Kvantovaya_mekhanika_1

будет удовлетворять граничному условию (2) и, следовательно, определять волновую функцию задачи рассеяния. Подчеркнем, что выражение (6) не дает ответ для волновой функции задачи рассеяния в квадратурах — это интегральное уравнение, поскольку функция (r ) входит и в левую, и в правую часть формулы (6). Однако оно гораздо удобнее для теоретических исследований, чем дифференциальное уравнение (1) и позволяет строить приближенные методы решения. Непосредственной проверкой можно убедиться, что функция

бесконечность, но такую, которая связана с дельта-функцией. Действительно, если

А справедливость равенства (8) для функции (7) легко проверяется с преобразованием объемного интеграла в поверхностный с использованием теоремы Гаусса, и вычислением поверхностного интеграла по поверхности сферы малого объема, включающего точку r 0 .

С использованием функции Грина (7) интегральное уравнение задачи рассеяния (6)

приводится к виду

2

амплитуды рассеяния нам нужно знать поведение волновой функции на больших расстояниях от рассеивающего центра. А поскольку интегрирование в (9) ведется по области действия потенциала, то для исследования асимптотики решения уравнения (9) необходимо оценить

и подставляя это выражение в показатель степени экспоненты в формуле (9), а в знаменателе

рассеивающего центра

Следовательно, зависимость интеграла (11) и, следовательно, амплитуды рассеяния от угла

Формула (16) определяет амплитуду рассеяния через решение уравнения Шредингера в области действия потенциала. Таким образом, для его использования необходимо решить уравнение Шредингера (1) с граничным условием (6) и вычислить интеграл (12).

3

Модуль 5. Задача рассеяния

Лекция 5.3. Борновское приближение в задаче рассеяния: идеи, формулы, условия

применимости

Полученная в конце прошлой лекции формула для амплитуды рассеяния

не является решением задачи рассеяния, поскольку в подынтегральное выражение в правой

функцию, как правило, не удается из-за значительных математических трудностей,

возникающих при решении уравнения Шредингера для волновой функции задачи рассеяния.

Поэтому для вычисления сечения приходится использовать приближенные методы. Важнейшим из таких приближенных методов является метод Борна (или, как чаще говорят, борновское приближение). Для построения борновского приближения будем использовать выражение (1)

для амплитуды рассеяния.

Основная идея борновского приближения заключается в следующем. Пусть потенциальная энергия мала и может рассматриваться как возмущение. Тогда волновая функция

задачи рассеяния должна мало отличаться от волновой функции падающих частиц eikz ,

поскольку при нулевом потенциале она буквально сводится к этой функции. Кроме того,

волновая функция задачи рассеяния в случае малого потенциала может быть найдена в виде разложения по степеням потенциальной энергии

степеням потенциала. Для нахождения поправок к волновой функции используем интегральное уравнение задачи рассеяния (уравнение (…) из предыдущей лекции). Поскольку интегральное слагаемое — первого порядка по возмущению, имеем

1

В соответствии с этим рядом для волновой функции возникает аналогичный ряд для разложения амплитуды рассеяния по степеням возмущения. В частности, в первом порядке теории возмущений имеем из второго соотношения формулы (3)

столкновения). Для упругого рассеяния, которое только и рассматривается здесь, модули

Разложение (2), которое, фактически, представляет собой теорию возмущений по потенциальной энергии взаимодействия рассеивающей и рассеивающейся частиц, называется борновским разложением, а его первый член — формула (4) для амплитуды рассеяния —

представляет собой первое борновское приближение.

Формула (4) дает выражение для амплитуды рассеяния в квадратурах и не требует решать дифференциальное уравнение. Для ее использования достаточно вычислить один

интеграл. Обсудим особенности формулы Борна.

То есть в условиях выполнимости первого борновского приближения сечение зависит от энергии и угла рассеяния только в виде комбинации (5). В частности, если сечение не зависит от

2

то есть не зависит от энергии частиц и угла рассеяния (о последнем говорят, как об изотропности рассеяния).

