Лекции / ЛЕКЦИЯ №13 ОТЭМПиВ

Лекция № 13

10.4. Полное прохождение волны во вторую среду

При определенных условиях падающая волна без отражения полностью проходит во вторую среду. Угол падения, соответствующий этому случаю, называют углом Брюстера. Условия, при которых отсутствует отраженная волна, могут

быть установлены путем решения уравнений R = 0 и Rǁ = 0 относительно угла падения . В частном случае, когда обе среды являются немагнитными диэлектриками, угол БрюстераБр легко находится из физических соображений.

Пусть параллельно поляризованная волна падает на плоскую границу раздела двух немагнитных диэлектриков ( 1≠ 2, 1 = 2 = 0). Под воздействием поля преломленной волны вторая среда поляризуется: дипольные моменты молекул второй среды ориентируются параллельно вектору напряженности электрического поля преломленной волны (рис. 10.5).Упорядоченно ориентированные молекулярные диполи второй среды излучают электромагнитные волны, суперпозиция которых и образует в первой среде плоскую отраженную волну. Молекулярный диполь (его можно считать элементарным электрическим вибратором) не излучает вдоль своей оси. Следовательно, отраженная волна не сможет возникнуть, если оси упорядоченно ориентированных молекулярных диполей будут параллельны направлению, в котором должна распространяться отраженная волна. Указанная ориентация молекулярных диполей имеет место при выполнении условия + = /2, из которого следует, что

случае ( 1 2, 1 = 2) плоская параллельно поляризованная волна целиком проходит во вторую среду при угле падения

В случае нормальной поляризации молекулярные диполи ориентируются перпендикулярно плоскости падения и, следовательно, перпендикулярно направлению распространения отраженной волны. Перпендикулярно своей оси молекулярный диполь ЭЭВ излучает одинаково во всех направлениях. Поэтому в данном случае угла Брюстера не существует: от границы раздела двух немагнитных диэлектриков ( r 1 r2, r 1 = r2 = 1) нормально поляризованная волна отражается при любом угле падения.

10.5. Полное отражение от границы раздела двух диэлектриков

Определим условия, при которых в случае падения плоской электромагнитной волны на плоскую границу раздела двух идеальных диэлектриков отсутствует преломленная волна, т.е. имеет место полное отражение. Угол преломления может изменяться от нуля до /2. Значение = /2 является предельным. Назовем угол падения = кр при котором = /2, критическим углом. Полагая во втором законе Снеллиуса = /2, получаем

кр k1

Так как sin не может быть больше единицы, полученное равенство возможно лишь в том

случае, если k2 < k1, т.е. при условии, что вторая среда является оптически менее плотной, чем первая (n2 < n1).

При углах падения, больших критического, по-видимому, должно иметь место полное отражение, т.е. по абсолютной величине коэффициент отражения должен быть равен единице. Проверим это предположение.

Из равенства (10.24) следует, что критический угол падения

Второй закон Снеллиуса (10.11) справедлив при любых углах падения . Однако при > кр синус угла преломления

достаточно считать 2 (2n 1) , где n = 0, 1; 2, ... При этом sin = 1, cos = 0, a sin =

ch > 1 при любом 0.

Так как sin > 1, то cos оказывается чисто мнимой величиной. При этом коэффициенты отражения R и R , определяемые формулами (10.16) и (10.21), выражаются как (a ib)/(a ib), где а и b – действительные числа. Следовательно, по абсолютной величине

R и R‖ равны единице и могут быть представлены в форме

Это означает, в частности, что средняя плотность потока энергии одинакова в падающей и отраженной волнах.

Таким образом, для возникновения полного отражения необходимо выполнение двух условий:

вторая среда должна быть оптически менее плотной по сравнению с первой (k2 < k1 или n2 < n1);

угол падения должен быть больше критического ( кр).

где x 0.

Аналогично записывается поле в первой среде в случае параллельно поляризованных волн.

Из полученных формул следует, что в первой среде электромагнитное поле имеет структуру плоской волны, распространяющейся вдоль поверхности раздела (вдоль оси Z), и представляет собой направляемую волну, направление распространения, которой определяется (направляется) границей раздела. Поверхности равных фаз образуют

семейство плоскостей, перпендикулярных оси Z. Амплитуды векторов E и H зависят от координаты х и угла падения . Поверхности равных амплитуд образуют семейство плоскостей, перпендикулярных оси Х. Так как ПРА и ПРФ не совпадают друг с другом (они образуют взаимно перпендикулярные плоскости), то волна является неоднородной плоской волной.

Вотличие от плоской волны, свободно распространяющейся в безграничной однородной изотропной среде и всегда являющейся поперечной, в рассматриваемой волне имеются продольные (параллельные направлению распространения) составляющие векторов поля.

Вслучае нормальной поляризации вектор H имеет как поперечную Нх, так и продольную

составляющие, а вектор H целиком лежит в поперечной плоскости. Фазовая скорость рассматриваемой волны

больше фазовой скорости волны, распространяющейся в однородной среде с параметрами

Из формулы (10.30) видно, что фазовая скорость уменьшается с увеличением угла падения. Ее минимальное значение при /2 равно скорости света в первой среде.

Длина волны z вдоль направления распространения (оси Z) или (что то же самое) длина рассматриваемой направляемой волны вычисляется по формуле:

Изменение составляющих векторов E и H в первой среде вдоль любой линии, перпендикулярной поверхности раздела (т.е. параллельной оси Х), имеет характер стоячей волны (рис. 10.6) с длиной

Комплексный вектор Пойнтинга определяется выражением

Здесь знак "+" соответствует случаю нормальной поляризации, а знак "–" – параллельной поляризации. Постоянная в зависимости от типа поляризации падающей волны равнаили . Из (10.35) следует, что комплексный вектор Пойнтинга имеет две составляющие

Среднее значение вектора Пойнтинга:

Следовательно, в среднем энергия распространяется только в направлении оси Z, т.е. вдоль поверхности раздела. В направлении, перпендикулярном поверхности раздела, существует только реактивный поток энергии. Имеется бесчисленное множество плоскостей, перпендикулярных оси Х, на которых касательная к ним составляющая напряженности электрического поля (Еу в случае нормальной и Еz в случае параллельной поляризаций) и нормальная составляющая напряженности магнитного поля тождественно равны нулю (см. рис. 10.6). Точки пересечения этих плоскостей с осью Х определяются из уравнения

условиям, эквивалентным граничным условиям на поверхности идеально проводящего металла. Кроме того, поток энергии (как активный, так и реактивный) через эти плоскости тождественно равен нулю ( П x 0 ). Это означает, в частности, что, если бы одна из этих

Средняя скорость распространения энергии направлена вдоль оси Z. Для ее определения выделим в поле рассматриваемой волны объем, заключенный между двумя соседними плоскостями, которые определяются уравнением (10.37). Этот объем может быть произвольно протяженным вдоль оси Y. Так как в пределах поперечного сечения этой

трубки значения вектора Пойнтинга П и объемной плотности электромагнитной энергии w зависят от переменной х, то скорость переноса энергии равна:

Таким образом, скорость распространения энергии меньше скорости света в первой среде. Из формул (10.30) и (10.39) следует, что произведение фазовой скорости на скорость распространения энергии равно квадрату скорости света в первой среде:

Перейдем к анализу свойств поля, возникающего во второй среде. В случае нормальной

полном отражении от границы раздела двух диэлектриков cos является мнимой величиной, удобно ввести обозначение

где

Подчеркнем, что параметр при кр является действительным числом.

Знак «–» при i в формуле (10.41) выбран из физических соображений (при выборе знака «+» амплитуда поля во второй среде с удалением от границы раздела вдоль оси Х будет возрастать до бесконечности, что невозможно).

Учитывая равенство (10.41) и соотношение (10.11), перепишем формулы (10.9) в форме

Формулы для поля параллельно поляризованной волны записываются аналогично и могут быть получены из выражений (10.43) на основе перестановочной двойственности уравнений Максвелла.

Из формул (10.43) следует, что во второй среде электромагнитное поле имеет структуру плоской неоднородной волны, распространяющейся вдоль оси Z. Поверхности равной фазы (z = const) и равной амплитуды (х = const) взаимно перпендикулярны. Фазовая скорость и длина волны = z такие же, как в первой среде, и определяются формулами (10.30) и (10.34) соответственно. Имеются продольные составляющие векторов поля (Нz в случае нормальной поляризации и Еz в случае параллельной поляризации). Продольные составляющие сдвинуты по фазе относительно поперечных на /2.

Вектор Пойнтинга имеет две составляющие П z и П x . При этом составляющая П z является вещественной, а составляющая П x – чисто мнимой. Это означает, что во второй среде так же, как в первой среде, энергия в среднем распространяется только в направлении оси Z. В

направлении, перпендикулярном поверхности раздела, существует только реактивный поток энергии.

Амплитуды векторов поля экспоненциально убывают с удалением от поверхности раздела (см. рис. 10.6). Постоянная определяющая скорость этого убывания, зависит от угла падения . При = кр постоянная равна нулю. При изменении угла от кр до /2

среде фактически существует лишь в некотором слое, примыкающем к поверхности раздела, и распространяется вдоль границы раздела. Такая волна называется

поверхностной.

Для вычисления скорости распространения энергии нужно выбрать энергетическую трубку, на боковой поверхности которой нормальная составляющая вектора Пойнтинга равна нулю. В качестве такой трубки в рассматриваемом случае нужно выбрать объем, протяженный по оси Х от х = до первой плоскости, на которой составляющая Пх равна нулю. Эта плоскость расположена в первой среде и, как это следует из формулы (10.37), пересекает ось Х в точке х = – /2k1 cos , определяемой из уравнения sin (2k1 cos + ) = 0, где равно или в зависимости от поляризации падающей волны. Скорость распространения энергии во второй среде имеет такое же значение, как и в первой, т.е. определяется выражением (10.39).

10.6. Диэлектрик и идеальный проводник

Все выводы данного раздела получены в предположении, что обе среды являются идеальными диэлектриками. Тем не менее, полученные выражения позволяют также исследовать случай, когда первая среда – диэлектрик, а вторая – идеальный проводник. Как уже отмечалось, Zс для идеального проводника равно нулю. Поэтому для перехода к случаю падения плоской волны из диэлектрика с параметрами и на плоскую идеально проводящую поверхность нужно в окончательных формулах положить Zc2 = 0. При этом

при любом угле падения . Следовательно, полное отражение от поверхности идеального проводника имеет место при любых углах падения. Поле во второй среде тождественно равно нулю, а в первой представляет собой направляемую волну, распространяющуюся вдоль границы раздела (вдоль оси Z).

На границе раздела (при х = 0) в рассматриваемом частном случае должно выполняться

подставляя (10.44) в (10.37) и полагая n = 0, получаем х0 = 0. Это означает, что первая плоскость, на которой Emy = 0, совпадает с границей раздела.

Фазовая скорость, длина волны и скорость распространения энергии в этом случае такие же, как при полном отражении от границы раздела двух диэлектриков, и определяются формулами (10.30), (10.34) и (10.39) соответственно. Структура поля вдоль оси Х также имеет характер стоячей волны с длиной x, определяемой выражением (10.34).