математика шпора 1 семестр

1.По Каши:Число А называется пределом функции f(x) в точке а, если эта функция определена в некоторой окрестности точки а , за исключением, быть может самой точки а и для каждого ε>0 существует δ>0 такое , что для всех x , удовлетворяющих условию |x-a|<δ,x≠a выполняется неравенство | f(x)-A|<ε.

2. . Число в называется левым пределом функции f(x) в точке а, если для Ɐε>0 Ǝδ>0 такое , что для любого x и a –δ<x<a, выполняется неравенство |f(x)-b|<ε . (Левый предел )

3. .Функция f(x) называется бесконечно большой в точке а , если для любого М>0 существует такое δ(М)>0 , что для любого x , удовлетворяющему неравенству 0<|x-a|<δ, выполняется неравенство :

f(x)>M[ ].

4. .Число в называют пределом функции f(x) при x→- ∞, если Ɐε>0 ƎN: Ɐx<-N выполняется неравенство |f(x)-a|<ε.

5. Непрерывность функции. Функция f(x) называется непрерывной в точке а , если : 1)f(x) определена в точке а и её δ. 2) Ǝ конечный предел f(x) в точке а. 3) Этот предел равен значению функции в точке а , т.е. .

6.Производной f’(x) от функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента функции Δx : Δy / Δx при Δx→0 , если он Ǝ т.е. : y’(x0)=f’(x0)= или .

7.Функция f(x), имеющая производную в точке x0, называется дифферциреемой в этой точке.

8. Прямая x=x0 называется вертикльной ассимптотой , если хотя бы одно из предельных значений и равно ∞(+или-). (Но прямая x=x0 не может быть вертикальной асимптотой , если f(x) непрерывна в точке x0. Поэтому вертикальные ассимптоты ищут в точках разрыв функции)

Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x), если

9.Точка а, в которой нарушено хотя бы одно из 3-ех условий непрерывности функции :1)f(x) определена в точке а и её δ.2)Ǝ конечный предел f(x) в точке а. 3) Этот предел равен значению f(x) в точке а , т.е. ; называется точкой разрыва функции y=f(x).

10. Пусть функция дифференцируема в открытом промежутке (a,b) , на концах этого промежутка сохраняет непрерывность и принимает одинаковое значение : f(a)=f(b). Тогда Ǝ точка с є (а,в) , в которой производная f(x) равна нулю: f’(c) . Геом. Смысл: если координаты обоих концов гладкой кривой равны , то на кривой найдётся точка , в которой касательная к кривой || оси абсцисс.

11.Пусть f(x) дифференцируема в открытом промежутке (a;b) и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка , тогда Ǝ точка с є (а,в), что f’(c)= . Геом. Смысл : Хорда , проходящая через точку графика , соответсвующие концам отрезка а и б имеет угловой коэффициент равный k=tgα= Тогда внутри отрезка [a,b] найдется точка х=ε, в которой касательная к графику функции || к хорде.

12. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируемы на интервале (a,b) , причем g’(x)≠0 при всех хє(а,в) , тогда в этом интервале существует точка х=ε такая , что .

13.Рассмотрим многочлен n-й степени Р(х)= + + + ..+ .Его можно представить в виде суммы степеней х , а затем найдем значение многочлена и его производных в точке х=0. Р(x)= + +…+ =>Р(0)=

P’(x)= + +…+ =>P’(0)=a1=>a1=

P’’(0)=2a2+n*(n-1)*anx^(n-2) =>P’’(0)=2*1*a2=>a2= ........

(n)=n*(n-1)*(n-2)….2*1* =>P^n (0)=n*(n-1)*(n-2)…2*1*an=> an= Таким образом получаем , что P(x)=P(0)+ x + * +…+ * . Полученное выражение называется Формулой Маклорена для многочлена Р(х) степени n . Рассуждая аналогично, можно разложить многочлен Р(х) по степени разности (х-а), где а-любое число . P(x)=P(a)+ *(x-a)+ * +…+ * -Это выражение называют формулой Тейлора для многочлена Р(х) в окрестностях точки а.

14. Достаточное условие Ǝ экстремума 1)f(x)-определена и непрерывна в точке . 2) Ǝ конечная производная в некоторой окрестности точки , кроме ,тогда f’( меняет так с + на - => - точка локального макс(и обратно для мин).

15. Неопределенный интеграл.1) Функция F(x)- называется первообразной f(x) на отрезке [a,b], если для всех точек отрезка [a,b] выполняется f(x)= F’(x).2)Совокупность всех первообразных функций f(x) называется интегралом f(x) ( неопределенным интегралом ). ʃ f(x)dx= F(x)+c;f(x)-подынтегральная функция; F(x)- подынтегральное выражение.

16.Определенным интегралом от (Н) функции f(x) на конечном отрезке [a,b], где a≠b называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке . Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования , а отрезок [a,b]-отрезок интегрирования .ʃ f(x) dx= F(b)- F(а)= F(x) . Г.С. Если f(x) непрерывна и положительна на [a,b] , то интеграл это площадь криволинейной трапеции , ограниченной линиями y=0,x=a,x=b,y= f(x).

