Kvantovaya_mekhanika_1

и умножая его последовательно на i и интегрируя, получим систему уравнений для коэффициентов

Среди всех матричных элементов, входящих в систему уравнений (7) не равны нулю только матричные элементы V31 V13 . Остальные занулятся из-за соображений четности, или разных проекций момента. Вычисляя их, получим (соответствующие интеграл вычисляется элементарно)

Раскрывая определитель (9) получаем

Из уравнения (10) находим энергии подуровней, на которые расщепляется первый возбужденный уровень атома водорода под действием однородного электрического поля (в

первом порядке теории возмущений)

Поскольку первый корень является двукратно вырожденным, то четырехкратно вырожденный невозмущенный уровень энергии расщепится на три подуровня, один из которых будет двукратно вырожденным, остальные два — невырожденными. Таким образом, вырождение,

имеющее место невозмущенного атома, снимается только частично.

Очевидно, этим подуровням отвечают следующие правильные функции. Тем

подуровням, которые не сдвинутся по сравнению с невозмущенной задачей, — состояния с

3

Причем одному состоянию — сумма, другому — разность этих функций. Предлагаем

слушателям убедиться в этом самостоятельно.

4

(направление оси z выбрано вдоль вектора напряженности магнитного поля h0 ). Очевидно, для возмущения (4) собственные функции (1) невозмущенного гамильтониана являются правильными функциями нулевого приближения. Действительно, что все недиагональные матричные элементы оператора (4) с функциями (1)

равны нулю из-за ортогональности собственных функций невозмущенного гамильтониана.

Поэтому функции (1) можно использовать в формулах теории возмущений без вырождения. В

частности, поправки первого порядка к энергии уровня определяются диагональными матричными элементами оператора (4) с функциями (1). Находим

где — невозмущенная энергия. Как следует из формулы (7) энергии всех состояний различны,

что означает, что под действием магнитного поля вырождение по проекции момента импульса,

характерное для частицы в центрально-симметричном поле, полностью снимается.

Если бы в качестве собственных функций невозмущенного гамильтониана мы взяли бы,

ˆ например, собственные функции оператора Ly , то они не были бы правильными функциями

нулевого приближения, поскольку для них недиагональные матричные элементы оператора (4)

не равнялись бы нулю (поскольку они не являются собственными функциями этого оператора).

А правильными стали бы такие линейные комбинации изначальных функций, которые бы были

собственными для ˆ .

Lz

Рассмотрим теперь незаряженную частицу со спином 1/ 2 , обладающую магнитным моментом. Таким является, например, нейтрон, который не заряжен, и, следовательно, у него нет магнитного момента, связанного с перемещением нейтрона в пространстве. А магнитный момент у нейтрона есть, и он связан с его спином.

2

Рассматриваемый уровень энергии является двукратно вырожденным, и это вырождение

реальным вращением частицы, он порождает и некоторый магнитный момент,

пропорциональный спину

то функции (8) являются правильными функциями нулевого приближения. А значит,

возмущенные уровни энергии в первом порядке теории возмущений можно найти как диагональные матричные элементы оператора возмущения

3

Модуль 3. Квантовые переходы

Лекция 3.1. Возмущения, зависящие от времени. Квантовые переходы

Рассмотрим теперь случай зависящих от времени возмущений. Именно к таким задачам сводится большинство экспериментальных исследований квантовых систем. Действительно,

большинство экспериментов с квантовыми системами ставится так: есть стационарная квантовая система, потом мы организуем какое-то воздействие на нее, потом это воздействие убираем, и смотрим, что произошло с квантовой системой. Давайте построим теорию таких воздействий.

Итак, пусть невозмущенная квантовая система описывается не зависящим от времени

ˆ гамильтонианом H 0 . Пусть, далее, в момент времени t1 начинает действовать («включается»)

ˆ зависящее от времени возмущение V (t) , а в момент времени t2 возмущение «выключается».

Что происходит с квантовой системой?

Поскольку поведение квантовой системы определяется ее волновой функцией, поймем,

как изменяется волновая функция системы. До включения возмущения система была стационарной, и ее волновая функция (x,t) является решением уравнения Шредингера с

ˆ гамильтонианом H 0 , который не зависит от времени

Общее решение уравнения (1) с гамильтонианом, который не зависит от времени найдено в первой части нашего курса (Лекция 1.14, формула (9)):

начальное состояние, которое сводится к какому-либо стационарному состоянию, когда

1

Согласно основным принципам квантовой механики это означает, что система с единичной

не будет зависеть от времени, то волновая функция в любой момент времени будет определяться формулой (4), и все слова, сказанные выше относительно ее состояния, будут справедливы в любой момент времени.

И, следовательно, его решение будет даваться формулой (2), а решение уравнения (5) в момент

Вообще говоря, нет! Ведь для нахождения решения уравнения (7) мы должны найти решение уравнения (5) (которое будет очень сложным, поскольку в уравнении не разделяются переменные) и еще два раза воспользоваться начальными условиями. Поэтому несмотря на то,

что после выключения возмущения уравнение Шредингера для волновой функции квантовой системы «вернулось» к первоначальному, система будет описываться, вообще говоря, другой волновой функцией. Т.е. общее решение (2) должно содержать много слагаемых с какими-то коэффициентами (которые будут зависеть от решения уравнения Шредингера во время действия возмущения и двух начальных условий — при t t1 и t t2 ):

2

систему можно найти в разных стационарных состояниях (в квантовомеханическом смысле).

Или, другими словами, под действием возмущения, зависящего от времени, система может

при условии, что начальное состояние квантовой системы (до включения возмущения) — k -ое стационарное состояние.

Проведенные рассуждения иллюстрируются рисунком, на котором схематически показана эволюция квантовой системы во времени — график зависимость возмущения от времени, на котором приведены уравнения Шредингера, структура волновой функции и начальные условия в тех или иных интервалах времени.

V (t)

3

Модуль 3. Квантовые переходы

Лекция 3.2. Теория нестационарных возмущений. Вывод формул

Итак, под действием зависящих от времени возмущений квантовая система может

при условии, что начальное состояние квантовой системы (до включения возмущения) — k -ое стационарное состояние.

Для вычисления вероятности перехода нужно найти решение уравнения Шредингера в течение действия возмущения и дважды воспользоваться начальными условиями — в момент включения и в момент выключения возмущения. Проблема, однако, заключается в том, что уравнение Шредингера с зависящим от времени гамильтонианом

не допускает разделение переменных и, следовательно, не решается. Поэтому для вычисления вероятностей переходов используется приближенный метод, который называется теорией нестационарных возмущений, в котором требуется «слабая» зависимость от времени оператора возмущений.

1

Итак, пусть зависимость гамильтониана от времени «слабая», то есть гамильтониан представим в виде

установлен ниже). Основная идея решения уравнения Шредингера (1) в этом случае

собственных функций невозмущенного гамильтониана. Тогда в левой части пропадет суммирование, в правой возникнут матричные элементы оператора возмущения

имеющую размерность частоты (обратные секунды) принято называть частотой перехода между состояниями m и n , Vmn (t) — матричные элементы оператора возмущения

Если возмущение мало, то зависимость коэффициентов Bn от времени должна быть «слабой», и

их можно искать в виде ряда по степеням возмущения

2