Лаб VIP / Джумъаев_БИН2412_СР2

Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ

(МТУСИ)

Факультет "Радио и телевидение"

Кафедра "Теория электрических цепей"

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №2

по теме «Цифровые фильтры»

Дисциплина "Основы компьютерного анализа электрических цепей"

Вариант №15

Выполнил

Студент гр. БИН2412 _______________ Ф.Н. Джумъаев

Проверил

Доцент кафедры ТЭЦ _______________ М. Г. Бакулин

Москва, 2025

Цель работы: Цель самостоятельной работы на примере заданных передаточных функций КИХ-фильтра и БИХ-фильтра освоить методики проверки устойчивости фильтров, вычисления импульсных и амплитудно-частотных характеристик.

Исходный вариант №19:

Параметры фильтров и период дискретизации:

КИХ-фильтр

БИХ-фильтр

Т

a

b

c

d

a0

a1

b0

b1

b2

c0

c1

d0

d1

d2

1

0.1

1

0.6

-0.4

1

1

1

-0.6

0.09

10мкс

Гц

Задание:

Часть 1. Анализ КИХ-фильтра

1. Проверить устойчивость фильтра

2. Найти полюса и нули передаточных функций фильтра

3. Изобразить функциональную схему фильтра

4. Рассчитать импульсную реакцию фильтра

5. Рассчитать АЧХ фильтра

Часть 2. Анализ БИХ-фильтров

1. Проверить устойчивость фильтра

2. Найти полюса и нули передаточных функций фильтра

3. Изобразить функциональную схему фильтра

4. Рассчитать импульсную реакцию фильтра

5. Рассчитать АЧХ фильтра

Выполнение.

Часть 1. Анализ КИХ-фильтра

1. Проверить устойчивость фильтра

Поскольку в передаточной функции КИХ фильтра нет знаменателя, следовательно, у неё нет полюсов. Поэтому КИХ-фильтр является всегда устойчивым

2. Найти полюса и нули передаточных функций фильтра

Нулями КИХ-фильтра являются все корни полиномов его передаточной функции. Вычисление корней может быть осуществлено с использованием математических программ, либо вручную.

Находим с помощью программы Mathcad:

Таким образом,

3. Изобразить функциональную схему фильтра

Для построения функциональной схемы нужно передаточную функцию представить в виде одного полинома, т.е. перемножить два полинома и объединить члены с одинаковой степенью:

Таким образом, результирующая передаточная функция КИХ-фильтра будет иметь вид:

Имеем фильтр третьего порядка, который реализуется в виде 5- звенного фильтра. Схема фильтра приведена на рисунке 1.

Xn

Z^-1 Z^-1 Z^-1

-0.04

_yn

_-0.34

0.7

1

Рисунок 1 – Функциональная схема КИХ-фильтра

4. Рассчитать импульсную реакцию фильтра

Импульсная реакция фильтра – это выходной сигнал фильтра при воздействии на входе единичного импульса. Выходной сигнал КИХ-фильтра с передаточной функцией вида (7) определяется следующим выражением:

Для вычисления передаточной функции нужно сформировать входной сигнал

и вычислить y_n для n  1, 2,....N  1 , где N – число звеньев в фильтре. В данном случае N  4 .

Рисунок 2 – Импульсная реакция КИХ фильтра

5. Рассчитать АЧХ фильтра

Для вычисления АЧХ фильтра нужно вычислить модуль передаточной функцию, как функцию от частоты f в диапазоне от 0 до

выражении для передаточной функции заменить :

Рисунок 3 – АЧХ КИХ-фильтра

Часть 2. Анализ БИХ-фильтра

Передаточная функция БИХ-фильтр задана в следующем виде

1. Устойчивость.

Поскольку в заданной передаточной функции БИХ-фильтра числитель не зависит от z (в числителе полином нулевого порядка), то все корни знаменателя будут полюсами передаточной функции. Для определения устойчивости нужно будет вычислить корни знаменателя. Это сделано в следующем разделе.

2. Нахождение корней

Для нахождения полюсов нужно вычислить корни всех полиномов знаменателя, т.е. найти корни следующих полиномов

Для первого полинома:

Для второго полинома:

Таким образом, имеем следующие корни:

Условие устойчивости БИХ-фильтра: все полюсы должны лежать внутри единичной окружности, т.е. модуль каждого корня должен быть

меньше 1,

^zroot

 1.

Среди корней имеется один корень, модуль которого равен 1.

Поэтому данный БИХ-фильтр будет неустойчивым.

