего и предыдущего приближений (иксов)

становится меньше или равен заданной точности.

3.2.2 Программная реализация

Для программной реализации необходимо задать следующие

параметры: исследуемую функцию, границы отрезка исследования [a,b],

шаг значений внутри отрезка s, желаемую точность ε.

Объявление исходных данных:

f x ex -4 e-x-1 a 0.7 b 1

s 0.1 ε 10-3 x 0

Программный блок:

0.7

‖

|

2

0.93929

xx ‖fd2 x ← d

f x

|

=

‖

dx2

|

0.9406

‖

f x

|

0.94061

‖frec x,y ←x-

f y -f x

y-x |

‖

|

‖

|

‖sum←0

b

|

‖

|

‖stps←

s

|

‖

|

‖lb←a

|

‖n←1

|

‖

|

|

‖fori 0,1 stps

|

|

‖

‖

sum←sum+sign

|

‖

‖

fd2

lb

|

|

|

‖

‖lb←lb+s

|

‖

|

‖if |sum|≠stps+1

|

|

‖

‖

|

|

‖

|

‖return“Метод не сходится”|

‖if sign f a sign f

d2

a

|

|

‖

‖x

|

|

‖

s

←a

|

|

‖

‖

←b

|

|

‖

‖

|

|

‖x0

‖else if sign f b sign

f

d2

b |

|

‖

‖x

|

|

‖

s

←b

|

|

‖

‖

←a

|

|

‖

‖

|

|

‖x0

‖

←x0

|

‖x0

|

‖

x ←f

x

,x

|

‖

0

|

1

rec

s

‖

|

≥ε

|

|

‖while|x -x

|

‖

|

n

n-1|

|

|

‖

‖

←frec

|

|

‖

‖xn

+1

xn

,xs

|

|

‖

‖

|

|

‖n←n+1

|

‖

|

‖x

|