лабы / лаба_11_задание
.pdf
так как xд (t)= x(t) |
, а спектр произведения есть свертка |
||||||||||||||
спектров сомножителей, то можно записать: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sɺxд |
(ω) |
|
∫ ɺx (ν) ɺ |
(ω− ν) ν |
|
|||||||||
|
|
2π |
|
||||||||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
ɺ |
2π |
∞ |
|
|
|
2π |
|
|
||||
= |
|
∫ |
Sx (ν) |
|
∑ |
|
ω− |
|
|
|
− ν |
ν |
|||
2π |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
n=−∞ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
∞ |
ɺ |
|
|
2π |
|
|
||||
|
|
|
= |
|
|
∑ Sx |
|
ω− |
|
|
. |
(23) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (23) отличается от (6) лишь формой записи.
7. Комплексный коэффициент передачи и импульсная реакция последовательной
RC -цепи
Для схемы рис. 5. по определению, имеем: KɺRC =Uɺ2 (ω) /Uɺ1 (ω),
Рис. 5. Интегрирующая RC-цепочка
где Uɺ1 и Uɺ2 — комплексные амплитуды напряжения на входе и выходе при гармоническом входном воздействии.
Напряжение |
Uɺ2 |
образуется |
на |
реактивном |
||||||||
сопротивлении емкости ( jωC)−1 за |
счет |
тока, |
величина |
|||||||||
которого |
определяется |
полным |
|
комплексным |
||||||||
сопротивлением цепи R+( jωC)−1 . Поэтому |
|
|
|
|||||||||
|
KɺRC (ω) |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
τ |
C . |
(24) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
1+ jωτ |
|
|||||||
|
|
|
jωC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
jωC |
|
|
|
|
|
|
|
|
Амплитудно-частотная характеристика есть модуль (24):
KɺRC (ω) |
1 |
|
(25) |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
1+(ωτ)2 |
|||||
|
|
||||
Чтобы найти импульсную реакцию |
(т. е. отклик на |
||||
δ -импульс на входе), воспользуемся преобразованием Фурье (12). Имеем:
gRC (t)= |
1 |
|
∞ |
(ω)exp( ω ) |
|
|
∫ KɺRC |
||||
2π |
|||||
|
−∞ |
|
|||
Заменяя exp( jω ) |
на |
cos(ω ) |
|||
ω |
1 ∞ |
exp( jω ) ω |
. |
|||
|
−∞∫ |
|
|
|
||
2π |
1 |
ωτ |
|
|||
sin(ω ) |
и |
домножая на |
||||
(1− jω ) (чтобы освободиться от j в знаменателе), получим:
gRC (t)= |
1 |
|
∞ |
1− jωτ |
cos |
(ω ) |
sin(ω ) |
ω |
|||||||
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
2π −∞∫ 1+(ωτ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
∞ |
cos(ω ) ω |
∞ |
ωτcos(ω ) ω |
|||||||||
= |
|
−∞∫ |
|
|
− j −∞∫ |
|
|
+ |
|||||||
2π |
1+ (ωτ)2 |
|
1 (ωτ)2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(27) |
|
|
|
|
|
∞ |
sin(ω ) |
ω |
∞ ωτsin(ω ) ω |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
+j −∞∫ |
|
+ −∞∫ |
|
|
|
|
||||||||
|
1+ (ωτ)2 |
|
1 (ωτ)2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В (27) средние интегралы дают 0 в силу нечетности подынтегральных функций. Для первого и четвертого в справочнике можно найти похожие интегралы:
∞ cos(ax)dx |
|
|
π |
|
−ab |
|
|
||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
e |
|
; a > 0, Re b > 0; |
|
b |
2 |
+ x |
2 |
|
|
2b |
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ xsin |
ax |
) |
dx |
|
|
|
|
|||||||
|
∫ |
|
|
|
( |
|
|
|
= |
π e−ab; a > 0, Re b > 0; |
(28) |
||||
|
|
|
b |
2 |
|
2 |
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
+ x |
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(см. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Изд. 5, М.: Наука, 1971, с 420).
Преобразуя первый и четвертый интегралы к табличному виду, вычисляя их по (28) и учитывая множитель перед скобкой в (27), окончательно получим:
|
1 |
|
t |
|
|
|
|
exp |
|
|
, t ≥ 0 |
|
|
|
|||
gRC (t)= |
τ |
|
π |
|
|
|
|
t < 0 |
|
|
|
0, |
|
|
|||