Министерство науки и высшего образования РФ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Омский государственный технический университет»

Кафедра «Автоматизированные системы обработки информации и управления»

РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

на тему “Расчёт надежности системы”

по дисциплине «Качество и надежность программных систем»

Вариант 19

Доцент, к. т. н. В.Н. Цыганенко

Студент группы ПИН-221 Г.С. Титов

Омск 2025

ЗАДАНИЕ

По структурной схеме надежности технической системы в соответствии с вариантом задания, требуемому значению вероятности безотказной работы системы  и значениям интенсивностей отказов ее элементов (табл. 6.1) требуется:

1. Построить график изменения вероятности безотказной работы системы от времени наработки в диапазоне снижения вероятности до уровня 0.1 - 0.2.

2. Определить  - процентную наработку технической системы.

3. Обеспечить увеличение  - процентной наработки не менее, чем в 1.5 раза за счет:

1. повышения надежности элементов;

2. структурного резервирования элементов системы.

Все элементы системы работают в режиме нормальной эксплуатации (простейший поток отказов). Резервирование отдельных элементов или групп элементов осуществляется идентичными по надежности резервными элементами или группами элементов. Переключатели при резервировании считаются идеальными.

На схемах обведенные пунктиром m элементов являются функционально необходимыми из n параллельных ветвей.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Структурная схема надежности приведена на рисунке 1. Значения интенсивности отказов элементов даны в 1/ч.

Рисунок 1 – Структурная схема надёжности

_ = 0.1 ₁₀ = 1

₂ = ₃ = 5 ₁₁ = ₁₂ = 5

₄ = 0.5 ₁₃ = 0.5

₅ = ₆ = 5 _{4 =} _{5 =} 5

₇ = 1

₈ = ₉ = 3

1. В исходной схеме элементы 2 и 3 образуют параллельное соединение. Заменяем их квазиэлементом А. Учитывая, что p2  p3, получим

p_A  1 q₂q₃  1 – q₂² = 1 (1 – p₂)² .

2. Элементы 5 и 6 также образуют параллельное соединение, заменив которое элементом В и учитывая, что p5  p6, получим

p_B  1 q₅q₆  1 – q₅² = 1 (1 – p₅)² .

3. Элементы 8 и 9 в исходной схеме соединены параллельно. Заменяем их элементом С, для которого при p8  p9

p_C  1 q₈q₉  1 – q₈² = 1 (1 – p₈)² .

4. Элементы 11 и 12 образуют параллельное соединение. Заменяем их элементом D, для которого при p11  p12 , получим

p_D  1 q₁₁q₁₂  1 – q₁₁² = 1 (1 – p₁₁)² .

5. Элементы 14 и 15 с параллельным соединением заменяем элементом Е , причем, так как p14  p15  p8 , то

P_E  1 q₁₄q₁₅  1 – q₁₄² = 1 (1 – p₁₄)² .

6. Преобразованная схема изображена на рисунке 2.

Рисунок 2 – Преобразованная схема

7. Элементы A, 7, D образуют последовательным соединением заменяем элементом F, получаем

p_F  p_Ap₇p_D = (1 (1 – p₂)²)* p₇ * (1 (1 – p₁₁)²).

8. Элементы 4, C, 13 образуют последовательным соединением заменяем элементом G, получаем

p_G  p₄p_Cp₁₃ = p₄ * (1 (1 – p₈)²) * p₁₃.

9. Элементы B, 10, E образуют последовательным соединением заменяем элементом H, получаем

p_H  p_Bp₁₀p_E = (1 (1 – p₅)²)* p₁₀ * (1 (1 – p₁₄)²).

10. Преобразованная схема изображена на рисунке 3.

Рисунок 3 – Преобразованная схема

11. Элементы F, G и H образуют параллельное соединение, заменив которое элементом I и учитывая, что p5  p6, получим

p_I  1 – q_Fq_Gq_H = 1 – ((1 p_F) * (1 – p_G) * (1 – p_H)).

12. Преобразованная схема изображена на рисунке 4.

Рисунок 4 – Преобразованная схема

13. В преобразованной схеме элементы 1, образуют последовательное соединение. Тогда вероятность безотказной работы системы

P = p₁p_I

14. Так как по условию все элементы системы работают в периоде нормальной эксплуатации, то вероятность безотказной работы элементов с 1 по 15 подчиняются экспоненциальному закону:

p_i  exp( -_it )

15. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы элементов 1 - 15 исходной схемы по формуле для наработки до 310⁶ часов на рисунке 5.

Рисунок 5 – Расчёт вероятности безотказной работы системы

16. Результаты расчетов вероятностей безотказной работы квазиэлементов A, B, C, D, E, F, G, H и I также представлены на рисунке 5.

