Kvantovaya_mekhanika_1

осцилляторных собственных энергий пропорционально n 1/ 2 , а для больших квантовых чисел квазиклассический результат должен совпасть с точным. Для других потенциалов квазиклассический результат не будет совпадать с точным, и для потенциалов, допускающих точное решение уравнения Шредингера можно проследить, как квазиклассический результат стремится к точному.

точно и квазиклассически с помощью правила квантования. Результаты (для нескольких первых

Для основного состояния — десятипроцентная точность, для первого возбужденного 1,5 % и

далее точность улучшается.

Кроме непосредственных вычислений энергий дискретных состояний правило квантования Бора—Зоммерфельда позволяет находить число дискретных состояний системы с

энергией, меньшей заданной. Это можно сделать так. Из правила квантования имеем

пропорционально объему фазового пространства системы при данной энергии. А коэффициент пропорциональности — 1/ (2 ) . Или

2

3

Модуль 1. Квазиклассическое приближение

Лекция 1.7. Прохождение потенциальных барьеров

меньше высоты барьера. Или, другими словами, в квазиклассическом случае коэффициент прохождения должен быть мал. Тогда в области слева от точки x a амплитуды падающей и отраженной волн должны быть практически одинаковыми, и квазиклассическое решение в этой области решение имеет вид

где A — амплитуда прошедшей волны. В какую функцию в подбарьерной области перейдет это решение? Очевидно, эта функция содержит и затухающую и растущую под барьер экспоненту,

причем затухающей экспонентой следует пренебречь. Другими словами, функция (3) перейдет в области x b в функцию

1

слева от барьера в области справа от барьера (с точностью до фазового множителя) имеет вид

Находя по функции (5) плотность потока падающих частиц, а по функции (6) — прошедших

(при этом нужно дифференцировать только экспоненту, но не предэкспоненциальный

найдем квазиклассический коэффициент прохождения барьера

По порядку величины, показатель экспоненты есть величина, обратная параметру квазиклассичности

Отсюда D 1.

Важной чертой соотношения (7) является резкая зависимость коэффициента прохождения от энергии. Действительно, при небольшом увеличении энергии частиц интеграл

b

k(t) dt

a

уменьшается незначительно, но он входит в показатель степени экспоненты, и это может привести к значительным изменениям коэффициента прохождения барьера.

Отражением такой зависимости является резкая зависимость времени жизни звезд от их массы. Известно, что звезда излучает, главным образом, за счет термоядерной реакции

2

идущей внутри звезды из-за очень высокой температуры. А температура возрастает за счет гравитационного сжатия. Известно также, что при реальных температурах внутри звезд, энергия теплового движения дейтерия и трития ниже высоты разделяющего их кулоновского барьера,

поэтому реакция (9) идет благодаря квантовому прохождению кулоновского барьера. Так вот,

звезда с массой, близкой к солнечной, сгорает за 10 миллиардов лет, а звезда с массой в десять раз большей солнечной, — всего за 10 миллионов лет (имея при этом в десятки тысяч раз бóльшую светимость). Это связано с тем, что внутри звезды возрастает температура, и резко (за счет экспоненты в формуле (7)) возрастает проницаемость кулоновского барьера, что приводит к существенному увеличению числа актов реакции, выделению гораздо большей энергии и более быстрому выгоранию звезды.

3

Модуль 2. Теория возмущений

Лекция 2.1. Теория возмущений при отсутствии вырождения. Вывод формул

Точное решение стационарного уравнения Шредингера, как правило, представляет собой существенную математическую проблему и возможно только для простейших квантовых систем. Поэтому при решении уравнения Шредингера приходится прибегать к приближенным методам. Одним из таких методов является теория возмущений. Основная идея этого метода заключается в том, что часто в условиях задачи фигурируют величины разного порядка — среди них могут оказаться малые величины, после пренебрежения которыми задача упрощается настолько, что становится возможным ее точное решение. В таком случае первый шаг в решении задачи состоит в точном решении упрощенной задачи, второй — в приближенном вычислении поправок, обусловленных малыми членами, отброшенными в упрощенной задаче.

