Kvantovaya_mekhanika_1

Модуль 5. Задача рассеяния

Лекция 5.5. Фазовая теория рассеяния. Фазы рассеяния. Выражение сечения через фазы

рассеяния

Наряду с теорией рассеяния, изложенной в предыдущей лекции, часто используется другой вариант теории, именуемый фазовой теорией рассеяния. Основная идея этой теории заключается в разложении волновой функции задачи рассеяния по состояниям с определенным моментом (по сферическим функциям). В результате и для амплитуды рассеяния получается разложение на так называемые парциальные амплитуды (амплитуды рассеяния частиц с определенным моментом), знание которых позволяет свести вычисление амплитуды рассеяния к

суммированию бесконечного ряда. Изложим подробно эту теорию рассеяния.

Пусть рассеяние частиц происходит на сферически симметричном потенциале, и частицы с определенной энергией E падают на потенциал вдоль оси z . Тогда на больших расстояниях от рассеивающего центра волновая функция задачи рассеяния имеет вид «плоской волны плюс

расходящейся сферической волны»:

функциям. При этом заметим, что благодаря выбранной геометрии задачи (падение частиц

«засовывать» в функцию Rl (r) ). Пользуясь условием ортогональности для полиномов Лежандра

получим для функции Rl (r)

1

расстояниях от рассеивающего центра

Сделаем здесь небольшой комментарий к разложению экспоненты. Так как экспонента —

А поскольку уравнение (10) является уравнением второго порядка, то наряду с решением,

имеющим асимптотику (7), существует еще одно решение, имеющее особенность при r 0 .

Очевидно, асимптотика такого решения имеет вид

2

взаимодействия налетающих частиц и рассеивающего центра исчезает, волновая функция задачи рассеяния переходит в решение свободного уравнения Шрединегера. Поэтому с учетом замечания в конце предыдущей страницы имеем на асимптотике

где C1 и C2 — произвольные постоянные. Поскольку синус и косинус одного аргумента всегда можно свести к одной тригонометрической функции введением фазы, формулу (1) можно преобразовать к виду

вычитая из формулы (13) формулу (7) (на асимптотике, при r )

3

Поскольку коэффициент перед расходящейся сферической волной и есть амплитуда рассеяния из формулы (17) заключаем, что

по модулю в квадрат, находим дифференциальное сечение упругого рассеяния

Из формул (19), (20) следует, что дифференциальное и полное сечения рассеяния в заданном поле сил выражаются через совокупность фаз рассеяния l (число которых счетно: 0 ,

необходимо найти радиальные волновые функции частицы в силовом поле для всех моментов l .

Рассматривая асимптотику этих функций на больших расстояниях от силового центра, можно

полное сечения рассеяния.

4

Модуль 5. Задача рассеяния

Лекция 5.6. Анализ формул фазовой теории рассеяния. Оптическая теорема. Случай мед-

ленных частиц

Итак, в рамках фазовой теории рассеяния волновая функция задачи рассеяния расклады-

вается по состояниям с определенным моментом, и вычисляется как сумма парциальных ампли-

туд рассеяния

Из формулы (1) легко находятся выражения для дифференциального и полного сечения рассея-

ния через фазы рассеяния

Формулы (3), (4) и дают выражения дифференциального и полного сечения рассеяния в заданном поле сил через совокупность фаз рассеяния l (число которых счетно: 0 , 1 , 2 , …,

но, вообще говоря, бесконечно). Поэтому для вычисления сечения рассеяния необходимо найти радиальные волновые функции частицы в силовом поле для всех моментов l . Рассматривая асимптотику этих функций на больших расстояниях от силового центра, можно найти фазы рас-

сеяния 0 , 1 , 2 , …, а затем по формулам (3), (4) — дифференциальное и полное сечения рас-

сеяния.

Проанализируем формулы фазовой теории рассеяния.

1. В предельном случае U 0 , где U потенциал взаимодействия рассеивающихся частиц с рассеивающим центром, рассеяния не происходит, поэтому волновая функция задачи рассеяния совпадает с волновой функцией налетающих частиц eikz . Следовательно, сравнивая асимптотику волновой функции (2) и функции eikz (формула (8) предыдущей лекции) заключаем, что волно-

1

вая все фазы рассеяния равны нулю, все элементы матрицы рассеяния — единице, а сечение рассеяния (как это и должно быть) равняется нулю.

