Kvantovaya_mekhanika_1

Таким образом, недиагональные матричные элементы оператора возмущения с разными

решениями уравнения (2) (которые мы искали в виде разложений по функциям, отвечающим вырожденному уровню (3)) равны нулю, и, следовательно, эти решения являются правильными функциями нулевого приближения. Поэтому эти функции можно использовать в качестве базиса теории возмущений. Поэтому, решая уравнение (2) на базисе функций, относящихся к

А поскольку Vii — диагональные матричные элементы оператора возмущения с правильными функциями нулевого приближения, из (6) и получается сделанное выше утверждение. Отметим,

уровню и невозмущенными функциями, отвечающими другим уровням энергии, вообще говоря,

не равны нулю, однако в формулах теории возмущений эти матричные элементы делятся на энергетический интервал между различными уровнями энергий невозмущенной задачи, поэтому эти слагаемые для достаточно малых возмущений малы.

Отметим, что, несмотря на то, что по форме уравнение (2) совпадает с истинным возмущенным уравнением Шредингера, нахождение его решений fi в виде линейных комбинаций невозмущенных функций, относящихся только к рассматриваемому вырожденному уровню, представляет собой приближение, поскольку истинные решения возмущенного уравнения Шредингера выражаются в виде разложения по всем собственным функциям невозмущенного оператора Гамильтона. Условием применимости изложенного метода является условие малости матричных элементов возмущения по сравнению с энергетическими интервалами между различными энергетическими уровнями невозмущенного гамильтониана.

Подведем итоги. Для использования теории возмущений в задаче с вырождением и анализа возмущения некоторого вырожденного уровня невозмущенного гамильтониана нужно сделать следующее.

(1) Искать решение возмущенного уравнения Шредингера в виде линейных комбинаций невозмущенных функций 1 , 2 , ..., s , относящихся к рассматриваемому уровню (с

неизвестными пока коэффициентами).

3

(2) Из возмущенного уравнения Шредингера получить систему алгебраических

уравнений для неизвестных коэффициентов. Для этого уравнение нужно последовательно

интегрировать. При этом необходимо использовать условие ортонормированности собственных функций 1 , 2 , ..., s .

(3)В результате будет получена система однородных (неизвестный коэффициент входит

вкаждое слагаемое решения) алгебраических уравнений, которая имеет решение, если ее

определитель равен нулю. Вычисляя определитель системы и приравнивая его к нулю, получаем

алгебраическое уравнение степени s относительно неизвестного собственного значения i (это уравнение принято называть секулярным; название заимствовано из небесной механики).

Можно доказать, что все s корней этого уравнения будут действительны и будут определять возмущенные уровни энергии в первом порядке теории возмущений (в некоторых случаях какие-то из корней этого уравнения могут совпадать). Таким образом, возмущения, вообще говоря, снимают вырождение уровней и приводят к возникновению близко расположенных подуровней, число которых, вообще говоря, совпадает с кратностью вырождения рассматриваемого вырожденного уровня энергии.

(4) Подставляя последовательно найденные в первом порядке возмущенные уровни в систему — сначала E1 , потом E2 , и т. д., нужно найти коэффициенты правильных функций нулевого приближения, отвечающих каждому подуровню. При этом, поскольку коэффициенты находятся из системы однородных уравнений, однозначно найти их нельзя (однородные линейные уравнения можно решить только с точностью до множителя). Другим словами, после подстановки собственных значений в систему уравнений нужно выразить все коэффициенты через один из них, который остается свободным.

(5) Найти этот свободный коэффициент из условия нормировки правильных функций нулевого приближения.

После нахождения правильных функций нулевого приближения для каждого вырожденного уровня невозмущенной задачи можно находить поправки теории возмущений более высокого порядка, при этом (как отмечалось выше) расходимостей в формулах теории возмущений не возникает. Этого, однако, как правило, не приходится делать, поскольку главный эффект возмущения — снятие вырождения — находится уже в первом порядке, а все остальное представляет собой поправки к этому эффекту.

4

На следующей лекции мы попробуем применить этот метод к ряду конкретных

квантовомеханических задач.

5

Модуль 2. Теория возмущений

Лекция 2.5. Примеры использования теории возмущений в вырожденном случае

Чтобы почувствовать возможности теории возмущений с вырождением давайте

рассмотрим несколько учебных примеров.

Пусть на эту квантовую систему накладывается такое возмущение, диагональные матричные

действительными). Найти правильные функции нулевого приближения и поправки к энергиям в первом порядке теории возмущений.

Решение. В соответствии с общими правилами теории возмущений с вырождением ищем правильные функции нулевого приближения и поправки к энергиям в первом порядке теории возмущений из возмущенного уравнения Шредингера

но решение его ищем в виде разложения по функциям, относящимся к вырожденному уровню

(последнее является приближением). Учитывая (1) и (3) в уравнении (2) легко подействовать невозмущенным гамильтонианом

Ei

1

будем рассматривать систему (5) как систему линейных однородных алгебраических уравнений

системы. Ненулевые решения у этой системы существуют (а нам нужны именно ненулевые решения), если определитель, составленный из коэффициентов системы, равен нулю

(Конечно, уравнения получились зависимыми; только в этом случае определитель системы равен нулю) Из системы (9) коэффициенты однозначно не находятся, поскольку это однородные уравнения. Но можно найти соотношения между ними, которое и определяет правильную

2

Проверим, что недиагональные матричные элементы оператора возмущения с правильными

Пусть на эту квантовую систему накладывается такое возмущение, недиагональные матричные элементы которого с функциями 1 и 2 равны нулю V12 V21 0 , диагональные — различны

V11 V , V22 U (U V ). Найти правильные функции нулевого приближения и поправки к энергиям в первом порядке теории возмущений.

Решение. Ищем правильные функции нулевого приближения из возмущенного уравнения Шредингера

3

они и есть правильные функции, а поправки к энергиям равны диагональным матрияным элементам с ними, т.е. с изначальными функциями.

Пусть на эту квантовую систему накладывается такое возмущение, недиагональные матричные элементы которого с функциями 1 и 2 равны нулю V12 V21 0 , диагональные — одинаковы

V11 V22 V . Найти правильные функции нулевого приближения и поправки к энергиям в первом порядке теории возмущений.

Решение. Поскольку недиагональные матричные элементы оператора возмущения с изначальными функциями 1 и 2 равны нулю, то эти функции и являются правильными функциями нулевого приближения. Поэтому поправки к энергиям обоих уровней равны V . Это значит, что уровень энергии сместится по отношению к первоначальной энергии, но останется вырожденным. Поэтому никаких условий на правильные функции у нас нет, и любая линейная комбинация функций 1 и 2 будет собственной функцией возмущенной задачи.

5

Поэтому интеграл (2) и равен нулю (знак подынтегральной функции по половине

Рассмотрим теперь именно влияние однородного электрического поля на атом водорода

(эффект Штарка). В этом случае существует два вырождения — по проекции момента (как и в любом центральном поле), и по моменту, когда являются вырожденными состояния с разными моментами. В этом случае расщепление уровня (как мы увидим ниже) будет происходить.

Чтобы почувствовать, как происходит расщепление, рассмотрим простейший атомный уровень с вырождением по моменту — первый возбужденный уровень энергии электрона в атоме

водорода.

Напомню, что первый возбужденный уровень энергии электрона в атоме водорода имеет

функции состояний, отвечающих первому возбужденному уровню электрона в атоме, могут быть выбраны в следующем виде:

2