Kvantovaya_mekhanika_1

Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая механика

Файл:

фермионы находятся в состоянии с суммарным спином S 0 ,

то антисимметричной является

спиновая функция, а пространственная — симметрична

f (r1, r2 )

1 (r1 ) 2 (r2 ) 1

Но в состоянии (7) вероятность обнаружить фермионы в одной точке пространства ( r1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.04.2026

Размер:

6.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>

пространственная часть волновой функции антисимметрична, и для системы

невзаимодействующих фермионов имеет вид

f (r , r )
1	2

1 2

(r )			(r )		(r )		(r )
1	1	2	2	1	2	2	1

(7)

где

1(r )

2 (r ) — одночастичные пространственные волновые функции фермионов. Если

равна нулю, а в состоянии (8) — вдвое больше вероятности обнаружить в одной точке нетождественные частицы. Таким образом, обменные корреляции в первом случае носят характер отталкивания, во втором притяжения.

Аналогичные утверждения имеют место и для частиц с произвольным спином — в

зависимости от суммарного спина частиц пространственная часть волновой функции (как для бозонов, так и для фермионов) может быть как симметричной, так и антисимметричной, а это приводит к разному «потенциальному» взаимодействию между частицами в состоянии с разным

суммарным спином.

Чтобы понять это различие давайте «включим» слабое взаимодействие между частицами и поймем, как меняется энергия системы частиц. Итак, пусть есть система двух слабо

взаимодействующих тождественных частиц (для определенности	со спином	s 1/ 2 ; т. е.
частицы — фермионы). Учтем взаимодействие между ними V (r1 r2 )	по теории возмущений —

т. е. будем считать, что в нулевом порядке фермионы не взаимодействуют, а поправку к энергии системы найдем как диагональный матричный элемент оператора взаимодействия V (r1 r2 ) с

невозмущенными функциями. Так как взаимодействие действует только на пространственные координаты, для поправки к энергии имеем с использованием пространственных функций (7),

(8)

1	(r )			(r ) (r )				*	V (r r ) (r )					(r ) (r )				(r ) dr dr
	(r )			(r ) (r )				(r )	V (r r ) (r )					(r ) (r )				(r ) dr dr
2	1	1	2	2	1	2	2	1	1	2	1	1	2	2	1	2	2	1	1	2
2

(9)

где знак «+» относится к состоянию с суммарным спином S 0 , знак «–» — к состоянию с суммарным спином S 1. Раскрывая скобки в выражении (9), получим

E J A 1(r1) 2 V (r1 r2 ) 2 (r2 ) 2 dr1dr2 1*(r1) 2 (r1)V (r1 r2 ) *2 (r2 ) 1(r2 )dr1dr2 .

(10)

Первый интеграл J

двух частиц, одна

в выражении (10) имеет простой физический смысл — это взаимодействие

из которых характеризуется плотностью вероятности	1(r1)	2	, вторая —

плотностью вероятности 2 (r2 ) 2 . Именно таким было бы взаимодействие нетождественных

частиц. Второй интеграл не имеет классического аналога, связан именно с симметризацией волновой функции и имеет разный знак в состояниях с разным суммарным спином. Он представляет собой взаимодействие двух частиц, которые характеризуются плотностью

* (r ) (r ) , т. е. описывает ситуацию, когда частицы «обмениваются состоянием». Именно 1 1 2 1

поэтому этот интеграл называется обменным.

Таким образом, специфика тождественных частиц приводит к тому, что состояние системы существенно зависит от их суммарного спина. При этом для «близких» состояний обменный интеграл может оказаться больше «плотностного» и может привести к понижению энергии системы даже для отталкивания между ними. Именно таким является образование химических связей между атомами за счет обменного взаимодействия электронов.

Симметрия пространственных и спиновых волновых функций может привести к еще одному интересному эффекту — ограничению возможных значений суммарного спина системы тождественных частиц при определенной симметрии пространственных функций. Пусть мы имеем такое состояние системы двух тождественных частиц, когда пространственные волновые функции частиц одинаковы. Тогда в системе фермионов могут реализоваться только значения суммарного спина S 2s 1, 2s 3, 2s 5,..., в системе бозонов — S 2s, 2s 2, 2s 4,... Такая ситуация имеет место в атомных ядрах, одно из возбужденных состояний которых можно интерпретировать как бозон со спином s 2 . В этих ядрах существуют и состояния, которые можно интерпретировать как два таких бозона. А поскольку пространственное состояние этой системы симметрично (бозоны находятся в одинаковых пространственных состояниях), то спиновая функция бозонов также должна быть симметрична. Следовательно, суммарный спин такой системы бозонов может быть равен только 0, 2 и 4, что и наблюдается на опыте.

