0 |
kR3 |
2 |
k 2 |
kR3 2mU |
0 |
. |
3 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате из формулы (3) с учетом малости фазу рассеяния дифференциального сечения рассеяния
Как и должно быть в условиях применимости борновского приближения сечение не зависит от углов и от энергии (независимость от углов сохранится и в случае невыполнимости условий применимости борновского приближения, поскольку частицы медленные). И, кроме того, мы получили тот же ответ (с точностью до обозначений), который был получен для сечения в борновском приближении (формула (9) лекции 5.4). Если при этом ввести параметр борновского приближения
|
|
|
|
|
U |
0 |
|
|
|
|
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
/ 2mR |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то сечение можно записать так |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
R |
2 |
|
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(видим, что это сечение в |
4 |
меньше геометрических размеров рассеивателя). |
|
Рассмотрим теперь случай, когда частицы медленные, но условия применимости |
борновского приближения не выполнены |
|
|
1 |
. В этом случае уравнение (11) будет иметь |
совершенно другие решения. Чтобы понять это рассмотрим конкретную глубину ямы
а уравнение для фазы рассеяния (которое я перепишу через котангенс)
|
|
|
|
|
|
|
k ctg kR 0 ctg R |
дает |
k ctg |
|
kR |
0 |
|
0 |
, т. е. фаза рассеяния (при малых энергиях частиц) равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда находим дифференциальное сечение рассеяния
3
Т. е. сечение много больше геометрических размеров рассеивателя (напомню, что рассматриваются медленные частицы). Поскольку такое сечение много больше сечения в борновском случае, такое сечение называется резонансным. Очевидно, что существуют и другие максимумы сечения (при определенных глубинах ямы):
|
|
2mU0 |
|
R 2n 1 , |
n 1, 2,3,.... |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А фаза рассеяния при таких глубинах также равна / 2 |
|
|
|
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Докажем, что при таких глубинах в яме существует уровень с очень маленькой энергией.
Забудем сейчас ненадолго о рассеянии вообще, и рассмотрим совершенно другую задачу. Пусть есть потенциальная яма (1), найдем уровни энергии с моментом l 0 в этой яме. Мы должны решать уравнение (5) для радиальной функции при отрицательной энергии
Внутри ямы уравнение (19) имеет решение
вне ямы —
. 
Условие сшивки функций на границе ямы дает уравнение на уровень энергии
Удобно перейти в уравнении (22) к синусу
Решения уравнения (23) можно проиллюстрировать графически. Его пересечениями двух функций от R (причем искомая энергия входит в прямых R , причем нужны те пересечения, где ctg R 0 .
корни определяются
) — синуса и двух
На рисунке построены графики этих |
|
функций, причем нужные области пересечения |
|
выделены жирным. А наклоны прямых R |
|
определяются коэффициентом перед |
R |
в |
|
правой части уравнения (23). Для ситуации, |
R |
|
приведенной на рисунке (для той глубины, для |
|
которой нарисованы прямые) есть четыре точки |
|
нужные пересечения синуса и прямых |
R , т. е. в яме есть четыре уровня энергии. Из этого |
графика видим, что уровни энергии в сферической яме есть не всегда, причем первый уровень появляется, когда прямая
проходит через «верхушку» первого полупериода синуса, т. е.
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
2 |
R |
2mU |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
U0 |
|
8mR |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т. е. как раз при той энергии, когда в сечении получается первый резонанс. Точно также видно,
что каждый резонанс в сечении рассеяния имеет место при такой энергии, при которой в яме появляется уровень. Здесь используют такую терминологию: о резонансном сечении говорят как о рассеянии на мелком уровне энергии или (если уровень еще не появился, но потенциал близок к (25)) о рассеянии на виртуальном уровне.
Найдем сечение, если глубина потенциала близка к резонансной, но не в точности ей равна. Условие существования уровня энергии ctg R k (22) в этом случае можно переписать так
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|
2 ctg2 R k 2 |
|
2mU0 |
ctg2 |
|
2mU0 |
|
|
|
|
|
R = |
. |
(26) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m U0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2mU0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С другой стороны, уравнение (11) на фазу
обозначим 0 ) можно переписать так
и для глубокой ямы и медленных частиц
Поэтому уравнение (27) дает
(которую в этом случае мы
(27)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kR |
. |
|
|
2mU0 |
ctg2 |
|
2mU0 |
|
2mE |
ctg2 |
|
|
|
R = |
(28) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя далее формулу (26) и малость энергии рассеивающихся частиц, получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(29) |
|
|
|
|
|
|
|
|
= E ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
— уровень энергии в яме. Выражая теперь sin |
2 |
0 |
через |
|
|
2 |
0 |
, получим для сечения |
|
|
ctg |
рассеяния частиц на яме, в которой есть мелкий уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
(30) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2m E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (30) для резонансного сечения называется формулой Вигнера. |
|
|
|
Найдем отношение резонансного сечения к борновскому |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
U0 |
1 |
U0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
d |
|
|
2 |
|
6 |
2 |
|
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|
6 |
|
|
|
|
mE |
|
|
|
|
|
|
|
E |
E |
|
|
|
|
|
m |
R U |
0 |
|
|
|
R U |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
— параметр борновости потенциала, |
U0 |
|
— глубина потенциала в этом случае. Энергия |
рассеивающихся частиц и глубина потенциала не связаны друг с другом, но обе величины
являются малыми. Если они одного порядка, то борновского сечения меньше резонасного в |
|
6 |
|
раз.
Очевидно, сечение (30) много больше сечения рассеяния в случае выполнения условий борновского приближения. Действительно, в случае выполнения условий применимости
борновского приближения фаза рассеяния мала |
0 |
|
1, и сечение определяется соотношением |
d |
|
sin2 |
0 |
|
02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
(31) |
|
k |
2 |
|
k |
d Б |
|
|
|
|
|
|
|
А в случае невыполнения этих условий фаза рассеяния не мала, |
sin |
2 |
0 |
|
величины таково |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
sin |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
k |
2 |
|
|
k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
1 |
|
1. |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, и сечение по порядку
(32)
Таким образом сечение рассеяния на яме, в которой появляется уровень (и соответственно не выполнены условия применимости борновского приближения, зависит от энергии в соответствии с формулой (30) и резко возрастает по сравнению с борновским случаем. Поэтому такое рассеяние называется резонансным, а формула (30) для резонансного сечения называется формулой Вигнера.
