Лекции / ЛЕКЦИЯ №15 ОТЭМПиВ

Лекция № 15

§ 12.Электромагнитные волны в прямоугольном волноводе

12.1. Основные соотношения для поля

Прямоугольный волновод представляет собой полую металлическую трубу прямоугольного сечения (рис. 12.1). Предположим, что стенки волновода обладают бесконечной проводимостью, а заполняющая его среда – идеальный диэлектрик с параметрами и . В такой направляющей системе могут существовать волны Е и Н и не могут существовать ТЕМ-волны. На рис. 12.1 показаны используемая система координат и размеры а и b поперечного сечения волновода.

Для определенности будем считать, что а b, а источники, создающие поле, расположены со стороны отрицательных значений переменной z за пределами рассматриваемой части линии передачи (созданная ими волна распространяется в положительном направлении оси Z). При a > b стенки с поперечными размерами а и b будем называть соответственно широкой и узкой стенками прямоугольного волновода.

Так как поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные, то для

фазы рассматриваемой волны. Правая часть уравнения (12.1) равна нулю, так как по предположению сторонние источники расположены за пределами рассматриваемой части волновода. Фактически задача состоит в нахождении так называемых собственных волн прямоугольного волновода.

Для решения уравнения (12.1) применим метод разделения переменных. Запишем функцию

удовлетворяет уравнению (12.1). Представим ее в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

Перейдем в (12.1) к функции w0 (x, y) и подставим (12.2). После деления обеих частей уравнения на произведение X (x) Y ( y) получаем:

Так как переменные х и у являются независимыми, то левая часть уравнения (12.3) представляет собой сумму двух независимых функций, а правая равна постоянной. Это

касательной ко всем стенкам волновода. Поэтому должны выполняться следующие краевые условия:

Отметим, что в случае Е-волн значения m = 0 и n = 0 не годятся, так как при этом случае

составляющих векторов поля Е-волн в прямоугольном волноводе:

Подчеркнем, что индекс m в формулах (12.10а) и (12.10б) имеет совершенно разный смысл. В (12.10а) он указывает, что рассматриваются комплексные амплитуды составляющих векторов поля, а в (12.10б) индекс m – натуральное число, определяющее значение постоянной x как это следует из формулы (12.9).

Значение постоянной находится из формул (12.4) и (12.9):

Коэффициент фазы вычисляется по формуле (11.14).

Прежде чем перейдем к анализу свойств поля Е-волн, описываемого выражениями (12.10), выведем формулы для поля Е-волн в прямоугольном волноводе. Волны Е и Н имеют много общих черт, и их свойства удобно анализировать совместно.

Равенства (12.14) эквивалентны условиям X(0) = 0 и Y(0) = 0, из которых следует, что А=С=0, т.е. X (x) B cos ( x x) и Y ( y) Dcos ( y y) . Так как B 0 и D 0 (в противном

случае Hz 0 ), то из соотношений (12.15) вытекают уравнения (12.8). Следовательно,

от переменных х и у и вектор E будет тождественно равен нулю, что невозможно. Выпишем окончательные выражения для комплексных амплитуд составляющих векторов поля Н-волн в прямоугольном волноводе:

Аналогично случаю Е-волн в формулах (12.17а) индекс m указывает, что рассматриваются комплексные амплитуды составляющих векторов поля, а в формулах (12.17б) m связано с постоянной x соотношением (12.16).

Легко показать, что поперечное волновое число и критическая длина волны кр в случае Н-волн также определяются формулами (12.11) и (12.12) соответственно.

Перейдем к анализу свойств Е- и Н-волн в прямоугольном волноводе. Как видно из формул (12.10) и (12.17) в прямоугольном волноводе возможно существование различных Е- и Н-волн, структура поля которых зависит от значений индексов m и n. Каждая пара значений индексов m и n определяет свои волны,

случае Н-волн). При этом у Е-волн m 1 и n 1, а у Н- волн один из индексов может равняться нулю. Структура поля в поперечном сечении (при

происходит только при < кр (предполагается, что в волноводе отсутствуют потери энергии). Критическая длина волны вычисляется по формуле (12.12). Она зависит от размеров а и b

Наибольшую кр среди всех возможных волн при a > b имеет волна Н10. Соответствующая ей кр равна 2а. При а = b наибольшую кр имеют две волны Н10 и Н01. Волну, имеющую наибольшую кр, называют основной волной рассматриваемой линии передачи (или волной низшего типа). Таким образом, при a > b основной волной прямоугольного волновода является волна Н10.

Длина волны в волноводе , фазовая скорость vф и скорость распространения энергии vэ вычисляются соответственно по формулам (11.17), (11.18) и (11.43), одинаковым для Е- и Н-волн. Характеристическое сопротивление Е-волн вычисляется по формуле (11.21), а Н- волн – по формуле (11.26).

Формулы (12.9), (12.10), (12.16) и (12.17) позволяют рассчитать и изобразить графически

структуру поля (линии векторов E и H ) любой из волн Еmn или Hmn, распространяющихся в волноводе. В качестве примера на рис. 12.2 и 12.3 показаны структуры полей волн Е11 и Н10 соответственно в некоторый фиксированный момент времени в случае < кр для трех сечений волновода. С течением времени картины, изображающие структуру полей в продольных сечениях (сечениях 2 и 3 на рис. 12.2 и 12.3), перемещаются вдоль оси Z с фазовой скоростью соответствующей волны.

Отметим, что, зная структуру поля волны Е11, легко построить структуру поля волны Emn при любых значениях индексов m и n. Например, структура поля волны Е21 представляет собой объединение структур двух волн Е11 (рис. 12.4). Для построения структуры волны Emn нужно мысленно разделить волновод на m n "волноводных секций". Структура поля в каждой секции будет соответствовать структуре поля волны Е11, а линии векторов будут непрерывно переходить из одной "секции" в другую. Аналогично волну Н20 можно представить как бы состоящей из двух волн Н10.

Структура поля волны Н20 в поперечном сечении показана на рис.

12.5.

При > кр волна не распространяется: образуется стоячая волна,

12.2. Основная волна прямоугольного волновода

Свойства волны

Как уже отмечалось, при a > b основной волной прямоугольного волновода является волна Н10. Она имеет наибольшую критическую длину волны, равную 2а. На заданной частоте размеры поперечного сечения волновода, при которых возможна передача энергии по прямоугольному волноводу, для этой волны можно выбрать наименьшими. При этом волновод будет иметь наименьшие массу, габариты и стоимость.

Полагая в (12.17) m = 1 и n = 0 и учитывая формулы (12.16), получаем следующие выражения для составляющих комплексных амплитуд векторов E и H в случае волны Н10:

Структура поля волны Н10, построенная в соответствии с формулами (12.18), показана на рис. 12.3 и 12.6. Остановимся на картине распределения поля волны Н10 в плоскостях, параллельных широким стенкам волновода.

Согласно уравнениям Максвелла замкнутые линии магнитного поля должны охватывать токи проводимости или токи смещения. В волноводе замкнутые линии магнитного поля пронизываются токами смещения. В случае волны Н10 (см. рис. 12.6) линии магнитного поля охватывают токи смещения, текущие между

широкими стенками параллельно оси Y. В распространяющейся волне максимальная плотность тока смещения получается в центре замкнутых магнитных силовых линий, где напряженность электрического поля равна нулю. Это следует из того, что вектор

относительно вектора напряженности электрического поля на угол /2, т.е. расстояние между максимумом плотности тока смещения и максимумом напряженности электрического поля вдоль оси Z в фиксированный момент времени равно /4.

Фазовая скорость vф, скорость распространения энергии vэ, длина волны в волноводе и характеристическое сопротивление Zc в случае волны Н10 вычисляются по формулам

В соответствии с концепцией парциальных волн представим волну Н10 в виде суперпозиции парциальных ТЕМ-волн.

Поле волны Н10 не зависит от переменной у. Следовательно, поля парциальных волн также не должны зависеть от у, т.е. парциальные ТЕМ-волны должны распространяться, отражаясь от боковых (х = 0 и х = а) стенок волновода.

Пусть парциальная волна распространяется под углом к оси Z

(волна 1 на рис. 12.7). Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля

.

этой волны Em1 определяется выражением

где А – некоторая (в общем случае комплексная) постоянная. Электрическое поле волны Н10 имеет пучность на плоскости х = а/2 и симметрично относительно этой плоскости. Поэтому кроме волны (12.19) должна существовать еще одна парциальная ТЕМ-волна (волна 2), распространяющаяся, как показано на рис. 12.7. Комплексная амплитуда

образования пучности электрического поля в плоскости х = а/2 необходимо, чтобы векторы

рис. 12.8) следует равенство:

постоянным коэффициентом, что несущественно, так как формулы (12.17) были получены с точностью до произвольного постоянного множителя. Аналогично вычисляются

составляющие Hmx и Hmz . Они отличаются от соответствующих выражений в (12.17) лишь тем же постоянным множителем.

Из рис. 12.8 и формулы (12.21) видно, что по мере повышения частоты (уменьшения ) уменьшается угол и, следовательно, тем меньше по абсолютной величине становится

структура волны Н10 начинает приближаться к структуре волны ТЕМ. Одновременно, как

§ 12.3. Токи на стенках прямоугольного волновода

Каждому типу волны, распространяющейся в волноводе, соответствует определенная структура токов проводимости на его стенках. В случае идеально проводящих стенок токи проводимости являются поверхностными, а

.

комплексная амплитуда их плотности jSm вычисляется по формуле:

Распределение составляющих плотности токов проводимости по контуру и структура линий вектора jS на стенках волновода для волны Н10 показаны на рис. 12.9 и рис. 12.10

соответственно. В случае волны Е11 по стенкам волновода текут только продольные токи

(рис. 12.11).

12.4. Выбор размеров поперечного сечения прямоугольного волновода из условия одноволновой передачи

Как было показано выше, в прямоугольном волноводе возможно существование бесконечного числа типов волн, отличающихся друг от друга структурой электрического и магнитного полей, критическими частотами, фазовой скоростью и другими параметрами. Однако при конструировании линий передачи обычно принимают все меры к тому, чтобы энергия переносилась каким-либо одним типом волны. Объясняется это тем, что различным типам волн соответствуют различные групповые скорости. Поэтому при передаче сигнала несколькими типами волн один и тот же сигнал приходит в точку приема в виде нескольких смещенных во времени сигналов, что приводит к его искажению и увеличению уровня шумов. Характер искажений зависит от способа модуляции, вида и скорости передаваемой информации и других факторов.

Передачу энергии одним типом волны наиболее просто обеспечить, если в качестве этого типа использовать основную волну, имеющую наибольшую кр. Для этого достаточно так выбрать поперечные размеры линии, чтобы на любой частоте рабочего диапазона длина волны электромагнитных колебаний не превышала критической длины основной волны (кр(1)), но была больше критической длины волны первого высшего типа1 (кр(2)). Такой режим называют одноволновым. Полосу частот, в пределах которой сохраняется одноволновый режим, обычно характеризуют коэффициентом широкополосности:

Основная волна прямоугольного волновода – Н10, ее кр = кр H10 = 2a. Распространение этой волны возможно при <2а или а >/2. Чтобы другие типы волн не могли распространяться,

1 Первым высшим типом называют волну, критическая длина которой меньше кр основной волны, но больше критических длин всех остальных волн.

достаточно потребовать, чтобы не могли распространяться волны Н20 и Н01. Для этого

одноволновый режим в прямоугольном волноводе выполняется при

Обычно принимают а 0,75 0 и b 0,5a, где 0 – средняя длина волны рабочего диапазона.

Для обеспечения одноволнового режима во всем используемом диапазоне длин волн

12.5. Передача энергии по прямоугольному волноводу

Мощность бегущей волны вычисляется по формуле (11.38). В случае волны Н10 из формул

(11.38) и (12.17) получаем

диапазоне по прямоугольному волноводу стандартного сечения можно передавать весьма значительную мощность. Однако по мере повышения частоты допустимая мощность быстро уменьшается и при = 1 см не превышает 30...45 кВт.

Когда методы повышения электрической прочности почему-либо неприемлемы, то, как следует из формулы (12.26), предельную мощность можно существенно повысить, увеличив площадь поперечного сечения волновода по сравнению со стандартными.

Если размеры волновода увеличены настолько, что в части или во всем рабочем диапазоне волновод оказывается в многоволновом режиме, то необходимо принять специальные меры для предотвращения распространения всех типов волн, кроме Н10.

Коэффициент ослабления м , обусловленный потерями энергии в металлических стенках