Метод нахождения этих поправок и называется теорией возмущений.

Итак, пусть оператор Гамильтона некоторой квантовой системы является стационарным

дальнейшем мы будем называть возмущением. Пусть далее, все, что связано с невозмущенным гамильтонианом, нам известно

ˆ H0 n = n n .

Спектр собственных значений и собственных функций гамильтониана ˆ

H0

дискретным, так и непрерывным.

Рассмотрим теперь уравнение Шредингера для возмущенного гамильтониана квантовой системы и найдем поправки к m -ому уровню энергии и отвечающей ему собственной функции возмущенного оператора Гамильтона

n

1

В результате этих преобразований возмущенное уравнение Шредингера (4) принимает следующий вид:

которое равно матричному элементу матрицы оператора возмущения в базисе из собственных

матричным элементам будем делать разложение, которое, фактически, представляет собой ряды

Подставляя разложения (7) в уравнение (5), получим

Будем теперь собирать слагаемые одного порядка малости. Легко проверить, что в нулевом

порядке уравнение (9) удовлетворяется.

2

При k m

Условие применимости полученных формул — малость вычисленных по теории возмущений поправок по сравнению с основными слагаемыми. Как следует из формулы (13),

поправки малы, если

собственных значений невозмущенного гамильтониана ˆ является вырожденным, то условие

H0

применимости теории возмущений (14) нарушается для любого, сколь угодно малого возмущения, и полученными формулами пользоваться нельзя. В этом случае следует использовать несколько другой вариант теории возмущений, который принято называть теорией возмущений при наличии вырождения и который будет рассмотрен в следующих лекциях.

3

Формулы теории возмущений для поправок к энергиям и волновым функциям стационарных состояний можно обобщить и на случай наличия у невозмущенного оператора

о поправках к энергиям состояний дискретного спектра — в случае непрерывного спектра любая энергия — собственное значение). В этом случае в правые части (11), (15) должен быть добавлен интеграл по состояниям непрерывного спектра. Можно также получить формулы и для поправок теории возмущений к энергиям и волновым функциям стационарных состояний более высокого порядка. Нам эти формулы далее не понадобятся.

Обратим внимание на еще одно важное обстоятельства, которое часто используется в тех или иных рассуждениях. Поскольку в числителе каждого слагаемого поправки второго порядка

куровню энергии — неотрицательная величина, и энергия основного состояния

невозмущенного гамильтониана меньше энергии любого другого 0 n , то поправка второго порядка к энергии основного состояния всегда отрицательна. Поэтому, если поправка первого порядка к энергии основного состояния равна нулю, то энергия основного состояния понижается, независимо от того, какое на систему действует возмущение.

В следующей лекции мы рассмотрим примеры применения теории возмущений к вычислению энергий и волновых функций стационарных состояний ряда задач.

4

Модуль 2. Теория возмущений

Лекция 2.2. Теория возмущений при отсутствии вырождения. Примеры использования

Рассмотрим несколько примеров использования теории возмущений. Пусть на одномерный гармонический осциллятор наложено возмущение

Найдем поправки первого и второго порядка к энергетическим уровням осциллятора по теории возмущений и сравнить с точным ответом (очевидно, точное решение уравнения Шредингера для такого возмущения находится, поскольку возмущенный гамильтониан также представляет собой осциллятор, но с другой частотой).

Согласно формулам теории возмущений поправка первого порядка к уровням энергии квантовой системы определяется диагональным матричным элементом оператора возмущения с невозмущенными собственными функциями

Интеграл в (2) вычислялся в первой части курса — формула (14) лекции 2.5. Используя эту формулу, имеем из (2)

Поправка второго порядка определяется формулой (12) из предыдущей лекции

где Vnm — недиагональный матричный элемент оператора возмущения с невозмущенными собственными функциями

V k (x)x2 (x)dx .

nm 2 n m

1