Модуль 4. Системы тождественных частиц

Лекция 4.5. Метод вторичного квантования: основная идея метода

При вычислении средних значений или вероятностей переходов квантовых систем,

состоящих из большого количества частиц, приходится вычислять квантовомеханические средние или матричные элементы с многочастичными волновыми функциями. Т. е. вычислять интегралы вида

				dx1dx2 ...	*	ˆ	(1)
				dx1dx2 ...	i (x1	, x2 ,...)V (x1, x2 ,...) f (x1, x2 ,...) ,	(1)
где	ˆ		— оператор какой-либо физической величины, относящийся к рассматриваемой
где	V (x1, x2 ,...)
многочастичной системе и действующий						на функции координат всех	частиц системы,
i, f	(x1, x2 ,...)	— волновые функции стационарных состояний системы, зависящие от координат

всех частиц и обладающие определенными свойствами симметрии относительно перестановок координат, если частицы тождественные (симметричные для бозонов и антисимметричные для фермионов). Удобным методом вычисления интегралов типа (1) для систем тождественных частиц является метод вторичного квантования. Название метода связано с тем, что в рамках метода рассматриваются волновые функции («квантовомеханические величины») в

представлении чисел заполнения, которые возникают при квантовании задачи. До сих пор мы рассматривали волновые функции в представлении «классических величин» — координат,

импульсов и др. Отсюда — термин «вторичное квантование» в названии метода. Основная идея метода заключается в следующем.

Рассмотрим квантовую систему, состоящую из большого числа тождественных невзаимодействующих частиц, движущихся в некотором внешнем поле U (x) .Гамильтониан

такой системы имеет вид

ˆ		2				d 2		ˆ
H (x1	, x2	,...)					U (xa ) h(xa ) ,		(2)
			2m			2
				a	dxa		a	a
где индекс a нумерует частицы;		гамильтониан				ˆ		принято называть	одночастичным.
						h(xa )

Стационарное уравнение Шредингера с гамильтонианом (2) допускает разделение переменных

и легко решается, если известны собственные значения Ei и собственные функции fi

одночастичного гамильтониана ˆ . Собственными функциями гамильтониана (2) являются h(xa )

произведения собственных функций одночастичного гамильтониана ˆ

fk (x) h(xa )

k	,k	2 ,	... ( x1, x2 ,...)	fk	( x1 ) fk	( x2 )... ,	(3)
1		2 ,		1		2

а также функции, отличающиеся от (3) перестановками аргументов и их произвольные линейные комбинации, а собственными значениями — суммы соответствующих собственных значений

		k k		...	Ek	Ek	... .	(4)
		1	2		1		2
Здесь индексы	ki	представляют собой набор квантовых чисел состояний одной частицы.						В

системах тождественных бозонов допустимыми являются только симметричные линейные комбинации функций вида (3), в системах фермионов — антисимметричные. Для бозонов

квантовые числа	ki в выражениях (3),	(4) могут повторяться, для фермионов (согласно
принципу Паули)	все квантовые числа ki	в выражениях (3), (4) различны. Об этой ситуации
говорят, что все фермионы находятся в различных одночастичных состояниях.

Очевидно, нужным образом симметризованная (для бозонов или фермионов) линейная комбинация функций вида (3) определяет такое состояние системы тождественных частиц, в

котором одна частица (неизвестно какая благодаря тождественности) находится в состоянии с

квантовыми числами k1	, одна (тоже неизвестно какая) — в состоянии с квантовыми числами k2
и т. д. Назовем число	частиц, которые находятся в одночастичном состоянии ki , числом
заполнения этого одночастичного состояния и обозначим		nk . Из-за антисимметричности
		i

волновых функций в системах тождественных фермионов введенные числа заполнения могут принимать только два значения 0 и 1, в системах тождественных бозонов — любые целые неотрицательные значения (не превосходящие, конечно, числа частиц в системе). Поскольку

набор всех чисел заполнения однозначно определяет собственную функцию	k	,k		... (x1, x2 ,...) , в
	1		2,

качестве индексов у собственных функций гамильтониана (2) можно указывать не квантовые

числа состояний ki , в которых находятся частицы,						а числа заполнения всех одночастичных
состояний
k ,k	,... (x1, x2 ,...)					n	,n ,... (x1, x2 ,...) .		(5)
1 2						k	k	2
						1		2
При этом сумма всех чисел заполнения		nk	nk		... равна полному числу частиц в системе. По
		1		2

