Релятивистская квантовая механика / БДЗ

Аттестация по первой половине курса РКТ группы Б22-105.

Справка:

Уравнение Дирака

[i__-m](x)=0.

-матрицы Дирака подчиняются антикоммутационному соотношению:

__+__=2g_1. (1)

Алгебра матриц Дирака

Четыре матрицы Дирака _ (=0,1,2,3), подчиняющиеся антикоммутационным соотношениям:

__+__=2g_1

₀=I 0; _i=0 _i; ₀²=1; ₀⁺=₀; _i²=-1; _i⁺=-_i (i=1,2,3); Sp_=0.

0 -I -_i 0

₅=-i₀₁₂₃=0 -I; ₅²=1; ₅⁺=₅; Sp₅=0.

-I 0

Матрица ₅ антикоммутирует с матрицами _:

_₅+₅_=0

Четырехрядное обобщение оператора :  =   0  = -₅₀.

 0  

Оператор спиральности:  = (n) = (n) 0 = -₅₀(n); n=p/|p|.

0 (n)

Задача 1. Доказать, что для частицы с массой m, импульсом p и энергией E форма d³p/E является релятивистским инвариантом.

Задача 2. (a) Показать, что при столкновении двух частиц с массами m₁ и m₂ и образовании двух частиц с массами m₃ и m₄ инвариантные мандельстамовские переменные s=(p₁+p₂)², t=(p₁-p₃)², u=(p₁-p₄)² связаны соотношением s + t + u = m₁²+m₂²+m₃²+m₄². (б) Для упругого рассеяния электрона на электроне выразить переменные s, t, u через энергию, импульс и угол рассеяния в ц-системе.

Задача 3. Упростите выражение __(1+₅)p̑q̑ (1+₅)__.

Справка:

Очень полезная формула для матриц Дирака:

___ = g__ + g__ - g__ - i__₅ (*)

Sp(__) = 4g_

Задача 4. На основании формулы (*) доказать еще одну полезную формулу:

₅(__-__) = -i___. (**)

Задача 5. (a) На основании формулы (**) показать, что след Sp(__₅)=0.

(b) На основании формулы (*) показать, что след Sp(____₅) = 4i_ .

(c) Показать, что след Sp(____) = 4(g_g_ + g_g_ - g_g_).

Задача 6. Доказать, что оператор z-товой компоненты момента количества движения

L_z =(xp_y – yp_x) не коммутирует с оператором Гамильтона дираковских частиц H_D = p + m. Вычислить коммутатор [H_D, L_z].

P.S. С оператором Гамильтона дираковских частиц коммутирует только суммарный момент J=L+S.

Это является подтверждением того, что уравнение Дирака написано для частиц со спином S=1/2.

Задача 7. Показать, что антисостоянием к правому фермионному состоянию дираковской частицы является левое состояние античастицы (_R)^С = (^С)_L.

Указание:

C = i₂₀ и дейcтвует на ()^T

C(^(e))^T = i₂₀(^(e))^T = ^(-e).

С()^T = ^C.

Задача 8. Показать, что правый биспинор u_R=(1/2)(1-₅)u^ в ультрарелятивистском приближении содержит только правую спиральности =+1, а левый биспинор для античастицы v_L=(1/2)(1-₅)v^ содержит только левую спиральность =-1.

Задача 9. Введите взаимодействие с электромагнитным полем в лагранжиан свободных скалярных заряженных частиц, подчиняющихся уравнению Клейна – Гордона. Запишите лагранжиан взаимодействия и изобразите его графически.

(105) Задача 10. Показать, что требование локальной калибровочной инвариантности не имеет места для скалярных нейтральных частиц с лагранжианом

L₀=(1/2)(__ - m²).

-----------------------------------------------------

Присылайте задание на мою почту: tlmnsva@gmail.com (задание принимается до 28 октября включительно).