Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

Kvantovaya_mekhanika_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.04.2026

Размер:

6.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Вычисляя квадрат модуля выражения под модулем, получим

				2	sin2 kn	T .
			w	Vkn			(5)
			w	2 ( )2			(5)
			k n	2 ( )2		2
				kn
Рассмотрим зависимость вероятности перехода wk n					(4) от частоты возмущения при больших
значениях	T . При kn		вероятность перехода (5) имеет			устранимую особенность.	Если
kn T	1, то sin	2	в (4) можно разложить в ряд и найти
kn T	1, то sin		в (4) можно разложить в ряд и найти

	V	2	T	2
				2
w
w	kn
	kn
k n	4		2
	4

(6)

Далее. При kn / T вероятность перехода обратится в нуль. Также в нуль вероятность перехода будет обращаться при kn i / T ( i — целое). Т. е. вероятность перехода будет

осциллировать, но амплитуда осцилляций при отходе от kn	будет убывать, из-за того, что
разность kn входит в знаменатель формулы (4). Если же	kn T	1 , то sin	2	в (5)

может для разных T принимать все значения от нуля до единицы и, следовательно,			значение
вероятности перехода при таких частотах много меньше ее значения в максимуме.

		V	2
w		V
w		kn
		kn
k n	2	(	)	2
		(	)
		kn

V	2	T	2
			2

kn
	2

(7)

Качественный график зависимости вероятности перехода от частоты показан на рисунке.

w	()
k n
	T	2
	T



	kn
T		T

А что будет происходить с этим графиком, если мы рассмотрим предел T (а именно такой предел мы должны рассмотреть, если хотим говорить о периодическом возмущении). Тогда главный максимум будет «вытягиваться» и «сжиматься», причем площадь под главным максимумом будет пропорциональна T .

Таким образом, можно сформулировать следующие правила для вероятности перехода под действием периодического возмущения: если частота возмущения лежит в узком

интервале частот

1/ T

вблизи частоты, равной

, то вероятность перехода

k n ,

существенно превосходит вероятность этого перехода, происходящего под действием возмущения с частотой, вне этого интервала (причем этот интервал тем ýже, чем больше время действия возмущения). Другими словами, при фиксированной частоте возмущения квантовая система с подавляющей вероятностью совершает переходы только в такие состояния n , энергии

которых определяется соотношением

, где

— энергия начального состояния.

Аналогичное рассмотрение второго слагаемого в (3) приводит к возможности перехода в

состояния

с энергиями

. Переходы в состояния с другими энергиями под

действием периодических возмущений маловероятны.

Формулу (5) для вероятности перехода под действием периодического возмущения обычно записывают по-другому. Можно доказать, что

Действительно, при малых

f (x)

lim A

f (x

sin	2

Ax
0)

	Ax
	2
	A	,
		,

(x)

(8)

при больших модулях x

знаменателе. И в пределе

синус не превосходит единицу, поэтому f (

A центральный максимум вытягивается

x) убывает за счет x2

и сжимается. При этом

1	sin	2	Ax
					dx 1	,
	Ax			2

откуда и следует сделанное выше утверждение. С использованием формулы (8) формулу (5) для вероятности перехода перепишем так

wk n	1	2	V	2			.	(9)
					k	n
T	4		kn

Прокомментируем формулу (9). Во-первых, видим, что вероятность перехода пропорциональна времени действия возмущения. Физически это совершенно очевидно. Переход

квантовой системы — процесс вероятностный, а для периодической функции, за время,

содержащее много периодов, вероятность и должна быть пропорциональна времени.

Вероятность перехода отлична от нуля, если аргумент дельта-функции равен нулю. Или

	k	n


kn

Конечно, через дельта-функцию не может выражаться наблюдаемая величина (вероятность),

поэтому формула (9) требует «снятия» дельта-функции с помощью интегрирования (по энергии начального или конечного состояния или частоты возмущения). В следующих лекциях мы рассмотрим пример такого рода.

Формулу (9) (без множителя 1/ 4 ) впервые вывел Энрико Ферми, и потому формула (9)

называется формулой (или «золотым правилом») Ферми. Множитель

1/ 4 у нас возник из-за

того,

что

возмущение зависело от времени как

cos t

. Ферми

писал для возмущения

i t

, поэтому наша формула отличается от формулы Ферми на множитель 1/ 4 .

V (x)e

Мы рассмотрели случай, когда k

n — переход с уменьшением энергии. В случае,

когда

k n

(переход с увеличением

энергии), все для вероятности перехода формулы

сохраняются, только меняется знак в аргументе дельта-функции

wk n

(10)

Модуль 3. Квантовые переходы

Лекция 3.6. Переходы в непрерывный спектр

Рассмотрим теперь переходы под действием периодического возмущения из стационарных состояний дискретного в состояния непрерывного спектра (например, ионизация атома, когда электрон из связанного состояния переходит в непрерывный спектр). Возмущение запишем как

(здесь явно учтена эрмитовость возмущения)

i t

(1)

V = Fe

Так как спектр конечных состояний непрерывен, то всегда найдется энергия, в точности

удовлетворяющая условию

= n

(2)

и, следовательно, переход всегда будет. В выражении для

(1)

оставляем только:

i t i

i (

(1)

dt =

(

)

(3)

exp

2sin

(

)

Вероятность перехода за время

равна:

sin

| a

(1)

d =

| F n |

d .

(t) |

(4)

Вводим =

. Тогда:

(1)

| F n |2

sin2 ( t)

| a n (t) | =

(19)

Мы интересуемся вероятностью ионизации за время, много большее периода собственных колебаний системы. Рассмотрим t .

	lim	sin2 ( t)	= ( ) .			(20)
		2
	t
Поэтому
wn =	\| F n \|2	2t(E En		)	d t .	(21)
	2

И, следовательно, вероятность перехода в единицу времени есть

| F n |

(E En

| FEn

(22)

| .

Причем при вычислении матричных элементов

FEn

используются состояния непрерывного

спектра с определенной энергией E En , нормированные на дельта-функцию от энергии.

Модуль 3. Квантовые переходы

Лекция 3.7. Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное

		приближение
	В лекции 3.5 мы доказали, что если частота возмущения			лежит в узком интервале
частот	1/ T	вблизи частоты, равной nk или	kn , то вероятность перехода k n ,

существенно превосходит вероятность этого перехода, происходящего под действием возмущения с частотой, вне этого интервала. Причем этот интервал тем ýже, чем больше время

действия возмущения. Другими словами, при фиксированной частоте возмущения

квантовая

система с подавляющей вероятностью совершает переходы только в такие состояния

n , энергии

которых определяется соотношением

или

, где

— энергия

начального состояния. Переходы в состояния с другими энергиями под действием периодических возмущений маловероятны. При этом, если выполняются строгие равенства

n k , вероятность перехода k n при достаточно больших T может стать большой, и

для ее вычисления теория возмущений может оказаться неприменимой.

В этом случае используют другое приближение, которое называют резонансным.

Основная идея его заключается в том, что если частота возмущения близка к частоте перехода между двумя состояниями, то с подавляющей вероятностью переходы будут происходить только в одно состояние, а всеми остальными слагаемыми в разложении волновой функции системы по волновым функциям стационарных состояний можно пренебречь.

Итак, пусть

и частота системе:

	ˆ	ˆ i t	ˆ i t	.
	V (t) = Fe		F e	.
равна частоте перехода	n	k /	nk между двумя состояниями

		(1)
и	k	в

Для волновых функций

стационарное уравнение Шредингера:

= nk .	(2)
стационарных состояний n и k	справедливо

ˆ	fn	= n fn ,	ˆ	fk	= k fk .	(3)
H0			H0

В соответствии с главной идеей резонансного приближения будем искать решения временного уравнения Шредингера

(4)

= (H0

V )

в виде разложения только по функциям

fn и

(x, t) an (t)e

fn (x) ak

(t)e

fk (x) .

(5)

Обратите внимание, разложение функции

(x,t)

содержит только два слагаемых, а не всю

полную систему собственных функций невозмущенного гамильтониана. Именно в этом и состоит резонансное приближение — мы пренебрегаем возможностью перехода в другие

состояния кроме состояний

k ; а вот эти состояния будем учитывать точно. И из

коэффициентов выделены соответствующие временные экспоненты: если бы гамильтониан не

зависел от времени, то коэффициенты an и ak не зависели бы от времени.
Поскольку в начальный момент времени	( t 0 ) система находилась в	k -ом
стационарном состоянии, для коэффициентов an и	ak справедливы следующие начальные
условия

an (t 0) 0 , ak (t 0) 1 .

