МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное
бюджетное образовательное учреждение высшего образования
Московский технический университет связи и информатики
Кафедра «Техническая электродинамика и антенны»
Лабораторная работа № 3
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ
Москва 2022
2
Цель работы
1.Изучение структуры поля волн в прямоугольном металлическом волноводе и расчет основных параметров этих волн.
2.Овладение методикой измерения основных характеристик волн в прямоугольном металлическом волноводе.
Подготовка к работе
Перед выполнением работы необходимо изучить соответствующий лекционный материал, настоящее описание и рекомендованную литературу:
[1], стр. 104 – 120; |
[2], стр. 485 – 490; |
[3], стр. 270 – 276. |
|
|
|
Краткие теоретические сведения |
|
|
|
Прямоугольный |
металлический |
волновод |
представляет |
собой |
металлическую трубу |
с размерами сечения a b (рис.1). Внутри |
волновод |
||
заполнен материалом с относительной диэлектрической проницаемостью r и
относительной магнитной проницаемостью r . На практике в подавляющем большинстве случаев внутри волновода находится просто воздух r r 1 .
Рис.1. Прямоугольный металлический волновод Анализ волновода прямоугольного сечения (рис.1) проводится в
декартовой системе координат, так как при этом границы волновода легко совмещаются с координатными поверхностями. В волноводе могут существовать волны E и H классов, а Т-волны существовать не могут.
3
Е-волны. Решение задачи для E - волн должно удовлетворять волновому уравнению для составляющей Ez и граничным условиям на стенках волновода, которые считаем идеально проводящими. Волновое уравнение для продольной компоненты поля имеет вид
|
2E |
z |
|
2E |
z |
2Ez 0. |
(1) |
|
x2 |
|
y2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Продольная составляющая поля |
& |
является касательной к поверхности |
|||||
Ez |
|||||||
стенок волновода. На границе с идеальным проводником касательная составляющая электрического поля равна нулю, следовательно,
Ez 0 |
(при x 0 и x = a; y = 0 и y = b) |
(2) |
Искомая функция в уравнении (1) зависит от двух аргументов x |
и y. |
|
Уравнение решается методом разделения переменных: искомая функция представляется в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит
от одного аргумента. Запишем
& |
x, y X x Y y . |
(3) |
Ez |
Подставим (3) в уравнение (1), обозначив производные функции одной переменной штрихами:
X x Y y X x Y y 2 X x Y y 0.
Разделим полученное равенство на X x Y y :
|
|
|
|
|
|
|||
X x |
|
Y y |
|
2 |
0 . |
(4) |
||
X x |
|
Y y |
|
|||||
|
|
|
|
|||||
Уравнение (4) состоит из трех слагаемых: первое из них зависит от переменной x, второе – от переменной y, а третье – не зависит от этих переменных. Это уравнение должно удовлетворяться в любой точке поперечного сечения волновода. В частности, можно двигаться параллельно оси x, сохраняя y = const. Второе и третье слагаемые при этом постоянны. Но и первое слагаемое не может меняться, не нарушая уравнение (4). Следовательно,
4
данное уравнение удовлетворяется лишь в том случае, если все его слагаемые постоянны. Обозначим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
X |
x |
2 |
|
|
Y y |
2 |
|
(5) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Y y |
|
|
||||||||
|
X x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда уравнение (4) превращается в уравнение для поперечных |
|||||||||||||||||
коэффициентов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
2 , |
|
|
|
|
|
(6) |
||||||
где - поперечный коэффициент по оси х, поперечный коэффициент |
|||||||||||||||||
по оси у. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференциальные |
уравнения |
(5) |
являются линейными |
уравнениями |
|||||||||||||
|
|
2 |
X x 0 |
и |
|
|
|
|
2 |
Y y 0, |
решения которых |
||||||
второго порядка X x |
|
|
Y y |
|
|||||||||||||
известны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X x Asin x Bcos x |
|
|
|
(7) |
||||||||||||
Y y Csin y Dcos y. |
|
|
|
(8) |
|||||||||||||
Функции Х(х) и Y(y) должны удовлетворять граничным условиям (2), т.е. |
|||||||||||||||||
X(x) = 0 при x=0 и х=а; Y(y) = 0 при y=0 и y=b. Следовательно, |
B = 0 и D = 0, |
||||||||||||||||
если положить в (7) и (8) х = 0 и y = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Требуется также, чтобы при х=а и y=b выполнялись равенства |
|||||||||||||||||
sin x 0 и sin y 0 |
|
|
|
(9) |
|||||||||||||
При этом вдоль каждой стороны волновода укладывается целое число |
|||||||||||||||||
полуволн синусоиды распределения поля, а коэффициенты |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
m |
m |
; |
n |
n |
, |
|
|
|
(10) |
||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
||
где m = 1, 2, 3,… и n = 1, 2, 3,… целые положительные числа. Ни одно |
|||||||||||||||||
из них нельзя принять |
равным нулю, |
так |
как тогда |
Ez |
тождественно |
||||||||||||
обращается в нуль. Обозначим A C E0 и получим решение для продольной составляющей поля в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
Ez E0 sin x sin y . |
(11) |
|||||||||||||
Найденное решение существует только при определенных значениях |
|||||||||||||||||
поперечных коэффициентов |
m и n . Вместе они определяют поперечный |
||||||||||||||||
коэффициент фазы волновода |
mn. Он зависит от выбора чисел m и n и |
||||||||||||||||
определяет критическую частоту: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
c |
|
|
|
|
c |
|
m 2 |
n |
2 |
|
|
|||||
f mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
кр |
|
|
mn |
|
2 |
|
|
a |
b |
, |
(12) |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
где m = 1, 2, 3,…; n = 1, 2, 3,…; c 1 |
c0 |
r r фазовая скорость |
|||||||||||||||
волны в свободном пространстве, заполненном диэлектриком с r и r .
Каждой комбинации m и n соответствует своя структура поля Ez x,y ,
т.е. определенный тип волны, который обозначается Emn . Первый индекс m
определяет число полуволн в структуре Ez ,укладывающихся вдоль оси x, а второй n – число полуволн вдоль оси y.
По |
условию |
f |
|
f mn |
определяется |
частота, |
необходимая |
для |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
кр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
существования волны соответствующего типа. |
|
|
|
|||||||||||||||
Поперечные составляющие поля волны Emn : |
|
|
||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|
|
E |
i |
|
grad Ez |
i |
|
|
E0 x0 cos xsin y y0 sin xcos y ; |
(13) |
||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||
R |
|
|
|
R |
R |
|
|
|
k |
|
|
R |
|
R |
|
|
||
H |
|
|
|
a E |
, z |
|
i |
|
|
|
|
|
E y |
cos xsin y x |
sin xcos y |
(14) |
||
|
|
|
|
2Z |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
Простейшая волна Е-класса с минимальными индексами m = 1 и n = 1 обозначается как E11 . Она имеет минимальную критическую частоту из всех E -
волн.
На рис.2 представлена картина поля волны E11 . На рисунке линии электрического поля сплошные, магнитного – пунктирные. Черными кружками изображены линии, направленные к читателю, крестиками – от него.
6
Рисунок поля любой волны Emn образуется повторением рисунка поля волны E11 , с изменением направления его линий.
