ДМ
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОННИКИ (ТУСУР)
Кафедра комплексной информационной безопасности электронно-
вычислительных систем (КИБЭВС)
ИМЕТЬ ОБЩИЕ ГРАНИЦЫ МЕЖДУ СТРАНАМИ СЕВЕРНОЙ АФРИКИ Отчет по самостоятельной работе №2
по дисциплине «Дискретная математика
Студент гр.
Руководитель доцент кафедры КИБЭВС
Е.М. Давыдова
Томск 2026
Введение
В данной работе отношение «иметь общую границу» между странами Северной Африки.
2
1 Ход работы
1) Нарисуйте граф.
Множество вершин X для моделирования региона «Северная Африка» были сформированы на основе актуальных географических и политических данных, представленных в статье «Северная Африка» свободной энциклопедии
Wikipedia [1] (рисунок 1.1).
Рисунок 1.1 – Граф
2) Задайте матрицей смежности, матрицей инцидентности.
Таблица 2.1 – Матрица смежности.
|
Марокко |
Зап. Сахара |
Алжир |
Мавр |
Ливия |
Тунис |
Египет |
Марокко |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Зап. Сахара |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Алжир |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Мавр |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Ливия |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Тунис |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Египет |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
3
Таблица 2.2 – Матрица инцидентности.
|
u1 |
u2 |
u3 |
u4 |
u5 |
u6 |
u7 |
u8 |
u9 |
u10 |
u11 |
u12 |
Марокко |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Зап. Сахара |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Алжир |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Мавр |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Ливия |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Тунис |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Египет |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3) Найдите подграф, суграф, дополнение до полного графа.
Рисунок 3.1 – Подграф
4
Рисунок 3.2 – Суграф
Рисунок 3.3 – Дополнение до полного графа
5
4) Найдите вершины: с максимальным и с минимальным значением степени вершины.
Максимальное кол-во вершин: Алжир Минимальное кол-во: Мавритания
5) Выберите две вершины графа и постройте для них все простые цепи из одной вершины в другую.
Начальная вершина: Марокко Конечная вершина: Ливия
S1= (Марокко,Алжир)(Алжир,Ливия)
S2 = (Марокко,Египет)(Египет,Ливия)
S3 = (Марокко,Алжир)(Алжир,Тунис)(Тунис,Ливия)
S4 = (Марокко,Алжир)(Алжир,Египет)(Египет,Ливия)
S5 = (Марокко,Египет)(Египет,Алжир)(Алжир,Ливия)
S6 = (Марокко,Египет)(Египет,Тунис)(Тунис,Ливия)
S7 = (Марокко,Египет)(Египет,Алжир)(Алжир,Тунис)(Тунис,Ливия) S8 = (Марокко,Алжир)(Алжир,Тунис)(Тунис,Египет)(Египет,Ливия)
6
6) Определите, является ли граф эйлеровым, гамильтоновым. Если да, то постройте эйлеров, гамильтонов циклы.
Проверка на Эйлеровость: Конечный граф G является эйлеровым, если он связен и все его локальные степени четные. Граф называется полуэйлеровым, если в нем не более двух вершин имеют нечетную локальную степень.
Нет, так как в графе 4 вершины имеют нечётную степень (Марокко, Зап.
Сахара, Ливия, Тунис). Для существования эйлерова цикла все степени должны быть чётными. Для существования эйлерова пути
(полуэйлеровость) не более двух вершин должны иметь нечётную степень.
Проверка на Гамильтоновость: Если в графе G существует висячая вершина (степень равна 1), то гамильтонов цикл отсутствует.
Да, так как в графе отсутствуют висячие вершины (минимальная степень = 2 у Мавритании). Наличие висячих вершин делает невозможным построение замкнутого цикла, проходящего через все вершины по одному разу, но в данном графе таких вершин нет.
S1 = (Марокко, Зап.Сахара)(Зап.Сахара, Мавритания)(Мавритания,
Алжир)(Алжир, Ливия)(Ливия, Тунис)(Тунис, Египет)(Египет, Марокко)
S2 = (Марокко, Зап.Сахара)(Зап.Сахара, Мавритания)(Мавритания,
Алжир)(Алжир, Тунис)(Тунис, Ливия)(Ливия, Египет)(Египет, Марокко)
7
7) Постройте матрицу расстояний, определите диаметр и центр графа.
Таблица 7.1 – Матрица расстояний.
|
Марокко |
Зап. Сахара |
Алжир |
Мавр |
Ливия |
Тунис |
Египет |
Sum |
Марокко |
0 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
1 |
9 |
Зап. Сахара |
1 |
0 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
9 |
Алжир |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
6 |
Мавр |
2 |
1 |
1 |
0 |
2 |
2 |
2 |
10 |
Ливия |
2 |
2 |
1 |
2 |
0 |
1 |
1 |
9 |
Тунис |
2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
0 |
1 |
9 |
Египет |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
1 |
0 |
8 |
Диаметр графа = 2 (максимальное расстояние между любыми двумя вершинами)
Центр графа = Алжир
Цикломатическое число j(G) = m - n + p = 12 - 7 + 1 = 6
8) Определите, является ли граф плоским, постройте его.
Граф изначально является плоским.
9) Найдите цикломатическое число графа, постройте покрывающее дерево.
Цикломатическое число графа:
Формула: ν(G) = m - n + p где: m = 12 (число рёбер)
n = 7 (число вершин)
p = 1 (число компонент связности, граф связный) ν(G) = 12 - 7 + 1 = 6
Цикломатическое число равно 6 — это означает, что в графе существует 6
независимых циклов.
8
Рисунок 9.1 – Покрывающее дерево.
10) Раскрасьте граф.
Рисунок 10.1 – Раскрашенный граф.
9
Заключение
В ходе выполнения самостоятельной работы было смоделировано отношение «иметь общую границу» между странами Северной Африки в виде неориентированного графа. Граф был задан матрицами смежности и инцидентности. На основе полученных данных были найдены подграф, суграф
идополнение до полного графа, а также определены вершины с максимальной
иминимальной степенями (Алжир — степень 6, Мавритания — степень 2).
Для выбранных вершин (Марокко и Ливия) построены все простые
цепи. Проведен анализ свойств графа: установлено, что граф не является эйлеровым из-за наличия четырёх вершин нечётной степени (Марокко,
Западная Сахара, Ливия, Тунис), но является гамильтоновым, так как в графе отсутствуют висячие вершины. Также были вычислены метрические характеристики (матрица расстояний, диаметр = 2 и центр графа — Алжир),
найдено цикломатическое число (ν = 6), построено покрывающее дерево,
доказана планарность графа и выполнена раскраска графа (хроматическое число χ = 4). Полученные результаты подтверждают применимость методов теории графов для анализа географических и политических отношений между государствами.
10