Лекции / ЛЕКЦИЯ №16 ОТЭМПиВ

Лекция № 16

§ 13. Электромагнитные волны в круглом волноводе

13.1. Вывод формул для поля

При анализе волн в круглом волноводе (рис. 13.1) будем считать, что заполняющая его среда – идеальный диэлектрик с параметрами и, а оболочка обладает бесконечной проводимостью. В таком

волноводе возможно раздельное существование Е- и Н-волн и невозможно существование ТЕМ-волн. При анализе естественно использовать цилиндрическую систему координат, совместив ось Z с продольной осью волновода. Для упрощения изложения введем

В случае Е-волн w (r, , z) = Ez (r, , z), а поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные формулами (11.19) и (11.20). Вводя обозначение ВС = Е0z, получаем

а штрих означает дифференцирование функции Бесселя по всему аргументу.

Так же как в формулах для поля в прямоугольном волноводе, индекс m в формулах (13.5) и (13.6) имеет разный смысл. В (13.5) он означает, что записана комплексная амплитуда рассматриваемой функции, а в (13.6) m – определяет порядок функции Бесселя.

Входящая в (13.33б) постоянная 0 влияет только на начало отсчета угла , ее изменение соответствует повороту структуры поля вокруг оси Z. В рамках используемой физико-математической модели, постоянные Е0z и 0 определить нельзя. Для их нахождения требуются дополнительные данные об источнике, создающем поле в волноводе (о мощности бегущей волны, ориентации вектора Е и т.д.).

Чтобы найти неизвестную постоянную , используем граничное условие:

которых функция Бесселя равна нулю. Эти значения называют корнями функции Бесселя. Обозначая n-й корень функции Бесселя

m-го порядка через vE (рис. 13.2), из (13.9) находим: mn

Параметр вычисляется по формуле (11.14). Как видно, в круглом волноводе возможно существование Е-волн различной структуры. Наименование этих волн производится в соответствии с обозначением корней

уравнения (13.9). Например, корню 01 соответствует волна Е01, корню 12 – волна Е12, корню mn – волна Еmn .

Зависимость структуры поля волны от угла определяется индексом m. Поперечное сечение волновода можно условно разделить на m секторов с одинаковой структурой поля в каждом секторе: поле волны периодично по углу с периодом 2/m. Индекс m, таким образом, равен числу периодов структуры поля волны, укладывающихся на интервале [0, 2] изменения угла . Равенство нулю индекса m означает, что структура поля волны обладает осевой симметрией (не зависит от угла ).

На распределение составляющих векторов поля вдоль радиуса в интервале [0, a] влияют оба индекса m и n. При этом m определяет порядок функции Бесселя, а n – число вариаций составляющих векторов поля при изменении r от 0 до а: при n = 1 составляющие векторов поля не изменяют знак (одна вариация), при n = 2 они один раз изменяют знак (две вариации) и т.д.

Каждому типу волны соответствует своя критическая длина волны, связанная с постоянной соотношением (13.7). В рассматриваемом случае

соответствующие критические длины волн, рассчитанные по формуле, приведены в таблица 13.1:

Для определения поперечного волнового числа воспользуемся граничным

Как видно, в круглом волноводе возможно существование Н-волн различной структуры, которые принято обозначать Нmn. Нумерация Н-волн аналогична нумерации волн Еmn. Индекс m совпадает с порядком функции Бесселя, а n – с номером нуля первой производной функции Бесселя m-го порядка. Так же как и в случае Е-волн, структура поля волны Нmn периодична по углу с периодом 2 /m, т.е. индекс m равен числу периодов структуры поля волны Нmn, укладывающихся на интервале [0, 2 ] изменения угла . Равенство нулю индекса m означает, что поле волны не зависит от угла . Индекс n равен числу вариаций составляющих векторов поля вдоль радиуса волновода.

Несколько первых корней vH в порядке их возрастания и соответствующие им mn

критические длины волн, рассчитанные по формуле (13.14),

Низшим типом среди не только волн Н, но и всех волн в круглом волноводе, как следует из табл. 13.1 и 13.2, является волна Н11. Интересно отметить, что структура поля этой волны (рис. 13.4) близка к структуре волны Н10 в прямоугольном волноводе (рис. 13.3), также имеющей наибольшую критическую длину волны. На рис. 13.5 показана структура поля волны Н01.

Параметры Н-волн , vф, vэ и вычисляются по формулам (11.14), (11.18),

(11.35) и (11.17) соответственно, а характеристическое сопротивление находится по формуле (11.26).

13.2. Токи на стенках круглого волновода

13.3. Передача энергии по круглому волноводу

Основной волной круглого волновода является волна Н11, а первым высшим типом – Е01. Поэтому в соответствии с данными табл. 13.1 и 13.2 условие одноволновости

Коэффициент широкополосности, определяемый по формуле (12.24), = 1,3, т.е. существенно ниже, чем у прямоугольного волновода.

Мощность, переносимая волной по круглому волноводу (мощность бегущей волны), рассчитывается по формуле (11.38). Вычисляя входящие в эту формулу интегралы, для волны Н11 получаем:

Коэффициент ослабления м, соответствующий волне Н11, вычисляется по формуле

Графики зависимости м (в дБ/м) от частоты для волн Н11, Е01 и Н01 в круглом медном волноводе для случая а = 25,4 мм показаны на рис. 13.8. Как видно, для волн Н11 и Е01 они аналогичны графикам, приведенным на рис. 12.12 для случая волн в прямоугольном волноводе. График, характеризующий зависимость коэффициента ослабления от частоты для волны Н01 в круглом волноводе, имеет существенное отличие от графиков для волн Н11 и Е01. У этих волн коэффициент м неограниченно возрастает при f fкр и f . Указанные особенности поведения м объясняются так же, как в случае Н01 в круглом волноводе при увеличении частоты имеет иной характер, а именно коэффициент м для этой волны монотонно убывает с ростом частоты. Эта особенность объясняется тем, что у полны Н01 в круглом волноводе вектор плотности поверхностного тока проводимости не

частоты в волноводе с фиксированными размерами поперечного сечения структура поля любой волны приближается к структуре поля ТЕМ-волны, у

одновременно стремится к нулю плотность поперечных токов проводимости. Но это означает, что потери должны непрерывно уменьшаться. Как показывает численный расчет, потери в круглом волноводе на волне Н01 меньше потерь в волноводе того же радиуса на волне Н11, если только a/ >2, а существенный выигрыш достигается при a/ 3…4.