Лабораторные 4 сем / Лабораторная работа №14-15

Министерство цифрового развития, связи и массовых

коммуникаций Российской Федерации

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное

бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Московский технический университет связи и информатики»

(МТУСИ)

Кафедра «Теория электрических цепей»

Лабораторная работа №5

«Исследование цифровых фильтров»

Выполнил студент группы

----

Проверил доцент кафедры «Теория электрических цепей»

----

Москва ----

Предварительный расчет

1.1 Найти передаточную функцию H(z) трехзвенного КИХ-фильтра второго порядка, выполняющего функцию скользящего среднего (рис. 1).

Рисунок 1 – трехзвенный КИХ-фильтр второго порядка

y_i = a₀x_i + a₁x_i–1 + a₂x_i–2 — разностное уравнение цифрового фильтра;

a₀ = a₁ = a₂ = 1/3 — коэффициенты.

H(z) = a₀ + a₁z^-1 + a₂z^-2 + … + a_N-1z^-(N-1) = 1/3(1 + z^-1 + z^-2)

1.2 Найти выражение для комплексного коэффициента передачи Н(jωT).

Для получения дальнейших характеристик в H(z) cделаем замену: z = e^jωT

Частотный коэффициент передачи H(jωT) = a₀+a₁e^-jωT+a₂e^-2jωT+…+ a_N-1e^-j(N-1)ωT

H(jωT) = (1 + e^-jωT + e^-2jωT)

Построить графики АЧХ — |Н(jωT)| и ФЧХ — arg(Н(jωT)) от частоты ωT, 0 ≤ ωT≤ 2π (T = const — интервал дискретизации по времени) данного фильтра.

Рисунок 2 – АЧХ трехзвенного КИХ-фильтра

Рисунок 3 – ФЧХ трехзвенного КИХ-фильтра

1.3 Получить реакцию данного КИХ-фильтра на ступенчатое воздействие (рис. 4).

Рисунок 4 – ступенчатое воздействие

Построить график y_i.

Рисунок 5 - Реакция КИХ-фильтра на ступенчатое воздействие

Получить импульсную характеристику данного фильтра. Построить ее график.

- единичный импульс

Рисунок 6 - Импульсная характеристика КИХ-фильтра

1.4 Нарисовать структурную схему четырехзвенного КИХ-фильтра (N = 4), выполняющего функцию скользящего среднего. Найти его передаточную функцию H(z). Построить графики АЧХ и ФЧХ данного фильтра.

H(z) = (1 + z^-1 + z^-2 + z^-3)

Рисунок 7 – АЧХ четырехзвенного КИХ-фильтра

Рисунок 8 – ФЧХ четырехзвенного КИХ-фильтра

1.5 Нарисовать структурную схему пятизвенного КИХ-фильтра (N = 5), выполняющего функцию скользящего среднего. Найти его передаточную функцию H(z). Построить графики АЧХ и ФЧХ данного фильтра.

H(z) = (1 + z^-1 + z^-2 + z^-3 + z^-4)

Рисунок 9 – АЧХ пятизвенного КИХ-фильтра

Рисунок 10 – ФЧХ пятизвенного КИХ-фильтра

1.6 Найти передаточную функцию H(z) типового звена БИХ-фильтра первого порядка (рис. 11).

Рисунок 11 – БИХ-фильтр первого порядка

y_i = a₀x_i + a₁x_i–1 + b₁y_i–1 — разностное уравнение цифрового фильтра первого порядка;

a₀ = 0, a₁ = 6, b₁ = 0,18 — коэффициенты.

Передаточная функция БИХ-фильтра H(z):

H(z) = =

Проверить фильтр на устойчивость.

; z = 0,18 < 1 — полюс передаточной функции находится внутри единичной окружности z-плоскости, значит данный БИХ-фильтр устойчивый.

Рассчитать и построить импульсную характеристику данного фильтра.

Рисунок 12 – Импульсная характеристика БИХ-фильтра первого порядка

Найти выражение для комплексного коэффициента передачи Н(jωT).

