ЛР-7 (Изучение системы шифрования Пэйе и ее гомоморфных свойств)

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА» (СПбГУТ)

Факультет Криптографические протоколы

Кафедра Защищенных систем связи

Дисциплина Криптографические протоколы

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №7

«ИЗУЧЕНИЕ СИСТЕМЫ ШИФРОВАНИЯ ПЭЙЕ И ЕЕ ГОМОМОРФНЫХ СВОЙСТВ»

(тема отчета)

10.03.01 Информационная безопасность

(код и наименование направления/специальности)

Студент:

Лянгузов Н.А., ИКБ-31

(Ф.И.О., № группы) (подпись)

Преподаватель:

д-р техн. наук, проф., Яковлев В.А.

(уч. степень, уч. звание, Ф.И.О.) (подпись)

Цель лабораторной работы

Закрепление теоретических знаний, приобретение навыков шифрования и дешифрования информации с помощью КС Пэйе и изучение его гомоморфных свойств.

Таблица 1. Вариант №22

№			M
22	17	13	18

Ход выполнения лабораторной работы

Часть 1.

1. Генерация ключей

По варианту p = 13 и q = 17

Вычисляем n = pq, λ = НОК(p–1, q–1)

n = 221

Выберем случайное число g такое, что

g = 16

Проверка: НОД(16, 221²) = НОД(16, 48841) = 1

Вычисляем 129

12^-1 mod 221 = 129

221 = 12*18 + 5 5 = 221 – 12*18

12 = 5*2 + 2 2 = 12 – (221 – 12*18)*2 = 12*37 – 221*2

5 = 2*2 + 1 1 = (221 – 12*18) – (12*37 – 221*2)*2 = 221*5 – 12*92

-92 mod 221 = 129

Таким образом, открытый ключ {n, g} = {221, 16}

Закрытый ключ { λ, μ} = {48, 129}

2. Шифрование

Необходимо зашифровать сообщение m = 18, для этого выберем случайное число k < 100 такое, что

k = 75

Проверка: НОД(221, 75) = 1

Вычисляем криптограмму

Получили шифротекст c =

Генерируем случайное число . В нашем случае .

Введем значение сообщения , которое нужно зашифровать. По варианту,

Криптограмма вычисляется следующим способом: . В результате чего получаем .

= 25081

3. Дешифрование

Вводим значение получившейся криптограммы для дальнейшего расшифрования.

D(c) = L (c^λmod n^2)* μ mod n = 216 * 129 mod 221 = 18

L ( mod = = 216

Как видим, значение дешифрованного сообщения равно истинному значению , следовательно дешифрование удалось.

4. Проверка гомоморфности криптосистемы Пэйе.

Первое свойство, заключается в следующем: криптограмму можно возвести в степень и дешифровать, что равносильно умножению сообщения на эту константу:

Согласно второму свойству, при дешифровании произведения двух криптограмм будет получена сумма соответствующих им открытых сообщений:

Согласно варианту, возьмем m = m1 = m2 = 18, P(m) = 25081, r=3

= 30731

Дешифровать полученное сообщение по схеме Пэйе:

D(c) = L ( mod = = 54

Посчитаем = = 3*18 mod 221 = 54

Проверим второе свойство: согласно варианту, возьмем m1 =16, m2 = 20,

P(m1) = = 15170

P(m2) = = 2032

P(m1) * P(m2) mod = 15170*2032 mod 48841 = 6769

D(c) = L ( mod = 211 * 129 mod 221 = 36

L ( mod = =

(m1 + m2) mod n = 16 + 20 mod 95 = 36

Вывод:

В ходе выполнения данной лабораторной работы были изучены и вручную проведены преобразования, выполняемые при шифровании и дешифровании сообщений в системе Пэйе, проведена проверка её гомоморфных свойств.

Часть 2.

Решение.

1. Пользователи получают ключи по схеме Пэйе:

- открытый ключ и

- закрытый ключ и случайное число – k.

2. Пользователь А шифрует число х1 по схеме Пэйе:

3. Пользователь В шифрует число х2 по схеме Пэйе:

4. Сервер выполняет преобразование зашифрованных данных

где r (r>0) - случайное число и отправляет С пользователям.

5. Пользователи А и В дешифруют С и по свойству гомоморфности получают:

По свойству гомоморфности

6. Тогда, если

если

1. x1=29, x2 брать в одном случае меньше x1, в другом случае больше x1. Выбрать 2. Решить неравенство ,используя криптографическую схему Пэйе и ее гомоморфные свойства.

Ход работы

1. Генерация ключей

x1=№варианта + 10 = 22 +10 = 32

x2 = 20(в первом случае)

x2 = 100 (во втором случае)

Пусть p = 13, q= 17, тогда открытый ключ (n, g) = (221, 16), а закрытый

2. Шифрование

= 37814

= 2032 – для первого случая

= 6612 – для второго случая

3. Сервер выполняет преобразование зашифрованных данных

Пусть r = 120;

С = P(x1) * = 37814 * * mod = 5043 – для первого случая

С = P(x1) * = 37814 * * mod = 14388 – для второго случая

4. Пользователи А и В дешифруют С, получают:

D(c) = Z= L ( mod = 37 * 129 mod 221 = 132 – для первого случая

L ( mod = = = 37

D(c) = Z = L ( mod = 182 * 129 mod 221 = 52 – для второго случая

L ( mod = = = 182

5. Если Z> n/2, то x1>x2

Если Z <n/2, то x1<x2

Следовательно, в первом случае Z =132>221/2, значит x1>x2; во втором случае Z = 52<221/2, значит x1<x2

Вывод:

В ходе выполнения данной лабораторной работы представлены расчеты по созданию криптосистемы Пэйе и подробное решение неравенства.

Санкт-Петербург

2026