3. Функциональная схема

Для построения функциональной схемы представим передаточную функцию в виде рациональной дроби, т.е. числитель и знаменатель нужно представить в виде соответствующих полиномов. Числитель от z не зависит,

следовательно, в числителе полином - нулевого порядка. Для вычисления полинома знаменателя необходимо перемножить два полинома:

Поделим на :

Имеем БИХ-фильтр четвёртого порядка. Согласно данной передаточной функции, имеем вектор коэффициентов знаменателя

b0=[1, -b1, -b2, -b3]=[1, 0.4, -0.51, 0.09]

x_{n yn}

b1=-0.4

b2=0.51

b3=-0.09

Рисунок 4 – Функциональная схема БИХ-фильтра

4. Импульсная характеристика фильтра

Импульсная реакция фильтра – это выходной сигнал фильтра при воздействии на входе единичного импульса. Выходной сигнал БИХ-фильтра определяется следующим выражением:

Для вычисления передаточной функции нужно сформировать входной сигнал:

и вычислить y_n для n  1, 2,....20

Рисунок 5 – Импульсная реакция БИХ фильтра

5. АЧХ фильтра

Для вычисления АЧХ фильтра нужно вычислить модуль передаточной

функцию, как функцию от частоты f в диапазоне от 0 до 1/Т, т.е. в выражении для передаточной функции заменить где T - заданный период дискретизации:

Рисунок 6 – АЧХ БИХ-фильтра

Часть 3. Анализ последовательного соединения КИХ-фильтра и БИХ-фильтра

При последовательном соединении фильтров передаточная функция результирующего фильтра будет равна произведению передаточных функций всех фильтров

1. Устойчивость.

Согласно общему определению результирующий фильтр относится к типу БИХ-фильтров, так как его передаточная функция представлена в виде рациональной дроби и содержит знаменатель.

Все дальнейшие вычисления можно осуществлять с передаточной функцией вида (18), но поскольку, корни полиномов числителя и знаменателя уже были вычислены в разделах 2.1.2 и 2.2.2, то можно существенно упростить процедуру анализа. Для этого анализируем корни исходного КИХ-фильтра (6)

(это корни числителя передаточной функции КИХ-БИХ фильтра) и корни исходного БИХ-фильтра

(это корни знаменателя передаточной функции КИХ-БИХ фильтра). Находим совпадающие корни и удаляем их. В данном примере имеется общий корень z_КИХ  1 и z_БИХ  1. Поэтому удаляем его из множества корней числителя и знаменателя. Все оставшиеся корни знаменателя будут полюсами передаточной функции. Поскольку модули полюса меньше 1, то результирующий фильтр будет устойчивым.

2. Нахождение корней.

Корни найдены в предыдущем пункте.

3. Функциональная схема

Для построения функциональной схемы представим передаточную функцию в виде рациональной дроби, т.е. числитель и знаменатель нужно представить в виде соответствующих полиномов. Поскольку корни числителя и знаменателя известны, то результирующую передаточную функцию можно записать через корни полиномов:

В результате можно записать передаточную функцию результирующего КИХ-БИХ фильтра

Здесь видно, что при последовательном соединении заданных КИХ- фильтра 3-го порядка и БИХ-фильтра 3-го порядка, результирующий фильтр стал БИХ фильтром 2-го порядка и, к тому же, он стал устойчивым.

xn yn

1

0.6 -0.3

-0.09 -0.04

Рисунок 7 – Функциональная схема результирующего КИХ-БИХ-фильтра

4. Импульсная реакция фильтра.

Импульсная реакция фильтра – это выходной сигнал фильтра при воздействии на входе единичного импульса. Выходной сигнал БИХ-фильтра с передаточной функцией вида (20) определяется следующим выражением:

^yn ^{ a}0 ^xn ^{ a}1^xn1 ^{ a}2 ^xn2 ^{ a}3 ^xn3 ^{ b}1 ^yn1 ^{ b}2 ^yn2 ^{ b}3 ^yn3 ^,

где

Рисунок 8 – Импульсная реакция БИХ фильтра

5. АЧХ фильтра

Для вычисления АЧХ фильтра нужно вычислить модуль передаточной

функцию, как функцию от частоты ^f в диапазоне от 0 до 2/Т, т.е. в

выражении для передаточной функции заменить

где T - заданный период дискретизации. Для функции имеем:

Рисунок 9 – АЧХ результирующего БИХ-фильтра

Выводы:

В данной работе проанализированы характеристики КИХ-фильтра и БИХ-фильтра с заданными передаточными функциями, а также характеристика цифрового фильтра, образованного последовательным соединением КИХ-фильтра и БИХ-фильтра.

Было показано, что результирующий КИХ-БИХ фильтр, по своим свойствам является БИХ-фильтром. Порядок результирующего фильтра оказался меньше порядка исходных КИХ и БИХ фильтров.

Исходный БИХ-фильтр с заданной передаточной функцией является неустойчивым фильтром, а результирующий КИХ-БИХ фильтр не стал устойчивым.