Н(

Построить графики АЧХ — |Н(jωT)| от частоты ωT, 0 ≤ ωT≤ 2π (T = const - интервал дискретизации по времени) данного фильтра для двух значений коэффициента b₁ (b₁ = 0,18, b₁ = -0,18).

Рисунок 13 – АЧХ БИХ-фильтра первого порядка

1.7 Найти передаточную функцию H(z) типового звена БИХ-фильтра второго порядка (рис. 14).

Рисунок 14 – БИХ-фильтр второго порядка

y_i = a₀x_i + a₁x_i–1 + a₂x_i–2 + b₁y_i–1 + b₂y_i–2 — разностное уравнение цифрового фильтра второго порядка;

a₀ = 6, a1 = 1, a₂ = –2, b₁ = 0,2, b₂ = –0,18 — коэффициенты.

Передаточная функция БИХ-фильтра H(z):

Проверить фильтр на устойчивость.

;

D = 1 – 18 = -17;

z_1,2 (|Z| = 0.4243 < 1)

Полюсы передаточной функции лежат внутри единичной z-окружности, значит фильтр устойчивый.

Рассчитать и построить импульсную характеристику данного фильтра.

Рисунок 15 – Импульсная характеристика БИХ-фильтра второго порядка

Найти выражение для комплексного коэффициента передачи Н(jωT).

Построить графики АЧХ —|Н(jωT)| от частоты ωT, 0 ≤ ωT≤ 2π (T = const) данного фильтра.

Рисунок 16 – АЧХ БИХ-фильтра второго порядка

Выполнение работы

Выполнить моделирование схем раздела 1 в среде MicroCap. Тактовую частоту фильтров установить 24 кГц. Построить в линейном масштабе частотные характеристики всех фильтров, занести их в отчет. Характеристики строить для диапазона частот 0…32 кГц.

Рисунок 17 - АЧХ трехзвенного КИХ-фильтра

Рисунок 18 - АЧХ четырехзвенного КИХ-фильтра

Рисунок 19 - АЧХ пятизвенного КИХ-фильтра

Рисунок 20 – АЧХ БИХ-фильтра первого порядка при b₁=0.18

Рисунок 20 – АЧХ БИХ-фильтра первого порядка b₂=-0.18

Рисунок 21 – АЧХ БИХ-фильтра второго порядка

Контрольные вопросы

1. Что называется z-преобразованием?

Z-преобразование - преобразование последовательности x[n] в функцию комплексного переменного z:

2. Какими свойствами обладает z-преобразование?

• Линейность

• Свойство задержки

3. Какие фильтры называются цифровыми?

Цифровой фильтр - цифровая система, которую можно использовать для фильтрации дискретных сигналов.

4. Какие фильтры называются КИХ-фильтрами?

КИХ-фильтры - фильтры с конечной импульсной характеристикой. Они не содержат обратной связи, а их передаточная функция представляет собой полином по z^-1 в числителе (знаменатель равен 1).

5. Какие фильтры называются БИХ-фильтрами?

БИХ-фильтры - фильтры с бесконечной импульсной характеристикой. Они содержат обратную связь, и их передаточная функция является рациональной функцией: H(z)=B(z)/A(z), где A(z) 1.

6. Приведите условие устойчивости БИХ-фильтров.

БИХ-фильтр устойчив, если все его полюса находятся внутри единичной окружности на z-плоскости: |z_p| < 1. Для фильтра 1-го порядка это эквивалентно |b1| < 1.

7. Дайте определение передаточной функции цифрового фильтра.

Передаточная функция H(z) - отношение z-преобразования выходного сигнала к z-преобразованию входного сигнала при нулевых начальных условиях: H(z)=Y(z)/X(z).

8. Дайте определение импульсной характеристики цифрового фильтра.

Импульсная характеристика h[n] - это выходной сигнал фильтра при подаче на вход единичного импульса δ[n]. Она является обратным z-преобразованием H(z).

9. Какова связь между импульсной и частотной характеристиками цифрового фильтра?

Частотная характеристика получается как дискретное преобразование Фурье импульсной характеристики: H(e^jω) = Σh[n]*e^-jωn. Соответственно, |H(e^jω)| и arg(H(e^jω)) определяют АЧХ и ФЧХ.