17. Матрицей размера m*n называется прямоугольная таблица , содержащая m*n чисел , состоящая из m строк и n столбцов A= Произведением матрицы на матрицу n*k называется матрица такая , что элемент С, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце , т.е.элемент , равен сумме произведений элементов i-ой строке матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В.

18. Чтобы вычислить определить матрицы А второго порядка , надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали = * - * . Для третьего порядка существует правило Звезда Давида. Для n-ого порядка применяется разложение по строке/столбцу.

19.Скалярным произведением ненулевых векторов и называется число , число равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. *b=( , )=| |*| |*cosα,где α- угол между этими векторами. Св-ва1) -Симметричность;2) -скалярный квадрат;3) 4) 5) 6) .

20.Векторным произведением векторов ненулевых векторов и называется вектор , обозначаемый символом | , | или * , длина которого | |=| |*| |*sin( , )

1. 2. если векторы коллинеарные 2. 3. 4.

21.Смешанным произведением векторов и называется число равное скалярному произведению вектора * на вектор Св-ва: 1) Смешанное произведение равно нулю, если векторы и – компланарны. 2) Модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов и равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. 3) Смешанное произведение векторов и , заданных своими координатами, равно значению определителя, составленного из координат этих векторов 4) Если тройка векторов правая, то смешанное произведение , если левая, то . 5) 6) 7) 8) .

22. Rang: рангом системы строк называется max кол-во линейно-независимых строк этой системы. Рангом матрицы А называется ранг ее системы строк и столбцов. Обозначается rangA. Система строк(векторов) называется линейно независимой (ЛИЗ) если только тривиальная линейная комбинация(ЛК) равна нулевой строке.

ЛК – тривиальная, если все коэф. λ равны 0 одновременно

ЛК строк – матрицы А называется выражение

23. Правило Крамера . Если определить матрицы квадратной системы не равен нулю , то система совместна и имеет существенное решение , которое находится по формуле Крамера где – определители матриц, которые получаются из матрицы 1 заменой -го столбца на столбец свободных членов 2. если определитель равен 0 , то система может быть как совместной, так и и несовместной

Ответ. ,

24. Если однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместимой

25. Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений: Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы, причем:

1. система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных

2. бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных

26. Фундаментальная система решений (ФСР) - однородной СЛАУ называется базис этой системы столбцов.

Т: Общее решение неоднородной СЛАУ равно сумме частного решения неоднородной СЛАУ и общего решения соответствующей однородной СЛАУ

27. Любую плоскость заданную в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства, можно определить уравнением Ax+By+Cz+D=0. В свою очередь, это уравнение определяет некоторую плоскость в данной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. A,B,C,D - некоторые действительные числа, A,B,C не равны одновременно нулю.

Плоскость проходит через 3 различные не лежащие в одной прямой точки , , тогда и только тогда, когда три вектора М1М3, М2М3, М1М2 компланарны, следовательно произведение этих векторов равно 0, следовательно если М1(Х1,У1,Z1), М2(Х2,У2,Z2), М3(Х3,У3,Z3)

=0, после вычислений получится ур.пл., проход. через точки , ,

28. Нормальное уравнение плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, удаленную от начала координат на расстояние в положительном направлении единичного нормального вектора плоскости [ – это некоторые числа, которые в сумме дают 1]

Уравнение плоскости в отрезках имеет вид: , где a, b, c – действительные числа ≠0. Абсолютные значения величины чисел a, b, c равны длинам отрезков , которые отсекаются плоскостью на осях Ох, Oy, Ozв трехмерной системе координат Oxyz

Откладываются длины отрезков от начала координат. Направление, в котором необходимо откладывать длину отрезка определяет знак стоящий перед числом.

29. Любая прямая плоскость может быть задана уравнением (ого порядка Ax+Bx+C=0, A и B - const и ≠0 [общее уравнение прямой]) Каноническим уравнение прямой, проходящей через заданную точку Мо(Хо,Уо,Zo) и имеющие заданный направляющий вектор (a1,a2,a3) называется уравнение вида: Параметрические уравнение прямой полученной из канонического уравнения прямой имеющие вид: . Примем параметр t величинy на которую можно умножить левую и правую часть канонического уравнения получим:

параметрические уравнение прямой

30. Ненулевой вектор , который при умножении на некоторую квадратную матрицу А превращается в самого же себя с числовым коэффициентом λ, называется собственным вектором матрицы А, число λ называют собственным значением или собственным числом этой матрицы

31. Сфера: Элептический цилиндр: Гиперболический цилиндр:

Параболический цилиндр: Эллипсоид:

Конус:

Однополосный гиперболоид: Двухполосный гиперболоид: Эплиптический параболоид: Гиперболический параболоид: