Kvantovaya_mekhanika_1

Модуль 1. Квазиклассическое приближение

Лекция 1.3. Пример использования квазиклассического приближения

Чтобы почувствовать возможности квазиклассического приближения, давайте рассмотрим пример его использования для решения дифференциального уравнения (не имеющего никакого отношения к квантовой механике). Итак, пусть мы имеем уравнение

где A — некоторая положительная постоянная. Давайте найдем квазиклассическое решение данного уравнения (без предэкспоненциального множителя и с ним) и точное решение, сравним полученные результаты и с помощью этого сравнения обсудим возможности метода. Но, во-

первых, обсудим возможность применения квазиклассического приближения и найдем условие,

когда его можно применять. Уравнение (1) имеет именно такую структуру, для которой и было введено квазиклассическое приближение

предэкспоненциального множителя и с ним). Но сначала найдем параметр квазиклассичности.

где a — точка с произвольной координатой. В результате квазиклассические функции без предэкспоненциального множителя имеют вид

1

Сравнение решений (4), (5) и (6) показывает, что квазиклассическому приближению удалось

воспроизвести основные черты точного решения, причем при A 1 такое воспроизведение

является хорошим. Кроме того, при учете предэкспоненциального множителя в

2

Модуль 1. Квазиклассическое приближение

Лекция 1.4. Условия сшивки квазиклассических функций

Функции (9), (10) являются хорошими приближениями для решений дифференциального

Следует, однако, иметь в виду, что параметр квазиклассичности зависит от координаты, и

потому возможны ситуации, когда при некоторых значениях координаты квазиклассические функции являются хорошими приближениями для истинных решений уравнения Шредингера,

при некоторых — нет. В частности очевидно, что квазиклассика не работает в окрестности

точками остановки. Поэтому решения уравнения (1) в классически запрещенной и классически доступной областях (границей между которыми и является точка остановки) нельзя «сшивать» в

точке остановки, используя сами функции (9), (10). Другими словами, для согласованного выбора коэффициентов в функциях (9), (10), которые являются хорошими приближениями для истинных решений в разных областях квазиклассичности вдали от точек остановки, нельзя использовать квазиклассические функции (9), (10) в точках остановки. Существует два способа

«сшивки» квазиклассических функций.

Мы получили уравнение, решением которого является известная в математике функция Эйри. Используя это решение можно осуществить следующую процедуру «сшивки» квазиклассические функции слева и справа от классической точки поворота. На той границе, где перестает работать квазиклассика, но работает линейное приближение для потенциала,

квазиклассическое решение «сшивается» с функцией Эйри, которая затем на второй границе этой окрестности «сшивается» с квазиклассическим решением. В результате получается

«сшивка» квазиклассических функций слева и справа от точки остановки. Конечно, такой

1

способ сшивки квазиклассических функций работает, если окрестности точки остановки, где работает квазиклассика и линейное приближение для потенциала, пересекаются.

функции (3) и (4) заданы в непересекающихся друг с другом областях. Но если функция

U (x) — аналитическая функция своего аргумента в окрестности точки остановки, то можно рассмотреть аналитическое продолжение уравнения Шрединегера и его решений в комплексную плоскость координаты. Тогда вычисления, аналогичные проделанные в предыдущих разделах этого модуля курса, покажут, что квазиклассические решения работают и при комплексных координатах не слишком близко к точкам остановки. А это значит, что квазиклассические решения (3) и (4) можно связать друг с другом, обходя точку остановки в комплексной плоскости координаты (т.е. нигде не подходя к этой точке так, что квазиклассическое приближение перестает работать) и везде используя сами квазиклассические функции.

