Добавил:

chrysler_a57_mltbnk Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Основы компьютерного анализа электрических цепей

Файл:

БИК2205_СР_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2026

Размер:

3.77 Mб

Скачать

☆

1. Цель самостоятельной работы

Цель самостоятельной работы: на примере заданной периодической функции сигнала освоить методику вычисления спектров сигнала, исследовать прохождение такого сигнала через фильтр нижних частот с использованием спектрального анализа.

2.Исходные данные

Форма исходного сигнала приведена на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Форма исходного сигнала

Исходные величины: T 1 10-6 с – период;

fгр 5 105 Гц – граничная частота фильтра; k0 4 – коэффициент передачи;

Umax 1 В – максимальное значение напряжения сигнала;

j -1 – мнимая единица;

Nmax 16 – номер последней гармоники в спектрах; n 1,2 Nmax – перечень гармоник;

t 0,10-9 10-6 с – временной интервал для построения одного периода сигнала.

3. Анализ спектров исходного сигнала

Сигнал, представленный на рисунке 2.1 можно записать в виде аналитической функции следующим образом:

S(t)	1	V

	V

‖					\|\|
S(t) ‖if 0≤t≤ T					\|	\|
‖	‖	4			\|	\|
‖	‖				\|	\|
‖	‖Umax				\|	\|
‖		T <t≤ 3 T			\|	\|
‖else if		T <t≤ 3 T			\|	\|
‖	‖	4	8		\|	\|
‖	‖				\|	\|
‖	‖0				\|	\|
‖		3 T			\|	\|
‖		3 T		5 T\|		\|
‖else if		8	<t≤	8	\|	\|
‖	‖				\|	\|
‖	‖-Umax				\|	\|
‖		5 T	<t≤	6 T\|		\|
‖else if		8	<t≤	8	\|	\|
‖	‖				\|	\|
‖	‖0				\|	\|
‖		6 T	<t≤T		\|	\|
‖else if		8	<t≤T		\|	\|
‖	‖Umax				\|	\|
‖	‖Umax				\|	\|
‖ ‖					\|	\|

0.8

0.6

0.4

0.2

1 10

2 10

3 10

4 10

5 10

6 10

7 10

8 10

9 10

1 10

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

t1 s

Рисунок 3.1 – Временная реализация одного периода исходного сигнала

В данном случае функция является чётной относительно t 0 и t T2

(симметричной относительно оси ординат), что позволит упростить нахождение спектров исходного сигнала.

4. Вычисление спектров исходного сигнала

Так как функция, описывающая исходный сигнал является чётной, можно опустить коэффициенты bn 0, так как они все будут равны нулю.

Коэффициенты an можно найти по следующей формуле:

an T4 ⌠⌡S(t) cos n ω1 t dt,

так как функция описана на пяти интервалах во времени, то интеграл разбивается на сумму пяти интегралов:

5 T

an1 T4 ⌠⌡-Umax cos n ω1 t dt,

6 T

an2 T4 ⌠⌡0 cos n ω1 t dt,

5 T

an3 T4 ⌠⌡Umax cos n ω1 t dt,

6 T

an an1+an2+an3.

Тогда итоговая формула для нахождения коэффициентов an при n ≠ 0 будет иметь вид:

a	Umax		π n		π n		,
	2 π n	sin		4	+4 sin	2
n

с учётом того, что ω1 T 2 π и формул разности синусов, формул приведения

и синуса двойного угла.

Для n = 0:

a0 98 Umax,

с учётом первого замечательного предела.

Для вычисления амплитудного и фазового спектров необходимо вычислить амплитуды и фазы гармоник.

Для амплитудного спектра: A0	a0	=0.563 , A	a	2	,
	2
		n		n

A0	1
A0		V
	V
A	1
A		V
n	V

0.75

0.675

0.6

0.525

0.45

0.375

0.3

0.225

0.15

0.075

Рисунок 4.1 – Амплитудный спектр исходного сигнала

		a
Для фазового спектра: φ0	0; φ -sign bn acos n .
	n	A
		n

φ0 (rad)

φ (rad)

0.8

0.6

0.4

0.2

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

Рисунок 4.2 – Фазовый спектр исходного сигнала

С учётом полученных амплитуд и фаз гармоник можно записать представление сигнала в виде суммы ограниченного числа гармоник:

S(t)		1	V

		V
S	(t)	1	V
f
		V

S	(t) A			+∑A cos				n		2 π		t+φ			.
S	(t) A		0	+∑A cos				n				t+φ			.
f			0							T
					n	n				T				n
	2.1
	1.75
	1.4
	1.05
	0.7
	0.35
	0
	0	1 10			2 10	3 10	4 10			5 10		6 10	7 10			8 10	9 10	1 10
-0.35
	-0.7
-1.05
								t	1
								t			s
									s
								t	1
								t			s
									s