говорят, «вытянуто» или «направлено» вперед). Это связано с тем, что при больших углах рассеяния экспонента в случае быстрых частиц сильно осциллирует, что приводит к подавлению интеграла. Следовательно, в случае быстрых частиц выполнено неравенство

Другими словами, при больших энергиях рассеяние происходит в основном в конус с углом раствора

единицу, то значение сечения внутри конуса не зависит от энергии, то полное сечение рассеяния

(если, оно сходится) можно оценить как

Т. е. в условиях выполнимости борновского приближения полное сечение (если оно сходится)

обратно пропорционально энергии частиц.

Остановимся теперь на условиях применимости борновского приближения. Для быстрой сходимости ряда последовательных приближений нужно, чтобы поправка первого порядка к волновой функции была мала по сравнению с волновой функцией нулевого приближения

Отсюда следует, что если потенциал имеет конечный радиус действия, для применимости борновского приближения амплитуда рассеяния должна быть мала по сравнению с радиусом действия потенциала

Дальнейшую оценку сделаем на основе формулы Борна для амплитуды рассеяния быстрых и медленных частиц.

3

где U0 — характерное значение потенциала. В результате условие (11) вместе с оценкой для амплитуды (12) дает ограничение на величину потенциальной энергии взаимодействия рассеивателя и рассеивающихся частиц

для которой для вычисления дифференциального сечения рассеяния можно пользоваться борновским приближением. Поскольку в сферической потенциальной яме глубиной

где U0 — характерное значение потенциала, и условие (12) дает ограничение на величину потенциальной энергии взаимодействия рассеивателя и рассеивающихся частиц

Из формулы (13) следует, что для достаточно быстрых частиц борновское приближение всегда работает (независимо от величины потенциала).

4

Модуль 5. Задача рассеяния

Лекция 5.4. Пример использования борновского приближения

В рамках борновского приближения рассмотрим рассеяние частиц на потенциале

волновой вектор рассеянных частиц, направленный под углом рассеяния ) — с точностью до множителя есть переданный при рассеянии импульс.

Зависимость амплитуды рассеяния от угла рассеяния и энергии частиц входит только через пе-

реданный импульс q , все остальные величины в (2) от угла рассеяния и энергии рассеянных ча-

стиц не зависят. Вычисление амплитуды рассеяния согласно формуле (2) сводится к вычисле-

Интеграл в (4) можно вычислить методом интегрирования по частям, или с помощью диффе-

ренцирования по параметру. Имеем

1

И для достаточно быстрых частиц всегда выполнено.

Рассмотрим сечение (6) в частном случае быстрых и медленных частиц. Для медленных

импульс (3)), поэтому можно разложить синус и косинус в формуле (6) в ряды Тейлора (с точ-

ностью до кубических и квадратичных членов соответственно, поскольку члены первого поряд-

ка сокращаются. Имеем

Как и должно быть в соответствии с общими свойствами борновского приближения, сечение рассеяния медленных частиц не зависит ни от угла, ни от энергии рассеивающихся частиц. При этом из формул (7)–(9) следует, что сечение рассеяния много меньше геометрических парамет-

ров рассеивающего центра (радиуса действия потенциала).

Случай быстрых частиц kR 1. В случае рассеяния на малые углы

По-прежнему справедливо условие qR 1 , и для сечения мы получаем значение (9). В случае больших углов рассеяния ( 1) для произведения qR выполнено обратное неравенство

2

Из формулы (11) следует, что (1) сечение много меньше геометрических параметров потенциала

(квадрата радиуса), (2) осциллирует как функция угла рассеяния с уменьшающейся по закону

Вычисляя интеграл (15) (который вычисляется элементарно, и потому не требует комментари-

ев), получаем

3

При больших энергиях и не слишком малых углах рассеяния формула (16) сводится к резерфор-

довской. Это связано с тем, что большим углам рассеяния отвечают малые прицельные пара-

множителем e r / R , который порядка единицы при малых расстояниях. При малых углах рассея-

ния сечение не расходится (как резерфордовское) из-за экранировки потенциала, которое обес-

печивает, таким образом, сходимость полного сечения.

4