Лабораторная работа ¹ 15
Исследование БИХ-фильтров
1 Цель работы
С помощью программы Micro-Cap получить основные временные и частотные характеристики фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров).
2 Задание для самостоятельной подготовки
Изучить основные положения теории цепей о БИХ-фильтрах стр. 275—279 [1], стр. 540—556 [2], стр. 8—20, 489—493 [3], 351—376 [4] и 229—235 [5]. Выполнить предварительный расчет, письменно ответить на вопросы для самопроверки.
3 Предварительный расчет
3.1. Найти передаточную функцию H(z) типового звена БИХ-фильтра первого порядка (рис. 1).
Ðèñ. 1
Ãäå: yi = a 0xi + a 1xi–1 + b 1yi–1 — алгоритм работы цифрового фильтра первого порядка;
a0 = 1 - ( - 1 ) ^ N , a 1 = 1 + ( - 1 ) ^ N , b 1 =0,2+0,02*N —
коэффициенты (N - номер варианта). Проверить фильтр на устойчивость.
Рассчитать и построить импульсную характеристику данного фильтра
для 20 выходных отсчётов.
222 |
Глава первая. Описание лабораторных работ по ОТЦ |
|
|
Найти выражение для комплексного коэффициента передачи Н(j2πFT). Построить графики АЧХ — | H(j2πFT)| от частоты FT [0, 1] (T =const —
интервал дискретизации по времени) данного фильтра для двух значений коэффициента b1 , определяемых номером варианта b1=0,2+0,02*N, и b1=-0,2-0,02*N.
3.2. Найти передаточную функцию H(z) типового звена БИХ-фильтра второго порядка (рис. 2).
Ðèñ. 2
Ãäå
yi = a 0xi + a 1xi–1 + a 2xi–2 + b 1yi–1 + b 2yi–2 — алгоритм работыцифрового фильтра второго порядка;
a =1 , a =1 , a = – 2, b=0,1+0,01*N, b= -0,2-0,02*N — коэффициенты.
0 1 2 1 2
Проверить фильтр на устойчивость
Рассчитать и построить импульсную характеристику данного фильтра для 20 выходных отсчётов.
Найти выражение для комплексного коэффициента передачи Н(j2πFT).
Построить графикиАЧХ | H(j2πFT)| от частоты FT [0, 1] (T =const) данного фильтра (не менее 100 точек).
4 Порядок выполнения работы
БИХ-фильтры обладают рядом свойств:
•имеют обратную связь (рекурсия);
•импульсная характеристика имеет бесконечную длительность;
•потенциально нестабильны;
•в общем случае имеют нелинейную фазочастотную характеристику;
•более эффективны, чем КИХ-фильтры;
•могут проектироваться по характеристикам аналоговых прототипов; Рассмотрим структурную схему БИХ-фильтра (рис. 3).
Входные отсчеты xi и выходные отсчеты yi подаются на элементы задерж-
ки. Каждый отсчет умножается на соответствующие коэффициенты фильтра ak, èëè bk. Результаты умножения суммируются для получения выходных отсчетовi.
|
|
|
Лабораторная работа ¹ 15 |
223 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 3
Данный БИХ-фильтр работает в соответствии со следующим алгоритмом
y i = ∑m |
a k x i −k +∑ n |
b k y i −k , |
k=0 |
k=1 |
|
ãäå ak — коэффициенты (веса) прямой связи; bk — коэффициенты (веса) обратной связи; xi — входные отсчеты;
yi — выходные отсчеты.
Как видно из этого алгоритма, БИХ-фильтр проводит взвешенное суммирование предшествующих отсчетов не только входного, но и выходного сигнала.
Передаточная функция такого фильтра может быть выражена следующей формулой
|
|
|
|
∑m |
a k z−k |
|
|
||||
H(z) = |
|
|
k=0 |
|
|
. |
|
||||
1 − ∑n |
|
|
|
||||||||
|
|
b k z−k |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
Например, для БИХ-фильтра первого порядка (m = n = 1) передаточная |
|||||||||||
функция будет иметь следующий вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||
H(z) = |
a 0 |
|
+ a1z−1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
− b1z−1 |
|
|
||||
БИХ-фильтр второго порядка (m = n = 2) |
будет иметь передаточную |
||||||||||
функцию следующего вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H(z) = |
a 0 + a |
1z−1 + a2 z |
−2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
− b1z−1 − b2 z−2 |
|||||||||
Для получения частотных характеристик в Н(z) сделаем подстановку z=exp(j2πFT), где Т— интервал дискретизации повремени.Здесь и далее принимаем ω=2πF.
224 |
Глава первая. Описание лабораторных работ по ОТЦ |
|
|
Частотный коэффициент передачи в этом случаи есть комплексная функция, поэтому ее можно представить в виде
H(jω T) = |H(jω T)|e j arg[H(jω T )] ,
ãäå |H(jω T)| — АЧХ фильтра и arg[Н(jω T)] — ФЧХ фильтра.
БИХ-фильтра будет устойчивым, если полюсы его передаточной функции
1 − ∑n b k z−k = 0
k=1
лежат внутри единичной окружности z-плоскости (рис. 4).
Ðèñ. 4
Следовательно, БИХ-фильтра первого порядка (m = n = 1) будет устойчи- вым, если | b1 | < 1.
Получим АЧХ БИХ-фильтра первого порядка (m = n = 1) и АЧХ БИХ-фильтра второго порядка (m = n = 2) с помощью ЭВМ (рис. 5).
