Testiki муравьева 6 се

несколько раз рекуррентное соотношение (2) лекции 2.5 первой части курса к произведению

где числовые коэффициенты могут быть найдены с использованием указанного рекуррентного соотношения. А далее из условия ортогональности осцилляторных функций и следует сделанное выше утверждение. Таким образом, под действием данного возмущения осциллятор из n -го стационарного состояния может совершить переходы в n 1-ое, n 3-ое и n 5 -ое состояния. Минимальной является разность энергий между n и n 1-ым состояниями, которая

которой осциллятор совершит переход под действием данного возмущения, равна осцилляторной частоте (ответ А).

6. На заряженный сферический гармонический осциллятор, находящийся в основном состоянии,

которого равна удвоенной частоте осциллятора. Может ли осциллятор совершать переходы?

Указание. Кратность вырождения второго возбужденного состояния осциллятора равна 6.

Решение. Для того чтобы происходил переход под действием периодического возмущения

ˆ ˆ

V (x,t) V (x) cos t , должны быть выполнены два условия: должен быть отличен от нуля матричный элемент оператора возмущения

149

В условиях данной задачи частота возмущения «настроена» на разность энергий между основным и вторым возбужденным уровнем энергии осциллятора. Поэтому переход будет происходить, если матричный элемент оператора возмущения

будет отличен от нуля хотя бы для одного состояния, отвечающего второму возбужденному уровню энергии. Из указания к условию заключаем, что второму возбужденному уровню отвечают 5 состояний с моментом 2 (и всеми возможными проекциями) и одно состояние с моментом 0 (и нулевой проекцией). Поэтому возможность перехода осциллятора определяется матричными элементами

(рассматриваемая как функция точки пространства) — нечетная. Это значит, что под действием данного в условии возмущения осциллятор не сможет совершить переход (ответ Б).

Для данного в условиях данной задачи возмущения матричный элемент между основным и k -

ым состояниями имеет вид

150

Очевидно, первый интеграл равен нулю для любых квантовых чисел. Действительно, чтобы был не равен нулю угловой интеграл, момент конечного состояния должен равняться нулю — l 0 .

утверждение следует из условия ортогональности сферических функций и независимости

(Ответ Б)

8. Осциллятор находится в основном состоянии. В некоторый момент времени осцилляторная частота мгновенно меняется до некоторого значения 1 . Вероятность перехода осциллятора в первое возбужденное состояние равна

определяется интегралом перекрытия волновой функции начального состояния k и волновой функции конечного fn . В данной задаче k 0 — основное состояние осцилляторного

151

разных гамильтонианов. И тем не менее в данной задаче этот интеграл равен нулю, поскольку

равен нулю, и переход в первое возбужденное состояние из основного при мгновенном изменении частоты осциллятора невозможен (ответ Б).

9. Сферический осциллятор находится на первом возбужденном уровне энергии. Внезапно на осциллятор накладывается возмущение, зависящее только от модуля радиус-вектора. Может ли осциллятор совершить переход в основное состояние? Указание. Кратность вырождения первого возбужденного уровня энергии трехмерного осциллятора равна 3.

А. Да Б. Нет В. Это зависит от величины возмущения

Г. Мало информации для ответа

Решение. Так же как и в предыдущей задаче переход невозможен, поскольку интеграл перекрытия начальной волновой функции — одной из собственных функций, отвечающих первому возбужденному уровню энергии сферического осциллятора и основного состояния в том центральном поле, которое получится при наложении возмущения, равен нулю.

Действительно, поскольку кратность вырождения первого возбужденного уровня равна 3, ему отвечает момент l 1 и три возможности для проекции. Конечная система — осциллятор +

возмущение, зависящее от модуля радиус-вектора — частица, движущаяся в центральном поле.

Поэтому основное состояние этой системы отвечает моменту l 0 . Следовательно, угловая часть интеграла перекрытия

10. Электрон в атоме водорода находится на первом возбужденном уровне энергии в состоянии с неопределенным моментом. Внезапно на атом накладывается возмущение, оператор которого

152

зависит только от модуля радиус-вектора. Может ли электрон совершить переход в основное состояние? Указание. Кратность вырождения первого возбужденного уровня энергии атома водорода равна 4.

Решение. Первому возбужденному уровню энергии электрона в атоме водорода отвечают

нулевой проекцией). А поскольку в начальном состоянии момент определенного значения не

Конечное состояние — основное состояние в некотором центральном поле (кулоновское поле +

возмущение, зависящее от модуля радиус-вектора. Поэтому это состояние — состояние с определенным моментом l 0 . И, следовательно, интеграл перекрытия волновой функции начального и конечного состояний содержит произведение волновых функций с l 1 и l 0

(интеграл от которого равен нулю, благодаря ортогональности сферических функции с разными

ортогональности нет, поэтому этот интеграл не равен нулю, и переход возможен. Ответ А.

