Kvantovaya_mekhanika_1

Из формулы (14) лекции 2.5 первой части курса следует, что недиагональный матричный элемент оператора квадрата координаты отличен от нуля только, если индексы отличаются на 2.

Поэтому поправка к энергии n -ого уровня определяется соотношением

Таким образом, формулы теории возмущений дают разложение возмущенных энергий в ряд по

и для которого (чтобы теория возмущений работала) должно быть выполнено условие

Убедимся теперь, что точные формулы дают тот же результат. Поскольку возмущенную потенциальную энергию можно представить в виде

то точные энергии возмущенного осциллятора определяются обычными «осцилляторными» формулами, но с измененной частотой

Поэтому точные возмущенные энергии равны

Раскладывая корень в формуле (7) в ряд Тейлора до второго порядка малости, получим

2

Таким образом (как это и должно быть) формулы теории возмущений представляют собой разложение точных формул в ряд Тейлора по степеням возмущения.

энергетическим уровням осциллятора.

Согласно формулам теории возмущений поправка первого порядка к уровням энергии квантовой системы определяется диагональным матричным элементом оператора возмущения с невозмущенными собственными функциями

где n (x) — собственные функции гамильтониана невозмущенного осциллятора. Поскольку диагональные матричные элементы оператора координаты с осцилляторными функциям равны нулю (формула (12) лекции 2.5 из первой части курса), то поправка первого порядка теории

(формула (12) лекции 2.5 первой части курса), в сумме (12) представлены только два слагаемых,

и поэтому эта сумма легко вычисляется. Имеем

Используя далее матричные элементы оператора координаты с невозмущенными осцилляторными функциями (формула (12) лекции 2.5 первой части курса), находим

В результате в первых двух порядках теории возмущений уровни энергии возмущенного осциллятора имеют вид

3

найти точно, дополняя потенциал до полного квадрата и сводя, таким образом, эту задачу к

«сдвинутому» осциллятору. Ответ будет в точности совпадать с (11). Этот результат неслучаен.

Действительно, ряд теории возмущений представляет собой разложение точных уровней энергии в степенной ряд по степеням малого возмущения (в данном случае по степеням малого

возмущений должны дать точный результат. Кроме того, из этого рассуждения следует, что все поправки более высокого порядка по строго равны нулю.

Рассмотрим один пример вычисления волновой функции в рамках теории возмущений.

ˆ Пусть на атом водорода наложено малое возмущение V (r ) x . В рамках первого порядка

теории возмущений для волновой функции найти, какие значения может принимать момент импульса электрона и его проекция на ось z в основном состоянии возмущенного атома.

Волновая функция основного состояния электрона в невозмущенном атоме водорода имеет вид:

где a = me2 — боровский радиус. В первом порядке теории возмущений волновая функция электрона возмущенного атома определяется второй формулой (13) из предыдущей лекции

в которой сумма распространяется на все собственные состояния невозмущенного гамильтониана, кроме основного. Чтобы ответить на поставленный в задаче вопрос о значениях момента и проекции, найдем, какие сферические функции будут представлены в разложении возмущенной волновой функции основного состояния по сферическим функциям. Это

представлены в сумме (13). Тогда согласно постулатам квантовой механики эти значения момента и проекции невозможно обнаружить при измерениях в основном состоянии

4

возмущенного атома. Оценим матричные элементы. Для этого представим оператор возмущения в следующем виде:

оператора Гамильтона (волновые функции стационарных состояний электрона в атоме водорода) можно выбрать так, чтобы они содержали определенную сферическую функцию,

не зависит), то матричные элементы не равны нулю только для таких состояний, которые

возмущенной волновой функции основного состояния по собственным функциям операторов

что при измерении момента импульса электрона возмущенного атома могут быть получены два

невозмущенные энергии от магнитного квантового числа не зависят), вероятности значений проекции m 1 и m 1 одинаковы.

В следующих порядках теории возмущений волновая функция основного состояния приобретает слагаемые, содержащие сферические функции, отвечающие другим значениям момента и проекции. Поэтому в возмущенном основном можно обнаружить и эти значения момента и проекции, однако вероятности этих значений будут более высокого порядка малости по возмущению.

5

Модуль 2. Теория возмущений

Лекция 2.3. Почему не работает теория возмущений в присутствии вырождения?

В предыдущих лекциях мы получили формулы для поправок теории возмущений к энергиям и волновым функциям стационарных состояний. Напомню основную идею теории.