Практически это делается так. Когда мы перейдем из классически запрещенной в классически доступную область, меняется знак функции (U (x) E) . Если мы совершаем обход в верхней полуплоскости, то

и, следовательно,

2

Мы получали при обходах через разные полуплоскости разные решения только потому,

что наше решение — асимптотически приближенное, а не точное. Проходя через верхнюю полуплоскость, мы получаем то решение, которое в ней является экспоненциально растущим, а

второе — экспоненциально малое, — не замечаем на фоне главного. Для нижней полуплоскости — наоборот. Таким образом, мы получаем, что функции

являются приближенными квазиклассическими представлениями одного и того же решения уравнения Шредингера справа (при x b ) и слева (при x b ) от классической точки остановки x b . При этом ключевыми словами в этом предложении являются слова «одного и того же решения уравнения Шредингера».

Для «левой» точки поворота x a аналогичные рассуждения приводят к условиям сшивки затухающего в классически запрещенной области и осциллирующего в классически запрещенной области решений:

3

являются приближенными квазиклассическими представлениями одного и того же решения уравнения Шредингера слева (при x a ) и справа (при x a ) от классической точки остановки x a . При этом ключевыми словами в этом предложении являются слова «одного и того же решения уравнения Шредингера».

Квазиклассические решения и условия их «сшивки» в точках поворота позволяют получить «в квадратурах» (то есть через интегралы, а не решение дифференциального уравнения) условие на уровни энергии. Такие условия называются правилами квантования. Мы рассмотрим их на следующей лекции.

4

Модуль 1. Квазиклассическое приближение

Лекция 1.5. Правило квантования Бора—Зоммерфельда

Квазиклассические решения и условия их «сшивки» в точках остановки позволяют полу-

чить «в квадратурах» (то есть через интегралы, а не через решения дифференциальных уравне-

ний) условие на уровни энергии. Такие условия называются правилами квантования. Рассмот-

рим решение уравнения Шредингера при некоторой энергии E , при которой могут существо-

вать стационарные состояния дискретного спектра ( E U ( ) ).

Обозначим классические точки остановки для классической частицы с этой энергией как

жительна. Поэтому квазиклассические решения уравнения Шредингера в этих областях имеют

вид

В качестве нижних пределов интегрирования в этих формулах выбраны левая и правая точки остановки соответственно. В формулах (3), (5) оставлены только затухающие на обеих беско-

нечностях функции. Функции (3)–(5) являются хорошими приближениями для ограниченных решений уравнения Шредингера вдали от точек остановки a(E) и b(E) .

Согласно условиям сшивки функция (3) слева от ямы переходит внутри ямы в следую-

щую функцию (4) внутри ямы

1

Аналогично, функция (5) справа от ямы переходит в следующую функцию (4) внутри ямы

Поэтому решение уравнения Шредингера, одновременно затухающее и справа, и слева от ямы

(т. е. отвечающее дискретному собственному значению), существует, если функции (6) и (7)

внутри ямы совпадают или отличаются знаком. Для этого аргументы косинусов могут отличать-

ся на n . Отсюда (учитывая, что косинус — четная функция координаты), получим

Поэтому уравнение (9) определяет энергии стационарных состояний дискретного спектра и называется правилом квантования Бора—Зоммерфельда.

Обсудим вопрос о точности правила квантования. Вся вышеприведенная логика работа-

ет, если внутри ямы справедливо квазиклассическое приближение, причем точность определе-

ния энергий определяется точностью квазиклассических функций внутри ямы. Другими слова-

ми, точность правила квантования определяется квадратом параметра квазиклассичности

b

k(t)dt kl ,

a

и используя правило квантования, из (11) найдем точность правила квантования

2

Из формулы (12) следует, что правило квантования лучше работает для больших квантовых чи-

тования должно давать десятипроцентную точность.

Точность правила квантования можно оценить и в физических терминах. Оценим клас-

сическое действие для частицы с энергией E

Другими словами, чем больше характерное действие частицы постоянной Планка, тем лучше работает правило квантования.

3

Модуль 1. Квазиклассическое приближение

Лекция 1.6. Пример использования правила квантования. Число квантовых состояний

Давайте рассмотрим пример использования правила квантования. Найдем с его помощью уровни энергии линейного гармонического осциллятора. Итак, пусть

То обстоятельство, что квазиклассическое правило квантования дало для осциллятора точный результат, связано с тем, что и для больших, и для малых квантовых чисел точное выражение

1