Подставляя это выражение в уравнение (4), получим

fn i

= ane

ak e

Vfn

Vfk .

(6)

Умножая теперь равенство (6) скалярно сначала на ортонормированности этих функций, получим

, потом на

и используя условия

idan anVnn (t) akVnk (t)ei nk t , dt

idak anVkn (t)e i nk t akVkk (t), dt

где Vqr (t)	— матричные элементы оператора возмущения
	*	ˆ	(x),	q, r k, n .
	Vqr (t) dxfq	(x)V (x,t) fr	(x),	q, r k, n .

Исследуем зависимость коэффициентов системы (7) от времени. Коэффициент перед первом уравнении

	Vnn (t) Fnne		i t	*	i t	.
	Vnn (t) Fnne			Fnne		.
Коэффициент перед ak в первом уравнении
V	(t)ei nk t F	F* ei( nk )t			F		F* e2i t .
nk	nk		kn			nk	kn

(7)

	(8)
an	в
	(9)

(10)

Коэффициент перед an во втором уравнении

Vkn	(t)e	i	t	Fkne	i(	)t	*	Fkne	2i t	*
Vkn	(t)e	nk		Fkne	nk		Fnk	Fkne		Fnk .
		nk			nk

(11)

Коэффициент перед	ak	во втором уравнении
		Vkk (t) Fkk e	i t	*	i t	.	(12)
		Vkk (t) Fkk e		Fkk e		.	(12)

Все слагаемые этих коэффициентов (за исключением двух) являются сильно осциллирующими функциями времени. И потому при усреднении по интервалу времени, включающему достаточно большое количество осцилляций, обращаются в нуль. А вот слагаемые Fnk в

формуле (10) и F * в формуле (11) от времени не зависят. В результате после усреднения по nk

времени система уравнений (7) дает

idan ak Fnk , dt

	da	a F		*
i	k	a F		*	.
	dt	n	nk
	dt

(13)

Дифференцируя первое уравнение по времени, и подставляя производную уравнения, получим

из второго

d	2	a			F	2
	2
				n
				n	nk	a		.	(14)
dt			2		2	a	n	.	(14)
			2		2		n

Уравнение (14) является уравнением гармонических колебаний, решение которого легко находится. Используя также начальные условия, находим

an (t 0) sin t ,		ak (t 0) cos t .
Из формулы (15) следует, что система периодически (с периодом
одного состояния в другое и обратно. Частота
	F
	nk

называется частотой Раби.

(15)

) переходит из

Модуль 3. Квантовые переходы

Лекция 3.8. Переходы под действием мгновенно включающихся возмущений

Еще один случай, когда возможно простое решение нестационарной задачи (кроме случая малых возмущений) — это случай внезапно включающихся возмущений, то есть

возмущений, которые включаются за очень короткое время и далее от времени не зависят.

Пусть до	t 0	система описывалась независящим от времени гамильтонианом			ˆ	и
Пусть до	t 0	система описывалась независящим от времени гамильтонианом			H0	и
находилась в k -ом стационарном состоянии k (x) , то есть описывалась функцией
				t
		0 (x, t 0) k (x) exp i	k			(1)
		0 (x, t 0) k (x) exp i				(1)

( k (x) и k — собственная функция и собственное значение гамильтониана									ˆ
									H0 ). Пусть в этот
момент мгновенно включается возмущение				ˆ	, которое от времени не зависит. Т. е. после
момент мгновенно включается возмущение				V	, которое от времени не зависит. Т. е. после
включения возмущения уравнение Шредингера имеет вид
		i	(x,t)		ˆ	ˆ	,		(2)
		i	t		H0	V (x,t)	,		(2)
			t
ˆ	ˆ	от времени не зависит. Поэтому общее решение уравнения
при этом гамильтониан H0	V	от времени не зависит. Поэтому общее решение уравнения
Шредингера имеет вид
		( x, t 0) Cn						Ent
						fn ( x) exp i			(3)
						fn ( x) exp i			(3)
				n

