Kvantovaya_mekhanika_1

возмущения. А поскольку до включения возмущения система находилась в n -ом стационарном состоянии, то

и называется теорией нестационарных возмущений. В первом порядке теории возмущений имеем

Соотношение (17) позволяет вычислить вероятность перехода в первом порядке нестационарной теории возмущений. Условием применимости этого соотношения является

состояниях с неопределенными энергиями (их волновые функции представляют собой суперпозиции многих стационарных состояний) и, согласно принципам квантовой механики при измерениях могут быть обнаружены в различных состояниях. «На наблюдательном языке» это значит, что при одновременном измерении энергии тождественных квантовых систем,

подвергающихся воздействию одинаковых возмущений, можно с определенными вероятностями получать различные значения.

Поскольку вероятность перехода — мала, то вычислять вероятность того, что система останется в начальном состоянии, как

нельзя. Это связано с тем, что неучтенные в (18) слагаемые квадратичны по возмущению и при возведении (18) в квадрат дадут перекрестное слагаемое с единицей, также квадратичное по возмущению как и вероятность перехода (17). На следующей лекции мы рассмотрим примеры применения теории нестационарных возмущений для простейших квантовых систем.

4

Модуль 3: Квантовые переходы

Лекция 3.3. Анализ формул теории нестационарных возмущений. Адиабатические и

внезапные возмущения

В предыдущих лекциях этого модуля мы доказали, что под действием возмущений,

зависящих от времени, квантовые системы могут совершать переходы из одних стационарных состояний в другие, и в первом порядке теории нестационарных возмущений вычислили вероятности перехода. Вероятность перехода из n -го стационарного состояния в k -ое под

ˆ действием возмущения V (t) определяется соотношением

где

Формулы (1)–(3) сводят вычисление вероятности перехода между двумя квантовыми состояниями к квадратурам. Обсудим особенности этих формул.

Условием применимости формулы (1) является малость вероятности перехода,

вычисленной по формуле (1), по сравнению с единицей. Если при данных значениях параметров вычисленная согласно нестационарной теории возмущений вероятность перехода окажется сравнимой с единицей, теорией возмущений пользоваться нельзя, и задача должна решаться точно.

Из формулы (1) следует, что вероятность перехода между двумя состояниями определяется матричным элементом оператора возмущения. Если матричный элемент оператора возмущения между какими-либо стационарными состояниями n и k равен нулю, то в первом порядке теории возмущений вероятность перехода между ними равна нулю.

1

Для вычисления вероятности перехода из некоторого состояния на вырожденный уровень нужно вычислить вероятности перехода в каждое состояние, отвечающее этому

уровню, а затем согласно теореме сложения вероятностей их сложить.

Из формулы (1) следует, что под действием зависящих от времени возмущений возможны переходы как с увеличением энергии системы ( k n ), так и с уменьшением

( n k ). Более того, формула (1) дает одинаковые вероятности перехода с увеличением или с уменьшением энергии (при одинаковых матричных элементах и абсолютной величине частоты перехода). Действительно, отличие формул для вероятностей перехода с увеличением или с уменьшением энергии системы сводится только к разному знаку в показателе комплексной экспоненты (из-за разного знака частоты перехода kn ), которая никак не проявляется из-за

того, что эта экспонента входит под квадрат модуля.

Но самая существенная особенность формулы (1) связана с тем, что подынтегральная

несвязанными друг с другом временными масштабами. Пусть характерный масштаб изменения возмущения есть TV , а характерное время изменения экспоненты — Tnk , которое обратно пропорционально разности начальной и конечной энергий системы

выключающихся возмущений и малой разности энергий начального и конечного состояний),

временная экспонента за время действия возмущения не успевает измениться, ее можно вынести за знак интеграла. А так как ее квадрат модуля равен единице, то для внезапных возмущений вероятность не зависит от разности энергий начального и конечного состояний, а определяется только матричным элементом оператора возмущения

включающихся — адиабатических — возмущений и больших разностях энергий начального и конечного состояний), временная экспонента в области интегрирования многократно осциллирует, и интеграл по времени становится малым, набираясь только на одном периоде осциллирующей экспоненты

2

где TV — характерное время изменения возмущения (или для возмущений, время включения которых мало, и которые можно назвать внезапными). А переходы с большими разностями энергий начального и конечного состояний (под действием адиабатических возмущений)

маловероятны.

3

Модуль 3. Квантовые переходы

Лекция 3.4. Пример использования теории нестационарных возмущений. Правила отбора

Рассмотрим примеры применения теории нестационарных возмущений для простейших

квантовых систем.

Пусть на гармонический осциллятор, находящийся в основном состоянии, начиная с

первом порядке нестационарной теории возмущений найдем вероятности переходов

стремится к нулю, начальная задача является стационарной, и ее постановка поэтому имеет смысл; в противном случае нельзя было бы говорить о начальном стационарном состоянии осциллятора).

гамильтониана (осциллятора). Интеграл в формуле (2) с осцилляторными функциями был вычислен в первой части курса (лекция 2.5, формула (8)). Он отличен от нуля только для состояния n 1 и равен

отлична от нуля только вероятность перехода осциллятора в первое возбужденное состояние.

1

состояние равна «минус частоте осциллятора» 01 . Подставляя эти соотношения в формулу для вероятности перехода (1), получим

Вычисляя интеграл по времени (после выделения полного квадрата в показателе степени экспоненты он сводится к интегралу Пуассона), получим

выключения возмущения, то есть рассмотрим выражение (5) при различных значениях

«внезапным») экспоненту можно заменить на единицу, и вероятность перехода определяется соотношением

возмущения) вероятность перехода осциллятора (6) экспоненциально убывает при увеличении параметра .

Условием применимости полученного результата является малость вероятности перехода по сравнению с единицей (а увеличивая параметр , вероятность перехода можно сделать сколь угодно большой). Если при данных значениях параметров вычисленная согласно нестационарной теории возмущений вероятность перехода окажется сравнимой с единицей

(или, тем более, большей единицы), теорией возмущений пользоваться нельзя, и задача должна решаться точно.

Как следует из проведенного рассмотрения, для анализа случаев, когда вероятность перехода между двумя состояниями равна нулю (в этом случае переход между этими

2

состояниями не происходит, или, как говорят, запрещен), необходимо понять, для каких возможных конечных состояний матричные элементы оператора возмущения равны нулю..

Рассмотрим еще один пример.

Используя далее известную тригонометрическую формулу

Таким образом, матричный элемент оператора возмущения между функцией основного и

n -го состояния сводится к двум интегралам от двух собственных функций гамильтониана

частицы: n -ой и пятой и n -ой и третьей. В результате из ортогональности волновых функций стационарных состояний заключаем, что матричный элемент (8) будет отличен от нуля только в

3

основного состояния только в четвертое возбужденное ( n 5 ) и второе возбужденное ( n 3 )

стационарные состояния. Переходы в другие состояния запрещены.

Отметим, что этот вывод получен в рамках первого порядка нестационарной теории возмущений для волновой функции. В следующих порядках он может нарушаться. А это значит,

что под действием рассматриваемого возмущения возможны и переходы в другие состояния,

однако их вероятности (в случае малого возмущения) должны быть величинами более высокого порядка малости по возмущению. Тем не менее, один вывод относительно вероятностей переходов можно сделать, не опираясь на теорию возмущений. Поскольку и потенциальная энергия частицы и возмущение являются четными относительно центра ямы, то гамильтониан частицы коммутирует с оператором четности в любой момент времени. Это значит, что четность есть интеграл движения, и, следовательно, сохраняется средняя четность состояния частицы. А поскольку волновая функция частицы — четна в начальный момент времени, то она будет четной и в дальнейшем. Следовательно, ее разложение по волновым функциям стационарных состояний будет содержать только четные слагаемые, а, значит, возможны переходы только в стационарные состояния с четными относительно центра ямы волновыми функциями, которые отвечают квантовым числам n 3 , n 5 , n 7 , n 9 и т.д. Переходы в другие состояния запрещены точно. Если бы начальное состояние было бы нечетным относительно центра ямы, то переходы происходили бы только в нечетные состояния. Такого рода условия, которые строго запрещают те или иные квантовые переходы принято называть

«правилами отбора».

4

Модуль 3. Квантовые переходы

Лекция 3.5. Переходы под действием периодических возмущений

Рассмотрим теперь случай возмущений, зависящих от времени периодически. Пусть на

даже если оно описывается формулой (1)). Докажем, что в первом порядке теории возмущений

1