2. Найдем мнимую часть амплитуды рассеяния на нулевой угол («амплитуды рассеяния впе-

ред»). Поскольку Pl cos( 0) 1 для любых моментов, то, очевидно,

Формула (6) выражает т. н. оптическую теорему для упругого рассеяния и является следствием сохранения числа частиц при рассеянии. Действительно, полное сечение рассеяния пропорцио-

нально числу рассеянных частиц. С другой стороны, это число связано с убылью частиц в пото-

ке, распространяющемся вдоль оси z . Понятно, что на математическом языке эта убыль должна

произойти из-за того что второе слагаемое граничного условия задачи рассеяния

мнимая часть амплитуды рассеяния ответственна за убыль частиц в первоначальном потоке, от-

куда и получается теорема (6).

Про оптическую теорему (6) часто говорят как об условии унитарности для рассеяния.

Такая терминология связана с тем, что амплитуда рассеянной волны может быть выражена че-

рез амплитуду падающей, как результат действия некоторого оператора, который не меняет нормировку волновой функции, поскольку последняя пропорциональна плотности потока ча-

стиц. А операторы, не меняющие нормировку функций, являются унитарными (эрмитово со-

пряженный к ним совпадает с обратным). Отсюда и пошла приведенная выше терминология.

Подчеркнем еще раз, что условие унитарности является следствием сохранения числа ча-

стиц: если бы в области действия потенциала имело бы место рождение или поглощение частиц,

то условие унитарности (6) нарушалось бы. Отметим, условие унитарности тесно связано с эр-

митовостью гамильтониана рассеивающих частиц. В различных разделах теоретической физи-

ки, в которых приходится иметь дело с поглощением волн или частиц, например, в оптике,

2

ядерной физике и др., часто вводят потенциалы, которые являются комплексными и, следова-

тельно, приводят к неэримитовости гамильтониана. В этих подходах нарушается и условие уни-

тарности (или оптическая теорема) для рассеяния.

Практическая ценность формул фазовой теории рассеяния для эффективного и полного сечения тем выше, чем меньшее число членов ряда играет существенную роль. Докажем, что для малых энергий рассеивающихся частиц это число невелико. Основная идея этого доказа-

тельства заключается в том, что частицы с моментом l движутся в следующем эффективном потенциале

причем если U (r) достаточно быстро спадает с расстоянием, то для достаточно больших мо-

ментов и малых энергий центробежный потенциал (второе слагаемое в (8)) может «не пустить» рассеивающиеся частицы в область действия потенциала (в области потенциала могут оказаться только малые «хвосты» волновых функций). Поэтому, фактически частицы с большими момен-

тами не будут «чувствовать» потенциал, следовательно, не будут рассеиваться, следовательно,

фазы рассеяния с такими моментами будут равны нулю и не дадут вклад в амплитуду и сечение рассеяния. А ряд по моментам для амплитуды рассеяния содержит только небольшое число сла-

гаемых.

Пусть R — радиус действия потенциала. Частицы с моментом l будут «чувствовать» потенциал, если точка остановки классического движения в центробежном потенциале окажется меньше R . Эта точка находится из условия

Отсюда следует, что для фиксированной энергии потенциал будут «чувствовать» частицы с мо-

ментами l kR . Частицы с бóльшими моментами будут иметь малые фазы рассеяния и не да-

вать вклад в сечение. Поэтому фазовая теория рассеяния играет важную роль в исследовании рассеяния не слишком быстрых частиц. Для быстрых частиц ( kR 1) в суммах (3), (4) необхо-

димо учитывать множество слагаемых и потому возможности фазовой теории снижаются.

3

гаемое с моментом, равным нулю (или, как говорят, учитывать только s-рассеяние). В этом слу-

чае, как это следует из формулы (3) дифференциальное сечение будет равно

Из формулы (11) следует, что дифференциальное сечение рассеяние медленных частиц не зави-

сит от угла рассеяния (является изотропным). При увеличении энергии частиц «подключается» p-рассеяние (т. е. в формуле (3) нужно учитывать первое и второе, отвечающее l 1, слагаемое),

4

Модуль 5. Задача рассеяния

Лекция 5.7. Пример использования фазовой теории рассеяния

Исследуем в рамках фазовой теории рассеяния рассеяние медленных частиц сферической потенциальной ямой конечной глубины

является только рассеяние частиц с нулевым моментом ( s -рассеяние), фазы рассеяния для других моментов равны нулю. Поэтому для рассеяния медленных частиц фазовая теория рассеяния дает

дает для функции 0 (r) (подробно эти преобразования были сделаны в первой части курса в лекции 4.2)

1

2