Testiki муравьева 6 се

перестановок координат. Имеет ли суммарный спин такой системы определенное значение, и

Решение. Поскольку пространственная функция бозонов по условию симметрична, то спиновая функция является также симметричной. А для системы двух бозонов со спином s 1 симмет-

ричными являются пять состояний с суммарным спином S 2 и одно состояние с суммарным спином S 0 . Поэтому условие не дает информации о суммарном спине системы — он может

193

собственные функции одночастичного гамильтониана, i, k, n -одночастичные квантовые числа.

Чему равна средняя энергия системы в этом состоянии?

Решение. Очевидно, данное состояние определяет состояние, которое представляет линейную комбинацию двух состояний с определенными значениями чисел заполнения

Решение. Согласно принципу Паули в системах тождественных фермионов числа заполнения одночастичных состояний не могут принимать никакие другие значения, кроме нуля и единицы.

Поэтому ответ В — что число заполнения одночастичного состояния i равно 2 — заведомо яв-

ляется верным. Других верных ответов здесь нет, поскольку данное состояние является состоя-

нием с определенным значением числа заполнения ni 1. Поэтому w(ni 1) 1.

197

3. Система тождественных фермионов имеет волновую функцию:

Решение. Волновая функция данного состояния двух тождественных фермионов представляет собой суперпозицию двух функций с определенными значениями чисел заполнения, взятых с

равны нулю. Поэтому числа заполнения наблюдаются в данном состоянии со следующими ве-

роятностями:

Вероятности всех остальных значений чисел заполнения этих и других одночастичных состоя-

ний равны нулю. И, следовательно, среднее значения числа заполнения состояния j равно

4. Каковы перестановочные соотношения операторов рождения и уничтожения для бозонов?

Решение. Для бозонных операторов рождения и уничтожения правильным является перестано-

вочное соотношение Б. Остальные неправильны (см. лекцию 4.6).

Решение. Оператором числа заполнения одночастичного состояния i является такой оператор,

для которого функции с определенными значениями чисел заполнения ni (и только они) явля-

ются собственными, отвечающими собственному значению ni . Подействуем оператором aˆi aˆi

на функцию с определенными значениями чисел заполнения n1 ,n2 ,...,ni ,... (x1, x2 ,...) . Получим

198

Если же подействовать этим оператором на функцию, которая представляет собой суперпози-

цию состояний с разными ni , то каждое слагаемое этой суперпозиции получит разный множи-

тель, и, следовательно, любая функция с неопределенным числом заполнения ni не будет соб-

Решение. Данная в условии функция является суперпозицией двух состояний с определенными

нения всех остальных одночастичных состояний равны нулю. Поэтому в данном состоянии чис-

В. Да, для всех i собственные значения — 1

Г. Нет

Решение. Вакуумом называется состояние, в котором частиц нет вообще (для систем с пере-

менным числом частиц такие состояния не хуже и не лучше любых состояний, в которых части-

цы есть). Поэтому данная функция отвечает состоянию с двумя частицами — одна находится в одночастичном состоянии k , другая — в одночастичном состоянии m . Поэтому это состояние

199

является состоянием с определенными значениями чисел заполнения всех одночастичных со-

стояний с nk 1, nm 1 и нулями для чисел заполнения всех остальных одночастичных состоя-

8. Какой из нижеследующих формул определяется оператор Гамильтона системы тождествен-

ных невзаимодействующих частиц в представлении чисел заполнения?

Решение. Согласно формуле (17) лекции 4.6 гамильтониан системы тождественных невзаимо-

действующих частиц в представлении чисел заполнения определяется соотношением В.

Вынося сумму и числа за скалярное произведение и перенося оператор рождения на другую функцию (и превращая его в оператор уничтожения aˆ aˆ ), получим

200

Поскольку функции с определенными (и разными) значениями чисел заполнения ортогональны,

(Ответ В)

10. Система тождественных невзаимодействующих частиц находится в состоянии с определен-

ными значениями чисел заполнения nk . На систему действует зависящее от времени внешнее поле. В какие из нижеперечисленных состояний возможны переход системы (ответ дать в пер-

вом порядке теории нестационарных возмущений)?

А. Только в состояния с теми же самыми числами заполнения Б. Только в состояния с такими числами заполнения, одно из которых увеличилось на единицу,

а второе на единицу уменьшилось В. Только в состояния с такими числами заполнения, одно из которых увеличилось на два, а

второе на два уменьшилось Г. Только в состояния с такими числами заполнения, два из которых увеличились на единицу, а

два на единицу уменьшились

зависящего от времени, система совершает переходы в состояния с такими волновыми функци-

ями f , для которых отличны от нуля матричные элементы оператора возмущения

Поскольку возмущение — внешнее поле, оператор возмущения в координатном представлении есть сумма операторов, действующих на координаты одной частицы

kj

201

по состояниям с определенными значениями чисел заполнения содержатся слагаемые, отлича-

202

Решение. Непосредственной проверкой убеждаемся, что решением свободного уравнения Шре-

3. Потенциальная энергия частицы равна нулю. Какие из перечисленных функций будут реше-

Решение. Проверим, что функция В будет точным решением уравнения Шредингера. Проще всего это сделать, используя явное выражение для оператора Лапласа в сферических координа-

235

тах, причем нам понадобится только радиальная его часть, поскольку данная функция не зави-

сит от углов. Имеем

А. Описывает изотропный сходящийся поток частиц с определенной энергией, распространяю-

щихся из бесконечности в направлении начала координат Б. Описывает изотропный расходящийся поток частиц с определенной энергией, распространя-

ющихся из начала координат в бесконечность В. Описывает суперпозицию двух потоков частиц с определенной энергией, распространяю-

щихся из бесконечности в направлении начала координат и из начала координат в бесконеч-

ность Г. Эта функция не является решением свободного стационарного уравнения Шредингера

Решение. Вычислим вектор плотности потока частиц

определяемый данной функцией. Вычисляя градиент в сферических координатах

перпендикулярно к нему), заключаем, что вектор (*) направлен вдоль радиус-вектора, а его про-

екция на направление вектора r равна

Поскольку плотность потока (**) является положительной, убывает по закону 1/ r2 и не зависит от углов, то такой поток является расходящимся из центра и изотропным (ответ Б). Естествен-

236

но, для «экспериментальной» реализации такого потока в начале координат должен находиться точечный источник частиц, излучающий частицы по всем направлениям с одинаковой интен-

сивностью.

имеет компоненту, направленную в каждой точке перпендикулярно радиус-вектору в плоскости

поток направлен по радиус-вектору, убывает по закону 1/ r2 (как и любой, расходящийся из центра поток без дополнительных источников и стоков частиц), но его интенсивность зависит от угла . Это значит, что поток частиц, определяемый данной функцией, не является изотроп-

ным (ответ В).

6. Частицы рассеиваются некоторым потенциалом. «Убыль» частиц в налетающем потоке опре-

деляется

Решение. Как было показано в лекции 5.6, для полного сечения рассеяния выполнено следую-

щее условие

которое называется оптической теоремой для упругого рассеяния. Оптическая теорема является следствием сохранения числа частиц при рассеянии, поскольку полное сечение рассеяния про-

порционально числу рассеянных частиц, которое равно убыли частиц в падающем потоке, кото-

рое, следовательно, пропорционально мнимой части амплитуды рассеяния на нулевой угол (от-

вет А).

237