Рис.2. Картина силовых линий поля волны E11
Н-волны. Волновое уравнение для продольной компоненты поля Hz
имеет вид
|
2H |
z |
|
|
|
2H |
z |
2Hz 0 |
(15) |
|
|
x2 |
|
|
y2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Оно решается методом разделения переменных. Это решение имеет вид: |
||||||||||
Hz x, y X x Y y Asin x Bcos x Csin y Dcos y |
(16) |
|||||||||
На границе с идеальным проводником касательная составляющая |
||||||||||
магнитного поля достигает экстремума: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Hz |
|
0 , |
(17) |
|||
|
|
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где n - направление нормали ко всем стенкам волновода. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
||
Необходимо решить уравнения: X (x) A cos x B sin x 0 |
||||||||||
x=0 и x=a; Y y C cos y D sin y 0 при y=0 и y=b.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
При этом получаем А = 0, С = 0 и |
|
|
m |
; |
|
|
n |
, идентичные (10). |
||
m |
a |
n |
b |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, для Е-волн и Н-волн выражения для поперечного |
||||||||||
коэффициента mn и критической частоты |
(12) одинаковы. |
Продольная |
||||||||
составляющая поля Н-волны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hz x, y H0 cos xcos y. |
|
(18) |
||||||||
Поперечные составляющие поля волны Hmn :
R
H
R
E
i 2 gradH z i
|
a H , zR i |
|
R |
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
H |
0 |
x0 sin xcos y y0 |
cos xsin y ; |
|||||
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
kZ |
c |
|
|
|
|
R |
|
|
R |
|
||
|
|
H |
|
|
y |
|
sin x cos y x cos xsin y . |
|||||
|
|
|
0 |
0 |
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(19)
(20)
В данном случае допустимо, чтобы m или n были порознь равны нулю. Тогда поле не меняется по одной из координат. Однако, если положить
одновременно m = 0 и n = 0, то H z H0 const , что приводит к нулевым поперечным составляющим, т.е. свидетельствует об отсутствии
электромагнитной волны. Простейшие волны этого класса с минимальными индексами: H10, H01, H11,…
Волну, обладающую в волноводе данной формы минимальной критической частотой, называют основной. Наименьшие индексы у волн H10 и
H |
01 |
. Если принять a>b, то f |
10 |
|
f |
01 |
f |
11 |
и критическая частота волны |
H |
10 |
|
|
кр |
|
|
кр |
|
кр |
|
|
меньше, чем критические частоты волн H01, H11 ,E11 и всех остальных волн с еще более сложной структурой. Поэтому волна H10 в прямоугольном волноводе с a>b является основной, а все остальные типы волн именуют волнами высших порядков.
Структура волны H10 |
показана на рис. 3 в трех проекциях. Структура |
поля волн H20 ,H30 ,...,Hm0 |
получается повторением картины волны H10 по |
оси х m раз, если менять каждый раз направление линий напряженности поля.
8
Структуры поля волн H01 ,H02 ... образуются простым поворотом предыдущих изображений на 90O , т.е. переменой осей x и y.
Рис.3. Картина силовых линий поля волны H10
Для образования остальных типов волн класса Н исходной является волна
H11 (рис.4). Повторяя эту структуру по горизонтали с переменой направлений линий поля, можно получить поле любой Н-волны.
Рис.4. Картина силовых линий поля волны H11
9
По геометрическим размерам волновода и электромагнитным свойствам материала, заполняющего волновод, для каждой пары индексов m и n
определяется величина, называемая критической частотой (см. формулу (12)). Для каждой критической частоты можно рассчитать соответствующую ей
критическую длину волны: mnкр c
fкрmn . Если частота электромагнитного поля
f fкрmn или mnкр то в линии могут распространяться волны типов Emn и
Hmn . Неравенства являются условием существования в волноводе волны заданного типа. Во все выражения для параметров волн в волноводе входит
критическая частота или критическая длина волны. Коэффициент фазы волны в волноводе:
|
|
|
|
f |
mn 2 |
|
|
|
k |
1 |
|
кр |
|
|
|
|
||||
|
mn |
|
|
|
f |
. |
|
|
|
|
|
|
|
Он всегда меньше волнового числа свободного пространства: k 2 
. Длина волны в волноводе отличается от длины волны в свободном
пространстве c
f . Она определяется выражением:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
fкрmn 2 |
|
|
|
2 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
mn |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кр |
|
||
Фазовой скоростью волны называется скорость движения поверхности равных фаз. Она определяется выражением
vф mn
c
f mn 2 . 1 кр
f
Из данного выражения следует, что всегда vф c . Это значит, что в волноводе с воздушным заполнением фазовая скорость больше скорости света.
10
Описание программы
Компьютерная лабораторная работа для исследования электромагнитного поля в прямоугольном волноводе, представляет собой программу, реализованную в среде графического программирования LabVIEW (рис.5).
Рис.5. Главное окно программы
Запуск программы
На главном окне вверху слева имеется специальная группа кнопок, предназначенных для запуска программы или ее остановки.
Запуск в однократном режиме
Запуск в непрерывном режиме Остановка работы программы