Рисунок 4.3 – Временные диаграммы исходного сигнала и восстановленного с 16-ю гармониками

5. Анализ спектров выходного сигнала

Необходимо вычислить спектры сигналов на выходе фильтра нижних частот Баттерворта. Для этого необходимо вычислить передаточную функцию фильтра. Передаточная функция ФНЧ Баттерворта описывается формулой:

		K(f)	k0 .
			1+j f
			fгр
Коэффициент передачи на	частотах		гармоник f	n	будет определяться
			n	T
следующим выражением (f1		1 ):
		T

K(f)	k0	.
	1+j n	f1
	1+j n	fгр
		fгр

Модуль коэффициента передачи (АЧХ) для n-ой гармоники будет равен:

;

n1+n2 f1 2

fгр

аргумент коэффициента передачи (ФЧХ) для n-ой гармоники будет равен:

	f1
Ψ -atan n		.
n	fгр
n

Амплитудный спектр сигнала на выходе фильтра определяется выражением:

Afn An Kn;

фазовый спектр сигнала на выходе фильтра определяется выражением:

φfn φn+Ψn.

Амплитудный и фазовый спектры на нулевой гармоники: Af0 A0 k0, φf0 0.

				2.4
				2.2
				2
				2
				1.8
				1.8
		1		1.6
				1.6
				1.4
				1.4
Af0			V	1.2
Af0			V	1.2
		V		1
		V		1
				0.8
		1

				0.6
				0.6
				0.4
Af	n		V	0.2
	n	V			0

Рисунок 5.1 – Амплитудный спектр сигнала на выходе фильтра

φf0 (deg)

φfn (deg)

1.5

-7.5

-16.5

-25.5

-34.5

-43.5

-52.5

-61.5

-70.5

-79.5

-88.5

Рисунок 5.2 – Фазовый спектр сигнала на выходе фильтра

С учётом полученных амплитуд и фаз гармоник сигнала на выходе фильтра можно записать представление сигнала в виде суммы ограниченного числа гармоник:

S		(t) A		+∑A				n	2 π	t+φ
S	f_o	(t) A	f0	+∑A	f		cos	n		t+φ	f
	f_o		f0		f				T		f
				n		n			T		n

S(t)		1	V

		V
S	(t)	1	V
f
		V

S	f_o	(t)	1	V
	f_o
			V

3.5

2.5

1.5

0.5

0 0 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 10 1 10

-0.5

-1

t	1
t		s
	s
t	1
t		s
	s

t1 s

Рисунок 5.3 – Временные диаграммы исходного сигнала, входного и выходного сигналов с 16-ю гармониками

6.Приложение

Вприложении содержатся более подробные математические вычисление и преобразования описанных в тексте величин, формул и выражений. Приложение начинается со следующей страницы.

Соседние файлы в папке лаба_4_24а

#
13.05.2026620.59 Кб0Material_seminara_po_spektralnomu_analizu.docx
#
13.05.20261.36 Mб0Zadanie_i_primer_vypolnenia_samostoyatelnoy_raboty.docx
#
13.05.202676.01 Кб0БИК2205_СР.mcdx
#
13.05.2026627.13 Кб0БИК2205_СР.pdf
#
13.05.20263.77 Mб0БИК2205_СР_2.pdf
#
13.05.20262.31 Mб0БИК2205_СР_3.pdf
#
13.05.20261.86 Mб0Приложение_1.pdf
#
13.05.20261.15 Mб0Приложение_2.pdf

				2.4
				2.2
				2
				2
				1.8
				1.8
		1		1.6
				1.6
				1.4
				1.4
Af0			V	1.2
Af0			V	1.2
		V		1
		V		1
				0.8
		1

				0.6
				0.6
				0.4
Af	n		V	0.2
	n	V			0

				2.4
				2.2
				2
				2
				1.8
				1.8
		1		1.6
				1.6
				1.4
				1.4
Af0			V	1.2
Af0			V	1.2
		V		1
		V		1
				0.8
		1

				0.6
				0.6
				0.4
Af	n		V	0.2
	n	V			0

				2.4
				2.2
				2
				2
				1.8
				1.8
		1		1.6
				1.6
				1.4
				1.4
Af0			V	1.2
Af0			V	1.2
		V		1
		V		1
				0.8
		1

				0.6
				0.6
				0.4
Af	n		V	0.2
	n	V			0