своему построению волновые функции (5) описывают такие состояния системы тождественных частиц, в которых числа заполнения одночастичных состояний имеют определенные значения

(здесь и далее состояния с определенными значениями чисел заполнения я буду обозначать заглавной греческой буквой ). При этом, если взять суперпозицию состояний с разными

числами заполнения, то согласно постулатам квантовой механики такая функция будет описывать состояние, в котором с определенными вероятностями могут быть обнаружены числа заполнения, отвечающие состояниям-слагаемым. Перебирая все возможные значения чисел заполнения в (5) (при фиксированной их сумме, которая равна числу частиц в системе), мы перечислим все собственные функции оператора Гамильтона для этой системы частиц, то есть построим полную систему функций в пространстве состояний данной системы тождественных частиц.

Рассмотрим теперь волновую функцию

(x1, x2 ,...)

произвольного состояния (не

обязательно стационарного) рассматриваемой системы тождественных частиц. Так как функции

(5) для всех возможных значений чисел заполнения n1, n2 ,..., ni ,...				образуют полную систему, то
функция	(x1, x2 ,...) может быть разложена в ряд по этой системе
	( x1, x2 ,...) C(n1, n2 ,...) n		,n ,... (x1	, x2 ,...)	(6)
		1	2
	n	,n ,...
	1	2
где C(n1	, n2 ,...) — коэффициенты разложения, суммирование проводится по всем возможным

значениям чисел заполнения всех одночастичных состояний. Поскольку собственные функции

n	,n ,... (x1, x2	,...)	описывают состояния с определенными значениями		чисел заполнения, то
1	2
согласно постулатам квантовой механики квадрат модуля коэффициента					C(n1, n2	,...) определяет
вероятность		того,		что в состоянии (x1, x2 ,...) числа заполнения состояний		1, 2, ... равны
соответственно			n1	, n2 ,... Поэтому согласно логике определения волновой функции в различных

представлениях функция чисел заполнения

C(n1, n2 ,...)

представляет собой волновую функцию

квантовой системы в представлении чисел заполнения или вторичноквантованную волновую функцию (ср. с определением волновой функции в импульсном представлении). Аргументами функции являются целые неотрицательные целые числа: первым аргументом — число

заполнения одночастичного состояния 1, которое может принимать значения

n1 0,1, 2,...,

вторым — число заполнения одночастичного состояния 2, которое может принимать значения

n2 0,1, 2,... и т. д. Другими словами, аргументами вторичноквантованных волновых функций
являются дискретные переменные	n	, n	,... ). Если функция	(x , x ,...)		совпадает с одной из
	1	2		1	2

собственных функций гамильтониана, то есть описывает состояние с определенными значениями чисел заполнения, то в сумме (6) представлено только одно слагаемое с единичным коэффициентом, и, следовательно, в пространстве чисел заполнения такому состоянию отвечает

функция C(n1, n2	,...) , равная единице только для одного набора аргументов n1, n2					,... , и равная
нулю для всех остальных значений аргументов.
Из условия нормировки функции			(x1, x2 ,...) (6)	и ортонормированности функций с
определенными	значениями	чисел	заполнения	следует	условие	нормировки

вторичноквантованных волновых функций

			1	2		2	1
			C(n , n		,...)		1
n	,n	,...
1	2

(7)

которое отражает тот факт, что сумма вероятностей различных значений чисел заполнения равна единице. В (7) суммирование проводится по всем возможным значениям чисел заполнения всех одночастичных состояний. Отсюда следует, что скалярное произведение вторичноквантованных волновых функций нужно определить так

C, C				*	1	2	1 2
C, C				C	(n	, n	,...)C(n , n	,...)
	n	,n	,...
	1	2

(8)

Очевидно, скалярное произведение двух волновых функций тождественных частиц можно вычислять, используя вторичноквантованные волновые функции этих состояний

,				*	(n	, n		,...)					(x		, x	,...),					C(n , n			,...)
				*
				C						n	,n	,...
					1		2			n	,n	,...		1	2							1 2
										1	2							n	,n ,...
	n	,n	,...															n	,n ,...
	1	2																1		2
									*		1		2			1		2		,...)
									C	(n		, n		,...)C(n			, n			,...)			C,C		,

любых состояний системы как координатные, так и

			(x	, x		,...)
n	,n	,...	(x	, x	2	,...)
n	,n	,...	1		2
1	2
							(10)
							(10)

n	,n	,...
1	2

где	C	и	C — вторичноквантованные волновые функции состояний		и	. (В (10)
использована ортонормированность функций n				,n ,... (x1, x2 ,...) ).
			1	2
		Поскольку вторичноквантованная волновая функция определяет вероятности различных

значений чисел заполнения,	с ее помощью можно найти средние значения любых функций
чисел заполнения, например,	среднее число заполнения некоторого одночастичного состояния i

в состоянии системы частиц, которое описывается вторичноквантованной волновой функцией

C(n	, n	,...)
1	2

	ni C(n1, n2 ,...) 2 .
ni	ni C(n1, n2 ,...) 2 .	(9)
	n1 ,n2 ,...

