Kvantovaya_mekhanika_1

Так как обе функции 1(x) и 2 (x) имеют определенную четность, то функции 1 (x) 2 и

Интеграл (7), вообще говоря, не равен нулю. Поэтому вероятность (6) больше 1/4.

Если частицы были бы нетождественными, волновая функция системы имела бы вид f (x1, x2 ) 1(x1) 2 (x2 ) , и вероятность того, что обе частицы в рассматриваемом состоянии име-

ют координаты x 0 , равнялась бы 1/4. Последний результат является естественным, посколь-

ку: (а) вероятность того, что каждая частица в рассматриваемом состоянии имеет положитель-

ную координату, равна 1/2, (б) частицы не взаимодействуют, и, следовательно, любые события,

происходящего с двумя независимыми частицами, равна произведению вероятностей событий,

происходящих с каждой частицей в отдельности (теорема умножения вероятностей независи-

мых событий). Поскольку для тождественных частиц эта вероятность отличается от 1/4, то для таких частиц утверждение (б) (и, следовательно (в)) является неверным. То есть даже невзаимо-

действующие тождественные частицы не являются независимыми. Это значит, что существует взаимное влияние этих частиц друг на друга, приводящее к корреляциям в их движении. При-

чем, как это следует из полученных результатов, для рассматриваемой системы тождественных бозонов эти корреляции носят характер притяжения (поскольку вероятность обеим частицам

2

иметь координаты, большие нуля, больше ¼). Очевидно, что влияние частиц друг на друга зави-

сит от состояний частиц. В частности, если бы интеграл (7) от произведения волновых функций был равен нулю, корреляции в их движении отсутствовали. Если же волновая функция системы была бы антисимметричной, то такое взаимодействие частиц носило бы характер отталкивания,

поскольку вероятность обнаружить обе частицы в полупространстве x 0 была бы меньше ¼.

Действительно, для антисимметричной по отношению к перестановкам координат частиц функ-

ции

Такое взаимодействие тождественных частиц называется обменным, поскольку его при-

ночастичном состоянии 2 и, следовательно, знает об обоих состояниях. Подчеркнем, что об-

менное взаимодействие связано с симметрией волновой функции; в обычном («потенциаль-

ном») смысле наши частицы не взаимодействуют.

Таким образом, условия симметрии волновой функции привели к удивительному эффек-

ту — сил, которые бы связывали наши частицы, — нет, а взаимодействие есть! И это связано с тем, что благодаря симметризации волновая функция не является произведением функций, за-

вательно вероятность любого события, происходящего и с первой, и со второй частицей не есть произведение вероятности события, происходящего с первой частицей, на вероятность событи-

ия, происходящего со второй частицей. А потому согласно теореме произведения вероятностей независимых событий события, происходящие с частицами не независимы.

Проявление обменного взаимодействия можно увидеть и вот еще на каком примере. Если две частицы описываются симметричной функцией, то вероятность обнаружить их в одной точ-

ке удваивается по сравнению со случаем нетождественных частиц (притяжение между частица-

ми), если антисимметричной, то вероятность обнаружить частицы в одной точке пространства

3

равняется нулю, независимо от того какими являются волновые функции одночастичных состо-

яний. Доказательство этих утверждений элементарно. Значение симметричной волновой функции (1) при x1 x2

Для нетождественных невзаимодействующих частиц волновая функция была бы равна

Утверждения доказаны.

4

Модуль 4. Системы тождественных частиц Лекция 4.3. Симметрии пространственных и спиновых волновых функций систем

Во всех предыдущих рассуждениях мы нигде не учитывали спиновые координаты волновой функции, хотя и говорили о спине частиц. Тем не менее, наши рассуждения не

(см., например, формулы (16)–(21) Лекции 4.1) содержат как пространственные, так и спиновые переменные, которые мы переставляли одновременно. Рассмотрим теперь вопросы о возможности перестановок только пространственных или только спиновых переменных, и

Последние события — физически различны, и могут реализовываться с разными вероятностями. Это значит, что перестановочная

симметрия касается перестановки сразу всех координат, а не только пространственных. И быть симметричной (для бозонов) или антисимметричной (для фермионов) должна быть волновая функция системы тождественных частиц, а не ее пространственная или спиновые части.

Никаких условий симметрии или антисимметрии требования тождественности частиц только на пространственную или только на спиновую функцию не накладывают.

Тем не менее, в некоторых ситуациях пространственная и спиновые функции по отдельности могут обладать определенной симметрией по отношению к перестановкам

1

пространственных и спиновых координат частиц соответственно. Давайте рассмотрим подробно такие ситуации.

Для этого рассмотрим спиновые волновые функции двух частиц со спином ½ каждая.

Поскольку спиновая функция одной частицы представляет двухкомпонентный столбец,

пространство таких функций четырехмерно, и в качестве базиса в нем можно выбрать следующие функции

где индексы 1 и 2 около столбцов показывают, к какой частице относится соответствующая функция. Построим из этих функций базисные функции определенной симметрии

(симметричные и антисимметричные). Четыре функции

являются линейно независимыми и потому образуют базис в пространстве состояний системы двух частиц со спином ½ каждая. Кроме того, эти функции, очевидно, обладают определенной

функции этой частицы. Из формулы (3) находим операторы проекций суммарного спина на

координатные оси

Введем также операторы, повышающий и понижающий проекцию суммарного спина на ось z .

Поскольку между операторами (4) имеют место те же коммутационные соотношения, как и между операторами орбитального и спинового моментов, операторы

2

3

суммарному спину, обладают определенной симметрией по отношению к перестановкам спиновых координат. Причем это связано не с тождественностью частиц (здесь тождественность вообще не требовалась, нужно только, чтобы у них был одинаковый спин —

½), а с построением.

4

квадратом момента было доказано, что при действии на собственную функцию операторов

точностью до множителя) собственная функция этой же пары операторов, отвечающая тому же собственному значению квадрата момента и на единицу меньшему собственному значению оператора проекции. И поскольку коммутационные соотношения для спиновых операторов — такие же, как и для любого момента, то понижающим проекцию суммарного спина является оператор

симметричен относительно перестановок координат частиц. А поскольку и функция (2), и

оператор (3) — симметричны, то и результат будет симметричен. Таким образом, все состояния с максимальным суммарным спином S 2s и всеми возможными значениями проекций — симметричны.

В частности, симметричной является функция состояния с S 2s и Sz 2s 1 (4):

должна строиться с помощью тех же спиновых функций отдельных частиц. А поскольку она ортогональна функции (5), то между теми же слагаемыми должен быть знак «–»: