Kvantovaya_mekhanika_1

Модуль 1. Квазиклассическое приближение

Лекция 1.1. Квазиклассическое приближение: идея, функции, параметр, трудности

Число случаев, когда удается точно решить стационарное уравнение Шредингера, то есть найти собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона, невелико. Поэтому при решении этого уравнения приходится прибегать к приближенным методам. Одним из таких методов является квазиклассическое приближение. Основная идея этого метода заключается в следующем. Пусть есть одна частица, движущаяся в одномерном потенциале U (x) . Запишем одномерное уравнение для такой задачи в виде

является «плавной» функцией координаты, решения уравнения (2) должны быть «похожи» на функции (3), (4) и в предельном случае k(x) const переходить в функции (3), (4). В этом и заключается идея метода — если сконструировать такие функции f (x) , которые содержат в себе k(x) как функцию координаты, но так, что в пределе k(x) const эти функции переходят в функции (3) или (4) (в зависимости от знака k(x) ), то, можно ожидать, что эти функции будут приближенными решениями уравнения (1). Причем параметр приближения должен быть связан с плавностью функции k(x) . Таких функций можно сконструировать множество. Это, во-

первых, функции (при k 2 (x) 0 )

1

Оказывается, что функции (6) оказываются более удобными, чем функции (5). Поэтому в

дальнейшем функции (5) не рассматриваются. Давайте проверим, в каких условиях функции (6)

будут приближенными решениями уравнения (1), и найдем параметр приближения.

Дифференцируя функции (6) два раза, получим (далее рассматривается экспонента с

«плюсом» — первое слагаемое выражения (6); для второго слагаемого все вычисления

аналогичны.

(как и должно быть, поскольку функции (6) в пределе k(x) const переходят в точные решения уравнения (1)). А вот если k (x) 0 , то уравнение (1) не удовлетворяется, однако, если второе слагаемое второй формулы (6) мало по сравнению с первым, уравнение удовлетворяется приближенно. Параметром приближения является отношение второго слагаемого в (7) к

первому. Поэтому безразмерная величина

при k 2 (x) 0 , и функции

2

доступной для движения частицы и запрещенной для движения области. Поэтому про функции

(9), (10) часто говорят, что они являются приближенными квазиклассическими решениями уравнения Шредингера в классически доступной или в классически запрещенной области.

Обсудим свойства функций (9), (10). Функции (9), являющиеся приближенными решениями в классически разрешенной области представляют собой (так же как и функции (3))

осциллирующие функции. Но в отличие от функций (3) эти функции осциллируют с

где — характерный масштаб изменения длины волны на расстоянии порядка длины волны.

Или, другими словами, длина волны функций (9) должна слабо меняться на расстоянии порядка самой длины волны.

Параметр квазиклассичности можно оценить в физических терминах. С одной стороны

k . k 2 S

И, следовательно, квазиклассика работает, если классическое действие много больше постоянной Планка.

3

Что касается функций (10), то это, так же как и точные решения уравнения (1) с k(x) const , растущие или затухающие экспоненты, однако в отличие от (4) с переменной

длиной затухания, которая на длине порядка самой длины затухания должна изменяться слабо.

Таким образом, квазиклассическое приближение — приближение плавных

потенциалов — дает решения, которые отвечают плавно меняющимся длинам волн или длинам затухания функций.

потенциалов и работает тем лучше, чем более плавной функцией является потенциальная энергия частицы. Но с другой стороны, точным математическим выражением плавности

использования квазиклассического приближения в потенциале, показанном на рисунке, —

зависит от энергии частицы. Если энергия, при которой мы решаем уравнение (1), такова, что ей

4

Но при этой энергии можно ожидать, что оно будет работать в точке x1 , поскольку большая

смысле.

Проведенное рассмотрение показывает, что вопрос о точности квазиклассического приближения требует аккуратного рассмотрения в каждой точке и при каждой энергии. При этом может оказаться, что при фиксированной энергии в каких-то областях квазиклассическое приближение является хорошим приближением для решений. А в каких-то областях — нет.

Кроме того, заведомо ясно, что в точках, в которых

(и которые на языке классической механики называются точками остановки), квазиклассическое приближение заведомо не работает. А значит, оно не работает и в некоторых окрестностях этих точек. Конечно, то, насколько большими являются эти окрестности, зависит от потенциальной энергии. А если мы находимся далеко от классических точек остановки, то можно ожидать, что квазиклассическое приближение будет работать.

5

Модуль 1. Квазиклассическое приближение

Лекция 1.2. Уточнение метода

где C(x) — неизвестная функция координаты. Идея такого поиска заключается в следующем.

Главную «неплавность» решений мы уже учли (это экспонента), а теперь надо заменять все константы на плавные функции координат так, чтобы учесть еще один порядок по параметру квазиклассичности.

Дифференцируя функцию (5) два раза, получим

Подставляя функцию (6) в уравнение (1), заключаем, что уравнение (1) будет удовлетворяться,

если выполнено условие

1

Однако подобрать такую функцию C(x) так, чтобы точно удовлетворить уравнению (7), как правило, невозможно, поскольку это отвечало бы точному решению уравнения (1), но добиться приближенного удовлетворения уравнения можно. Действительно, в уравнении (7) есть слагаемые разного порядка по параметру казиклассичности. Последнее слагаемое содержит

Поэтому если из (7) выбросить первое слагаемое, то это будет соответствовать пренебрежению слагаемыми порядка

по сравнению с единицей. Т.е. в выражении

учтен еще один порядок по параметру квазиклассичности. Дифференциальное уравнение (8)

легко решается. Разделяя переменные и интегрируя, получаем

2

являются приближенными квазиклассическими решениями уравнения Шредингера (1) в

3