Лекции / ЛЕКЦИЯ №12 ОТЭМПиВ

Лекция № 12 § 10. Волновые явления на границе раздела двух сред

10.1. Поле однородной плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении

Ранее рассматривалось распространение электромагнитных волн в однородных средах. Однако при решении многих практически важных задач нельзя считать, что среда является однородной. На структуру поля и характер распространения волны существенно влияет граница раздела сред, обладающих разными свойствами. Попадая на поверхность раздела двух сред, электромагнитная волна может частично (или полностью) отразиться либо частично (либо полностью) пройти в другую среду. Кроме того, возможно и более сложное явление, называемое дифракцией волн.

Для изучения волновых явлений на границе раздела двух сред систему координат обычно вводят таким образом, чтобы поверхность раздела совпадала с одной из координатных поверхностей. При этом в общем случае направление распространения волны не совпадает ни с одной из координатных осей.

Ограничимся рассмотрением линейно поляризованных волн. Предположим, что волна распространяется в однородной изотропной среде вдоль оси Z , образующей с осями Х, Y, Z прямоугольной системы координат углы x, y и z соответственно (рис. 10.1). Поле однородной плоской волны в среде без потерь можно представить в виде:

равных фаз волны (10.1) образуют семейство плоскостей, перпендикулярных оси Z'. Для

Если проводимость среды отлична от нуля, то формуле (10.4) нужно параметр k считать

Прежде чем перейти к анализу волновых явлений на границе раздела двух сред, введем некоторые определения. Назовем плоскость, проходящую через нормаль к поверхности раздела двух сред параллельно направлению распространения волны, плоскостью падения. Вектор напряженности электрического поля плоской волны перпендикулярен направлению ее распространения, а по отношению к плоскости падения может быть ориентирован произвольно. Однако, не нарушая общности анализа, можно ограничиться рассмотрением

вектор E параллелен плоскости падения (параллельно поляризованная плоская волна).

10.2. Падение нормально поляризованной плоской волны на границу раздела двух сред

Пусть линейно поляризованная плоская электромагнитная волна падает на плоскую бесконечно протяженную границу раздела двух однородных изотропных сред, характеризуемых параметрами 1, 1 и 2, 2 соответственно. Введем прямоугольную систему координат х, у, z так, чтобы плоскость YOZ совпадала с поверхностью раздела, а плоскость падения – с плоскостью XOZ. Угол между направлением распространения волны и нормалью к поверхности раздела будем называть углом падения (рис. 10.2).

В выбранной системе координат направляющие косинусы, определяющие направление распространения волны,

Следовательно, фазовый множитель падающей волны имеет вид:

Предполагается, что падающая волна является нормально поляризованной. В этом случае соответствующий ей вектор

лежит в плоскости падения (рис. 10.3). Подставляя формулы (10.5) в (10.4) и учитывая, что в рассматриваемом случае

характеристическое сопротивление волны в первой среде, получаем:

напряженности электрического поля в начале координат (при х = z = 0). Соответственно

начале координат.

Из физических соображений очевидно, что падающая волна может частично (или полностью) отразиться от границы раздела (х = 0) и частично (или полностью) пройти во вторую среду. Естественно предположить, что отраженная и преломленная волны будут плоскими.

Если, исходя из этого предположения, удастся найти поле, удовлетворяющее граничным условиям

средах соответственно, то это поле будет решением рассматриваемой задачи.

Граничные условия (10.7) должны выполняться на всей плоскости х = 0, т.е. при любых значениях переменных у и z. Так как поле падающей волны (10.6) не зависит от переменной у, то необходимо предположить, что поле отраженной и преломленной волн также не зависит от координаты у. Это означает, что векторы, определяющие направление распространения отраженной и преломленной волн, параллельны плоскости XOZ. Можно также предположить, что отраженная и преломленная волны являются нормально поляризованными (рис. 10.3). С учетом сделанных предположений выражения для векторов

осью Х и направлением распространения отраженной волны (см. рис. 10.2 и рис. 10.3), а

у-й составляющей напряженности электрического поля отраженной волны. Обычно вместо

Так как углы и 1 заключены в интервале [0, /2], то из равенства (10.10) следует первый закон Снеллиуса = 1 («Угол падения равен углу отражения»). Из равенства (10.11)

сред выражает второй закон Снеллиуса («Отношение синуса угла преломления к синусу

в первой и второй средах соответственно.

Для определения постоянных А и В используем граничные условия (10.7). Так как поле в первой среде складывается из полей падающей и отраженной волн, а поле во второй среде совпадает с полем преломленной волны, то формулы (10.7) принимают вид

Подставляя в эти выражения значения соответствующих составляющих комплексных амплитуд напряженности электрического и магнитного полей и учитывая равенства (10.10) и (10.11), приходим к соотношениям

где R и ϰ – коэффициенты отражения и прохождения соответственно. Их также часто называют коэффициентами Френеля. Символ означает, что рассматриваются нормально поляризованные волны. Деля обе части уравнений (10.13) на E0 , получаем

случае, если одна из сред (или обе среды) обладают проводимостью. При этом диэлектрическая проницаемость соответствующей среды будет комплексной величиной. Комплексными также будут соответствующие параметры k и Zc, a следовательно, и

Как видно из формул (10.14), модуль коэффициента отражения представляет собой отношение амплитуд напряженностей электрических полей отраженной и падающей волн в точке отражения (в рассматриваемом случае в любой точке границы раздела сред), а его аргумент равен разности фаз этих напряженностей в той же точке. Аналогично определяются модуль и аргумент коэффициента прохождения: в этом случае нужно только вместо отраженной волны рассматривать преломленную волну.

10.3. Падение параллельно поляризованной плоской волны на границу раздела двух сред

Предположим теперь, что волна, падающая на границу раздела (х = 0), является параллельно поляризованной. В этом случае вектор напряженности электрического

падения (у = 0), а вектор напряженности магнитного поля Hm0 ей перпендикулярен (рис. 10.4). Анализ этого

случая можно провести по аналогии с уже рассмотренным случаем нормальной поляризации или на основе перестановочной двойственности уравнений Максвелла. Используем второй путь.

Формулы, определяющие поле падающей волны, получаются из формул (10.6), если в последних в соответствии с перестановочной двойственностью уравнений Максвелла

При записи выражений (10.19) учтено, что 1 = .

Производя соответствующие замены в формулах (10.9), находим векторы поля преломленной волны:

Выражения для коэффициентов Френеля Rǁ и ϰǁ в случае параллельной поляризации могут быть получены непосредственно из формул (10.16) и (10.17), соответствующих нормальной