( fn (x) и En — собственные			функции и		собственные		значения		гамильтониана	ˆ	ˆ
( fn (x) и En — собственные			функции и		собственные		значения		гамильтониана	H0	V ), а
коэффициенты	Cn	определяют		согласно	постулатам		квантовой механики вероятность
обнаружить квантовую систему в				n -ом стационарном состоянии гамильтониана						ˆ	ˆ
обнаружить квантовую систему в				n -ом стационарном состоянии гамильтониана						H0	V , и,
следовательно,	определяют		вероятность		перехода		из	k -го	собственного	состояния
	ˆ							ˆ	ˆ
гамильтониана H0 в		n -ое собственное состояние гамильтониана H0							V :
					w	C 2 .					(4)
					k n	n

Так как возмущение включается мгновенно, то за время включения волновая функция системы не успевает измениться. Действительно, проинтегрируем уравнение (2) по бесконечно малому интервалу вблизи момента t 0 . В левой части равенства получим «скачок» волновой функции в момент включения возмущения

(x, t

) ( x, t

ˆ ) H0

ˆ	( x, t)dt
V

(5)

И если операторы			ˆ	ˆ
И если операторы			H	0 и V являются конечными, то интеграл в правой части (5) обращается в
нуль при	0	,	и,	следовательно, волновая функция в момент включения возмущения не
меняется.	А это	значит, что функция (x,t 0) k (x) является начальным условием для

решения (3) в момент времени t 0 . Поэтому в момент времени	t 0 справедливо равенство
для волновой функции квантовой системы

				(x,t
			0
и, следовательно,
	(x)	C	f	n	(x)
k		n		n
		n

0)(x,t

0) ,
	*	(x) k
	fn	(x) k	(x)dx

(6)

(7)

Умножая правую и левую часть равенство (7)					на функцию		*	(x) , интегрируя и пользуясь
Умножая правую и левую часть равенство (7)					на функцию		fm	(x) , интегрируя и пользуясь
ортонормированностью функций	fn (x) ,	найдем вероятности						переходов при мгновенном
включении возмущения
				*	(x) k	2
	wk n		fn			(x)dx .		(8)

Из этого соотношения следует, что вероятность перехода под действием внезапных возмущений определяется интегралами перекрытия собственных функций возмущенного и невозмущенного гамильтонианов. Подчеркнем, что соотношение (8) позволяет находить вероятность перехода из


ˆ	, который описывает квантовую систему до
стационарного состояния одного гамильтониана ( H0	, который описывает квантовую систему до
включения возмущения) в стационарные состояния другого —		ˆ	ˆ	, который описывает
включения возмущения) в стационарные состояния другого —		H0	V	, который описывает

квантовую систему после включения возмущения. Отметим также, что в отличие от формул

нестационарной теории возмущений оператор		ˆ	вошел в конечное выражение неявно, через
		V
ˆ	ˆ
собственные функции оператора H0	V . Кроме того, поскольку при выводе формулы (8) не

использовалась малость возмущения (использовалась только мгновенность его включения),

вероятности переходов, вычисленные согласно формуле (8) могут быть сравнимыми с единицей. По этой же причине вероятности, вычисленные по формуле (8) нормированы на единицу. Действительно, сумма вероятностей перехода во все возможные состояния

гамильтониана ˆ 0 ˆ должна равняться единице, как сумма вероятностей полной группы

событий. С другой стороны, эта сумма дает

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 158 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Квантовая механика

#
14.12.2025824.94 Кб2A_L_Barabanov_KVANTOVAYa_MEKhANIKA_Chast_1.pdf
#
14.12.2025767.66 Кб2A_L_Barabanov_KVANTOVAYa_MEKhANIKA_Chast_2.pdf
#
04.04.20266.84 Mб1Kvantovaya_mekhanika_1.pdf
#
04.04.20263.94 Mб0Testiki муравьева 6 се.pdf
#
05.02.202696.62 Mб0БДЗ 5 сем Барабанов.pdf
#
05.02.2026323.82 Кб0БДЗ Задания 5 сем Барабанов.pdf
#
24.10.202542.22 Mб0Билеты_1.pdf
#
24.10.202510.89 Mб0Билеты_2.pdf