17. На рис. 6 представлен график зависимости вероятности безотказной работы системы P от времени (наработки) t.

Рисунок 6 – Изменение вероятности безотказной работы исходной системы (P)

18. По графику находим для   75% (P_  0.75)  - процентную наработку системы T  0,22510⁶ ч.

19. Проверочный расчет на рисунке 7 при t  0,22510⁶. ч показывает (таблица 7.1), что P  0.753101  0.75.

Рисунок 7 – Проверка расчёта процентной наработки

20. По условиям задания повышенная  - процентная наработка системы ч.

21. Расчет показывает (рисунок 5) что при t  0,3375 * . ч для элементов преобразованной схемы (рисунок 4) ,  0.513185. Следовательно, из двух последовательно соединенных элементов минимальное значение вероятности безотказной работы имеет элемент I (2 параллельно соединенных элемента) и именно увеличение его надежности даст максимальное увеличение надежности системы в целом.

22. Для того, чтобы при  ч система в целом имела вероятность безотказной работы  0.75, необходимо, чтобы элемент I имел вероятность безотказной работы: При этом значении элемент I останется самым ненадежным в схеме (рисунок 4) и рассуждения в п.21 останутся верными. Очевидно, значение , полученное по данной формуле, является минимальным для выполнения условия увеличения наработки не менее, чем в 1.5 раза, при более высоких значениях увеличение надежности системы будет большим.

23. Для определения минимально необходимой вероятности безотказной работы элементов p_F, p_G, p_H, необходимо решить уравнение из пункта 11 относительно при  . Подставим данное значение в формулу: . Упростим выражение: Однако, т.к. аналитическое выражение этого уравнения связано с определенными трудностями, более целесообразно использовать графоаналитический метод. Для этого по данным таблицы на рисунке 5 строим график зависимости = . График представлен на рисунке 8.

Рисунок 8 – График зависимости

24. По графику при pI  0.7758 находим p_F  0.35.

25. Так как по условиям задания все элементы работают в периоде нормальной эксплуатации и подчиняются экспоненциальному закону, то для элементов F, G, H при t  0,3375 * находим

26. Таким образом, для увеличения  - процентной наработки системы необходимо увеличить надежность элементов 2-3, так как I состоит из F, G, H. Берём квазиэлемент A из F. Он состоит в свою очередь из 2 и 3. и снизить интенсивность их отказов с 0.75 до 0.311  10^-6 ч ^1 , т.е. в 2.4 раза.

27. Результаты расчетов для системы с увеличенной надежностью элементов 2, 3 приведены на рисунке 9. Там же приведены расчетные значения вероятности безотказной работы системы в целом P`. При t  0.337510⁶ . ч вероятность безотказной работы системы P  0.80277  0.8, что соответствует условиям задания. График приведен на рис 10.

Рисунок 9 – Расчёт безотказной работы системы

Рисунок 10 – График безотказной работы системы

28. Для второго способа увеличения вероятности безотказной работы системы - структурного резервирования - по тем же соображениям также выбираем элемент I, вероятность безотказной работы которого после резервирования должна быть не ниже p_I   0.7758.

29. Возьмём элемент A из I по аналогии с пунктом 26. Для элемента I - системы из параллельных элементов - резервирование означает увеличение общего числа элементов. Аналитически определить минимально необходимое количество элементов невозможно, т.к. число элементов должно быть целым и функция p_I  f (n) дискретна.

30. Для повышения надежности параллельной системы A добавляем к ней элементы, идентичные по надежности исходным элементам 1-2, до тех пор, пока вероятность безотказной работы квазиэлемента I не достигнет заданного значения.

31. При добавлении 71 идентичного элемента в квазиэлемент A, p_I не может быть больше, чем 0.7758 (рис. 11). Поэтому добавим элементы в квазиэлемент D, который входит в элемент F.

Рисунок 11 – Расчёт p_I при 71 дополнительном элементе

32. При добавлении дополнительных 6 элементов в квазиэлемент D (рис. 12), p_I > 0.7758.

Рисунок 11 – Расчёт p_I при 6 дополнительных элементах

Рисунок 12 – График безотказной работы системы

Вывод:

Для повышения надежности и увеличения 75% - наработки системы в 2.4 раза предложены два способа:

а) повышение надежности элементов 2 и 3, и уменьшение их отказов с 0.75 до 0.311  10⁶ ч^1;

б) нагруженное резервирование основных элементов 2, 3 идентичными по надежности резервными элементами.

Анализ зависимостей вероятности безотказной работы системы от времени (наработки) показывает, что второй способ повышения надежности системы (структурное резервирование) предпочтительнее первого, так как в период наработки до 0.3375  10⁶ часов вероятность безотказной работы системы при структурном резервировании (кривая P ) выше, чем при увеличении надежности элементов (кривая P ).