ЛР-1 (Приобретение навыков вычислений при моделировании криптосистем с открытым ключем на основе эллиптических кривых)

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ,

СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

(СПбГУТ)

Факультет Кибербезопасности

Кафедра Защищенных систем связи

Дисциплина Криптографические протоколы

ОТЧЕТ ПО ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ №1

Приобретение навыков вычислений при моделировании криптосистем с открытым ключем на основе эллиптических кривых

(тема отчета)

Направление/специальность подготовки

10.03.01 Информационная безопасность

(код и наименование направления/специальности)

Выполнил студент 3 курса:

Лянгузов Н.А., ИКБ-31

(Ф.И.О., № группы) (подпись)

Преподаватель:

д.т.н., проф. Яковлев В.А.

(Ф.И.О., № группы) (подпись)

Цель работы:

Приобретение навыков вычислений с использованием математического аппарата эллиптических кривых. Моделирование алгоритмов криптосистем с открытыми ключами на основе эллиптических кривых и их анализ.

Ход работы:

Вариант 22.

	Задано				Найти
Nвар	A	B	k	C		-C	kC
22	5,1	8,12	5	12,8		12,5	1,9

Задание 1.

Задана эллиптическая кривая Е13(1,1) в поле GF(13) по уравнению . (Уравнение вида , где a=1, b=1.)

Точки Е13(1,1) (без нулевой точки) представлены на рисунке.

Проверка принадлежности точек заданной кривой:

Так как x=y, то точка B принадлежит заданной кривой.

A(5,1)	:
	:

Так как x=y, то точка A принадлежит заданной кривой.

В(8,12)	:
	:

Так как x=y, то точка В принадлежит заданной кривой.

Взаимообратные точки:

A(5;1)	→	-A(5;12)
В(8;12)	→	-В(8;1)

Вычисления:

1. Найдем точку C по формуле

Так как A≠B, то

Ищем обратный элемент



+ 0



,

2. Поиск противоположной точки C

Умножение на константу k=5

1. 

Так как С=С, то

= 10

,

2. 

Так как R=R, то

,

3. и

Так как С≠Q, то

,

,

Проверим в калькуляторе эллиптических кривых

Задание 2.

Моделирование криптосистемы Эль-Гамаля на эллиптической кривой

Вариант 22.

	Задано			Вычислить
Nвар	d	r	E1		E2	C1	C2
22	3	4	0,25		1,62	28,11	43,35

1. Записать уравнение кривой Е₆₇(2,N), где N номер варианта.

– кривая, – уравнение кривой

2. Выбрать точку Е₁. Проверить ее принадлежность кривой.

Пусть Е₁ (0,25). 25² = 0³ +2*0+22 (mod 67) → 625 = 22 (mod 67) → 22=22 →Точка E принадлежит кривой y² = x³ + 2x+22

3. Вычислить точку Е₂ = d*E₁ (d=3 согласно варианту)

E₂ = 3*E₁= (1,62)

1. Передаем E₆₇(2,22), E₁(0,25) и E₂(1,62) корреспонденту В, в качестве открытого ключа, параметр d-закрытый ключ (не передается).

2. Выбираем произвольную точку P(0,42) =1764 mod 67 → 22=22 → точка принадлежит кривой) и r = 4.

3. Высчитать C₁=r*E₁= 4*Е₁(0,25)

4. Высчитать С₂ = P(0,42)+4*E₂(1,62)

5. P=C2-(d*C1) = (43,35)-(60,0)

Инверсной точкой к точке (60,0) будет (60,67-0) = (60,67), следовательно

P=(60,8)+(60,67)=(9,30)

Переданное сообщение при расшифровке совпадает с изначальным.

Вывод:

В ходе выполнения практического задания мы приобрели навыки вычислений с использованием матаппарата эллиптических кривых. Провели моделирование криптосистемы Эль-Гамаля на основе эллиптической кривой.

Санкт-Петербург

2026