Ðèñ. 5
4.1 Запуск программы схемотехнического моделирования Micro-Cap
Включить ЭВМ и запустить программу Micro-Cap
C:\MC8DEMO\mc8demo.exe
èëè
ПУСК\Все программы\Micro-Cap Evaluation 8\Micro-Cap Evaluation 8.0.
В появившемся окне Micro-Cap 8.1.0.0 Evaluation Version (рис. 6) собрать схему состоящую из источника импульсных сигналов (Voltage Source), источ-
Лабораторная работа ¹ 15 |
225 |
|
|
Ðèñ. 6
ник напряжения управляемый напряжением задаваемый передаточной функцией от z (ZVofV) и земли.
4.2Сборка схемы
4.2.1Ввод импульсного источника напряжения
Ввести источник (V1) с формой сигнала в виде прямоугольных импульсов (рис. 5). Откройте меню Component\Analog Primitives\Waveform Sources и выберите Voltage Source (ðèñ. 7).
Ðèñ. 7
226 |
Глава первая. Описание лабораторных работ по ОТЦ |
|
|
Курсор примет форму графического изображения источника напряжения. Поместите его на рабочее окно. Зафиксируйте это положение, щелкнув левой клавишей мыши. Появится окно Voltage Source. Введите параметры импульсной последовательности AC 1 Pulse 0 1 0 0 0 1M 2M â îêíå Value, â îêíå Show установите галочку. Остальные параметры установите такими, как показанные на рис. 8.
Ðèñ. 8
Параметры импульсного сигнала показаны на рис. 9.
Ðèñ. 9 |
Убедитесь, что источник правильно работает. Щелкните мышкой на кнопке Plot. Появиться окно Plot с зависимостью напряжения источника от времени (рис. 10).
Закройте это окно, щелкнув на кнопке Закрыть. Нажмите кнопку ÎÊ (ðèñ. 8).
Лабораторная работа ¹ 15 |
227 |
|
|
Ðèñ. 10
4.2.2 Ввод земли
Откройте меню Component\Analog Primitives\Connectors и выберите землю
Ground (ðèñ. 11).
Установите землю, снизу от источника V1. Рядом установите еще одну земля для БИХ-фильтра (рис. 12).
Ðèñ. 11
Ðèñ. 12
228 |
Глава первая. Описание лабораторных работ по ОТЦ |
|
|
4.2.3 Ввод БИХ-фильтра первого порядка
Ввести БИХ-фильтр E1 первого порядка представленный системной функцией H(z) (рис. 5) полученной в предварительном расчете (п. 3.1). Откройте меню Component\Analog Primitives\Z Transform Sources и выберите Z-источник напряжения зависящий от напряжения ZVofV (ðèñ. 13).
Курсор примет форму графического изображения зависимого источника напряжения. Поместите его на рабочее окно. Зафиксируйте это положение, щелкнув левой клавишей мыши. Появится окно ZVofV.
Введите Z-формулу Н(z) для БИХ-фильтра первого порядка 1/(1-0.4*POW(Z,-1)) â îêíå Value (здесь z–1 = POW(Z,–1), â îêíå Show установите галочку. Остальные параметры установите такими, как показанные на рис. 14.
Ðèñ. 13
Ðèñ. 14
Лабораторная работа ¹ 15 |
229 |
|
|
4.2.4 Ввод проводников
Соедините источники с землей проводниками. Для этого нажмите на кнопку ввода ортогональных проводников Wire Mode и, удерживая левую кнопку мыши, «прочертите» необходимое соединение (рис. 15).
Ðèñ. 15
В случае возникновении проблем загрузите с сайта поддержки учебного процесса (http://frisk.newmail.ru/) файл L15_1.CIR (File\Open...) (ðèñ. 16).
Ðèñ. 16
4.3À×Õ БИХ-фильтра
4.3.1À×Õ БИХ-фильтра первого порядка
Убедитесь, что введены все элементы правильно.
Построить график АЧХ БИХ-фильтра первого порядка0 =(a0 , a 1 = 1 , b1 по номеру варианта). Для этогов меню Analysis выберите команду AC... (ðèñ. 17).
230 |
Глава первая. Описание лабораторных работ по ОТЦ |
|
|
Ðèñ. 17
На экране появиться окно AC Analysis Limits, в котором задайте параметры построения требуемого графика так, как показано на рис. 18.
Ðèñ. 18
Frequency Range «32K,0» — частотный интервал (0...32 кГц).
Nunber of Points «501» число точек.
P номер окна «1», в котором будет построен график АЧХ. X Expression «f» — аргумент функции.
Y Expression «V(E1)» — имя функции.
X Range «Auto» — интервал отображения аргумента по оси Х. Y Range «Auto» — интервал отображения функции по оси Y. Запустите построение, нажав кнопку Run.
На экране появиться график АЧХ трехзвенного БИХ-фильтра первого порядка (рис. 19).
Замечание. Если кривая не появились, то на клавиатуре нажмите клавишу F9 и убедитесь, что все величины для построения графика введены правильно. Нажмите вновь кнопку Run.
Данный график занесите в соответствующий раздел отчета. Сравните его с графиком, полученным в предварительном расчете. Сделайте вывод о характере кривых.
Повторите построение АЧХ данного фильтра для a0 = 0 , a 1 = 1 , b 1 по номеру варианта. Для этого вернитесь к исходной схеме, нажав на клавиатуре
клавишу F3. И з -мените коэффициентb1 в формуле Н(z).
Сравните полученный график АЧХ с графиком, построенным в предварительном расчете. Сделайте вывод о характере кривых.