го приближения не связаны

Решение. Условием применимости борновского приближения является малость потока рассе-

янных частиц по сравнению с потоком частиц, налетающих на рассеивающий центр. Используя граничное условие задачи рассеяния

заключаем, что поток рассеянных частиц (второе слагаемое в (*)) мал по сравнению с потоком падающих частиц (первое слагаемое в (*)), если на границе той области, где решение (*) начи-

нает работать ( r a , a — радиус действия потенциала), амплитуда второго потока мала по сравнению с амплитудой потока падающих частиц

238

которое для данного потенциала не выполнено. Оценим возможность выполнимости этого

интеграл набирается на одной осцилляции экспоненты. Поэтому интеграл (*) можно оценить так

239

ния не зависит от угла рассеяния (ответ В). Поэтому если для медленных частиц выполнено условие применимости борновского приближения, рассеяние является изотропным.

условие применимости борновского приближения всегда выполнено (см. задачу 8). Пусть у нас энергии именно такие. Тогда амплитуда рассеяния определяется соотношением

qa 1, и в области действия потенциала экспонента сильно осциллирует, что приводит к по-

давлению борновского интеграла (*). Это значит, что амплитуда (и сечение) рассеяния на такие углы существенно меньше амплитуды рассеяния на малые углы. Следовательно, рассеяние

240

быстрых частиц в условиях применимости борновского приближения происходит на малые уг-

241

Модуль 5. Задача рассеяния

Семинар 5.2. Фазовая теория рассеяния

Сегодня мы с вами будем решать задачи на фазовую теорию рассеяния. И задачи эти бу-

дут обычные для нашего курса — тестовые1, когда в задаче даются несколько вариантов ответа и требуется выбрать правильный. Но гадать, конечно, мы не будем, а будем выстраивать пра-

вильную логику, основанную на основных принципах квантовой механики. И вначале по тради-

ции я напомню основные соотношения фазовой теории рассеяния.

Основная идея фазовой теории рассеяния заключается в разложении волновой функции задачи рассеяния по состояниям с определенным моментом (по сферическим функциям). В ре-

зультате и для амплитуды рассеяния получается разложение на так называемые парциальные амплитуды (амплитуды рассеяния частиц с определенным моментом), знание которых позволя-

ет свести вычисление амплитуды рассеяния к суммированию бесконечного ряда.

Итак, в рамках фазовой теории рассеяния амплитуда рассеяния и дифференциальное се-

чение рассеяния выражаются в виде бесконечных сумм

1 В качестве домашнего задания вам будут предложены задачи такого же типа. Проверьте, правильно ли вы поняли основные принципы квантовой механики, свойства операторов координаты и импульса. Если нет — прослушайте еще раз соответствующие лекции, а потом снова прорешайте эти задач

242

использовать, если потенциальная энергия:

А. мала Б. велика

В. резкая функция координаты Г. независимо от потенциальной энергии

Решение. Разложение волновой функции задачи рассеяния по состояниям с определенными моментами (фазовая теория рассеяния) может быть проведено независимо ни от величины по-

тенциала, ни от сечения, ни от потока падающих частиц. Поэтому правильный ответ — ответ Г.

2. Как фаза рассеяния зависит от угла рассеяния?

А. Растет Б. Убывает В. Не зависит Г. Это зависит от потенциала

Решение. По определению фаза рассеяния — это число, которое определяет асимптотику реше-

ния радиального уравнения Шредингера с определенным моментом для частиц в рассеивающем потенциале. И поэтому от угла рассеяния не зависит.

Решение. Фазы рассеяния определяют асимптотику решения радиального уравнения Шредин-

гера с определенным моментом

На больших расстояниях от рассеивающего центра, где взаимодействия частиц с центром нет,

радиальные функции Rl (r) l (r) / r являются решениями свободного уравнения Шредингера

и, следовательно, могут быть записаны в виде

243

а в области r R волновая функция должна быть равна нулю, поскольку в этой области части-

цы обладали бы бесконечно большой потенциальной энергией. Поэтому решение уравнения (*)

244

рассеяния медленных частиц ( E 0 ).

Решение. Полное сечение рассеяния определяется как интеграл по полному телесному углу от дифференциального сечения рассеяния. Как показано в предыдущей задаче, дифференциальное сечение рассеяния медленных частиц на данном потенциале не зависит от угла рассеяния. По-

этому

d d 4 d 4 R2 . d d

245

ния зависит от угла рассеяния как A B cos (ответ Г).

246