Если найти выражения для операторов физических величин в представлении чисел заполнения,

то аналогичным образом можно вычислять и любые средние. При таких вычислениях нигде не нужно следить за симметрией волновых функций — эта симметрия уже учитывается выбором

правильного базиса — функциями с определенными значениями чисел заполнения. По сравнению с вычислением соответствующих интегралов в координатном представлении такой метод существенно упрощает вычисления и, кроме того, позволяет вычислять скалярные произведения функций с разным числом частиц (что невозможно сделать в координатном представлении).

В рамках метода вторичного квантования дается рецепт построения операторов любых физических величин в представлении чисел заполнения, и формулируются правила вычисления средних в этом представлении. Кроме того, язык чисел заполнения является более адекватным описанию тождественных частиц, поскольку в этом методе (в отличие от координатного представления) не возникает понятий — первая частица, вторая частица и т. д., поскольку в этом языке не возникает понятий «первая частица», «вторая частица» и т. д.

Модуль 4. Системы тождественных частиц

Лекция 4.6. Метод вторичного квантования. Бозонный случай

Для построения операторов			физических	величин в представлении чисел заполнения
вводятся специальные операторы		ˆ	ˆ

		ai	и ai , действующие на вторичноквантованные волновые
функции. Для бозонов оператор	ˆ	определяется следующим образом: действуя на функцию с
	ai
определенным значением числа	заполнения ni			одночастичного состояния i , оператор aˆi

уменьшает число заполнения этого состояния на единицу ni ni 1 и умножает эту функцию

на	ni	. Другими словами, при действии оператора	ˆ	на любую базисную функцию метода
			ai

вторичного квантования получается другая базисная функция, отвечающая на единицу меньшему числу заполнения

		ˆ	n	,n	,...,n	,...	ni	n	,n	,...,n 1,... .	(1)
		ai
			1	2	i			1	2	i
Т. е. действии оператора	ˆ	на волновую функцию состояния с определенными значениями
	ai

чисел заполнения получается также состояние с определенными значениями чисел заполнения,


в котором, однако, число заполнения	i	-го одночастичного состояния меньше на единицу; числа

заполнения других одночастичных состояний не меняются. Поэтому оператор				ˆ	называется
				ai
оператором уничтожения частицы в		i	-ом одночастичном состоянии и связывает волновые

функции состояний с разным числом частиц, которые, отметим, в координатном представлении

имеют разное число аргументов. Поэтому введение операторов	ˆ	и	ˆ	(см. ниже) требует

	ai		ai

введения пространства состояний системы тождественных частиц, в котором число частиц не определено. Элементами этого пространства являются функции с разным числом переменных (в

координатном представлении), скалярное произведение которых по определению равно нулю.

Введенные операторы	ˆ	(10) не являются эрмитовыми. Действительно,			умножая скалярно
	ai
равенство (1) на функцию n1 ,n2 ,...,ni 1,... , получим
		n1 ,n2 ,...,ni 1,... , aˆi n1 ,n2 ,...,ni ,...		.
			ni		(2)

Используя определение сопряженного оператора, в скалярном произведении (2) можно перенести оператор на вторую функцию

aˆi n1 ,n2 ,...,ni 1,... , n1 ,n2 ,...,ni ,...		.
	ni		(3)

Отсюда заключаем

aˆ

n1 ,n2 ,...,ni ,...

n 1

n1 ,n2 ,...,ni 1,...

(4)

т. е. оператор, сопряженный оператору

aˆi

повышает

число

заполнения

одночастичного

состояния на единицу (и возникает

множитель

ni 1 ).

Поэтому оператор

называется

оператором рождения частицы в одночастичном

состоянии

. Из определений

бозонных

операторов рождения и уничтожения и того факта,

что система функций n

,n ,...

при различных

значениях чисел заполнения образует базис в пространстве функций системы тождественных

частиц можно получить следующие коммутационные соотношения для операторов aˆ

и aˆ

aˆ

, aˆ

(5)

, a j

, aˆ

aˆ

то есть операторы

aˆi

(а также

)

коммутируют для любых значений индексов;

и aj

a j

коммутируют,

если

и не

коммутируют, если i j , причем

их

операторы aˆi и a j

коммутатор равен единице.

Действительно,

действие,

например, пары операторов

ˆ ˆ

при

ai a j

разных значениях индексов i

на любую функцию можно записать так

aˆ aˆ

C(n , n

,...)aˆ aˆ

C(n , n

,...)

,...

n ,n

,...

а в обратном порядке — так

aˆ

C(n , n

,...)aˆ

aˆ

C(n , n

,...)

,...

n ,n

,...

Т. е. получаются одинаковые функции. Если же i j

вместо (6), (7) получим

aˆiaˆi C(n1, n2 ,...)aˆiaˆi n1 ,n2 ,...

C(n1, n2 ,...)(ni

1) n1 ,n2

n1 ,n2 ,...

,...

C(n1, n2 ,...)ni

,... .

ai ai

C(n1, n2 ,...)ai

ai n

,...

Вычитая функцию (9) из функции (8), получим

aˆ aˆ

aˆ

C(n ,n

,...)

aˆ aˆ

aˆ

C(n

,...)

n ,n

,...

n ,n

,...

i i

,...

,... .

,... ,

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

откуда и следует последнее из коммутационных соотношений (5). Аналогично доказываются и другие коммутационные соотношения.

С помощью операторов рождения и уничтожения можно определить операторы чисел заполнения одночастичных состояний и числа частиц в системе. Легко проверить, что волновые

функции любых состояний с определенным числом заполнения одночастичного состояния

(и

только они) являются собственными функциями оператора								ˆ ˆ		,	отвечающими собственному
только они) являются собственными функциями оператора								ai	ai	,	отвечающими собственному
значению ni :
		ˆ ˆ	n	,n	,...,n ,... ni	n	,n	,...,n	,... .		(11)
		ai ai	n	,n	,...,n ,... ni	n	,n	,...,n	,... .		(11)
			1	2	i	1	2	i
ˆ	ˆ ˆ	является оператором числа заполнения одночастичного состояния i .
Поэтому оператор ni	ai ai
Аналогично доказывается, что оператор
			ˆ		ˆ ˆ	,					(12)
			N ai ai			,					(12)
					i

где сумма распространяется на все одночастичные состояния, является оператором числа частиц в системе.

Операторы физических величин в представлении чисел заполнения могут быть выражены через операторы рождения и уничтожения частиц. Эти выражения таковы. Если оператор некоторой физической величины представляет собой сумму одинаковых операторов,

каждый из которых действует на координату только одной частицы

ˆ	, x	,...)		ˆ	)
V (x	, x	,...)		V (x	)
1	2			a
			a

(13)

(индекс a	нумерует частицы системы),	то в представлении чисел заполнения этот оператор
имеет вид
	ˆ		ˆ ˆ	(14)
	V (n1	, n2 ,...) Vijai a j ,		(14)
			ij
		ˆ	с одночастичными волновыми функциями i (x) ,
где Vij — матричный элемент оператора V (xa )			с одночастичными волновыми функциями i (x) ,

суммирование проводится по всем одночастичным состояниям. Операторами типа (13)

являются операторы любых аддитивных величин — импульса системы частиц, момента импульса системы, кинетической энергии системы и т. д.

Используем формулу (14) для операторов в представлении чисел заполнения для вычисления средних. Пусть, например, система невзаимодействующих частиц находится в

состоянии	с волновой функцией (x1, x2 ,...) .	Найдем среднюю энергию системы в	этом
состоянии	ˆ
состоянии	E , H , проводя вычисления в представлении чисел заполнения. Для этого
найдем гамильтониан в представлении чисел заполнения. Из формул (13)–(14) получаем
	ˆ	ˆ	(15)
	H (x1, x2 ,...)	h(xa ) ,	(15)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1511 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Квантовая механика

#
14.12.2025824.94 Кб2A_L_Barabanov_KVANTOVAYa_MEKhANIKA_Chast_1.pdf
#
14.12.2025767.66 Кб2A_L_Barabanov_KVANTOVAYa_MEKhANIKA_Chast_2.pdf
#
04.04.20266.84 Mб1Kvantovaya_mekhanika_1.pdf
#
04.04.20263.94 Mб0Testiki муравьева 6 се.pdf
#
05.02.202696.62 Mб0БДЗ 5 сем Барабанов.pdf
#
05.02.2026323.82 Кб0БДЗ Задания 5 сем Барабанов.pdf
#
24.10.202542.22 Mб0Билеты_1.pdf
#
24.10.202510.89 Mб0Билеты_2.pdf