Если гамильтониан некоторой квантовой системы незначительно отличается от гамильтониана квантовой системы, для которой уравнение Шредингера решается точно, то энергии и волновые функции стационарных состояний этой системы могут быть найдены в виде разложения в ряд

Из формул (1) легко увидеть параметр теории возмущений. Чтобы теория работала, должна существовать иерархия слагаемых в разложениях (1). Но каждый следующий порядок отличается от предыдущего таким множителем

Поэтому чтобы теория возмущений работала, матричный элемент оператора возмущения с невозмущенными собственными функциями должен быть много меньше разности невозмущенных энергий

1

Неравенство (2) очевидно не выполняется, если в невозмущенной задаче есть вырождение,

когда существуют разные состояния ( m n ) с одинаковыми энергиями ( m n ). Причем не

выполняется для любого сколь угодно малого возмущения. И на вопрос, а почему это так, мы должны будем сейчас ответить.

Первое, что хочется сказать, что так быть не должно, и условие (2) является очень странным. Действительно, невыполнение неравенства (2) означает невыполнимость теории возмущений, т.е. сильное изменение собственных функций и собственных значений при наложении малого возмущения. Но, казалось бы, если возмущение мало ПО СРАВНЕНИЮ С НЕВОЗМУЩЕННЫМ ГАМИЛЬТОНИАНОМ, то собственные значения и собственные

функции не должны сильно измениться!

Но на самом деле, это не так. Дело в том, что в случае с вырождением существует неопределенность с выбором собственных функций и любая их линейная комбинация будет

говорят, что выбор собственных функций в задаче с вырождением является неоднозначным, и в качестве собственных функций мы можем выбирать разные линейные комбинации изначальных функций.

Ну а теперь вернемся к теории возмущений. Пусть на двукратно вырожденную задачу накладывается очень малое возмущение. Тогда все уровни энергии и собственные функции

2

собственными функциями невозмущенной задачи — что и отражено в их названиях — это функции «нулевого приближения» по возмущению. Именно на правильных функциях нулевого приближения можно строить теорию возмущений. При этом слагаемых с нулями в знаменателе вообще не возникает, поскольку недиагональные матричные элементы оператора возмущения с правильными функциями, отвечающими вырожденному уровню, равны нулю. Это и есть способ исправления теории возмущений для вырожденной задачи.

Ну а как строить правильные функции нулевого приближения мы обсудим на следующей лекции.

4

Модуль 2. Теория возмущений

Лекция 2.4. Исправление теории возмущений в вырожденном случае

«включении» малого возмущения ˆ . Очевидно, использование обычных формул теории

V

возмущений (формулы (13) лекции 2.1) даже для сколь угодно малого возмущения в этом случае невозможно, поскольку знаменатели этих формул обращаются в нуль при ненулевом числителе.

О «способе спасения» теории возмущений мы говорили на прошлой лекции. Он заключается в том, что при наличии вырождения выбор собственных функций невозмущенного гамильтониана является неоднозначным. Действительно, если функции 1 , 2 , ..., s являются

ˆ

собственными функциями гамильтониана H0 , отвечающими собственному значению , то и любая их линейная комбинация

будет также собственной функцией, отвечающей тому же собственному значению . Более того, легко понять, что именно с этой неоднозначностью и связаны расходимости в формулах теории возмущений без вырождения. Действительно, при наложении малого возмущения

функциями, близкими к некоторым линейным комбинациям невозмущенных функций. Это значит, что «при выключении» возмущения эти функции перейдут в некоторые не

1

Главным свойством этих линейных комбинаций является то, что недиагональные матричные элементы оператора возмущения с этими функциям равны нулю, поэтому и расходящихся слагаемых в формулах теории возмущения не возникает, и ее можно использовать и в вырожденном случае. Таким образом, главным в рассматриваемом методе,

который называется теорией возмущений при наличии вырождения, является правильный выбор собственных функций невозмущенного гамильтониана, на которых строится теория возмущений. Эти функции являются базисом теории возмущений и называются «правильными функциями нулевого приближения».

Докажем, что для построения правильных функций нулевого приближения необходимо решить возмущенное уравнение Шредингера

где суммирование распространяется на состояния рассматриваемого вырожденного уровня энергии. Решение уравнения (2) на базисе функций (3) позволит найти правильные функции нулевого приближения и новые энергии в первом порядке теории возмущений. А поскольку эти энергии могут оказаться разными, то в возмущенной задаче пропадает вырождение; как говорят в этом случае, возмущение снимает вырождение уровня. Подчеркнем, что хотя мы ищем правильные функции из возмущенного уравнения, они являются точными собственными функциями невозмущенного гамильтониана, отсюда их название — «правильные функции

нулевого приближения».

всем координатам, от которых зависят собственные функции. В результате получим, используя ортогональность функций f :

2