153

1. Гамильтониан системы тождественных фермионов:

А. симметричен относительно перестановок координат частиц, так как это фермионы Б. антисимметричен относительно перестановок координат частиц, так это фермионы

В. симметричен относительно перестановок координат частиц, так как частицы тождественные Г. антисимметричен относительно перестановок координат, так как частицы тождественные

Решение. Поскольку частицы тождественные то оператор кинетической энергии всех частиц одинаковы, одинаковы также взаимодействие частиц с внешними полями и друг с другом. По-

этому оператор Гамильтона симметричен относительно перестановок координат. Ответ В.

2. Имеется система тождественных невзаимодействующих фермионов со спином s 99 / 2 . Ка-

кое максимальное количество частиц могут находиться в одинаковом пространственном состо-

янии?

А. 99 Б. 100 В. 101 Г. Любое

Решение. Согласно принципу Паули фермионы должны находиться в разных одночастичных состояниях. С другой стороны, по условию пространственное состояние всех фермионов одина-

ково. Значит, должны быть разными спиновые состояния каждого фермиона. О поскольку для

например, проекцией спина на ось z ), то в одном и том же пространственном состоянии может находиться не более 100 фермионов (ответ Б).

3. Десять тождественных невзаимодействующих фермионов со спином s 1/ 2 находятся в по-

тенциале одномерного гармонического осциллятора с частотой . Какова энергия основного состояния системы?

А. 24 Б. 25 В. 26 Г. 27

Решение. Согласно принципу Паули фермионы должны занимать разные одночастичные состо-

яния. Поэтому на каждом уровне энергии может находиться не более двух фермионов (в разных спиновых состояниях). Поскольку частицы не взаимодействуют, энергия системы есть сумма энергий фермионов, причем основное состояние — это состояние с минимальной энергией. По-

этому основному состоянию отвечает такое размещение фермионов по уровням энергии — в

основном состоянии одномерного осциллятора ( / 2 ) находятся два фермиона, на первом возбужденном уровне ( 3 / 2 ) — два (итого четыре фермиона), на втором возбужденном

( 5 / 2) — два (итого шесть фермионов), на третьем возбужденном ( 7 / 2 ) — два

188

Поэтому энергия основного состояния системы из десяти фермионов определяется соотношени-

ем

одномерного гармонического осциллятора. Какова кратность вырождения второго возбужден-

ного уровня энергии системы?

А. 1 Б. 2 В. 3 Г. 4

Решение. Разместим бозоны по уровням энергии одночастичного осциллятора, найдем второе возбужденное состояние, посчитаем количество симметричных функций, которые ему отвеча-

ют. Основному состоянию отвечает размещение обеих частиц в основном состоянии одноча-

мещение частиц — одна частица в основном состоянии, вторая — в первом возбужденном

два варианта размещения частиц во втором возбужденном состоянии: первый — обе частицы находятся в первом возбужденном состоянии одномерного осциллятора, второй — одна из ча-

стиц находится в основном состоянии, вторая — во втором возбужденном. В первом варианте существует только симметричная пространственная, во втором — одна симметричная, вторая антисимметричная. А поскольку у частиц нет спина, то волновая функция системы сводится только к пространственной функции — кратность вырождения второго возбужденного уровня энергии системы равна 2.

5. Два тождественных невзаимодействующих фермиона со спином s 1/ 2 находятся в потен-

циале одномерного гармонического осциллятора. Какова кратность вырождения второго воз-

бужденного уровня энергии системы?

А. 2 Б. 3 В. 4 Г. 5

Решение. Разместим фермионы по уровням энергии одночастичного осциллятора, найдем вто-

рое возбужденное состояние, подсчитаем количество антисимметричных функций, которые ему отвечают. Основному состоянию отвечает размещение обеих частиц в основном состоянии од-

189

ние имеет энергию, на бóльшую энергии основного состояния, и ему отвечает следующее размещение частиц — одна частица в основном состоянии, вторая — в первом возбужденном

два варианта размещения частиц во втором возбужденном состоянии: первый — обе частицы находятся в первом возбужденном состоянии одномерного осциллятора, второй — одна из ча-

стиц находится в основном состоянии, вторая — во втором возбужденном. В первом варианте размещения пространственная функция фермионов симметрична (и сделать ее антисимметрич-

ной нельзя, поскольку частицы имеют одинаковые пространственные функции), поэтому спино-

мещения пространственная функция может быть как симметричной, так и антисимметричной.

Если пространственная функция симметрична, спиновая функция должна быть антисимметрич-

новая должна быть симметрична. А таких состояний существует три — S 1 и три возможно-

сти для проекции. Поэтому в случае размещения одной частицы в основном состоянии одноча-

стичного осциллятора, второй — во втором возбужденном, существует четыре разных состоя-

ния системы. Следовательно, кратность вырождения второго возбужденного состояния рас-

сматриваемой системы — 5 (ответ Г).

6. Два тождественных невзаимодействующих бозона со спином s 1 находятся в потенциале одномерного гармонического осциллятора. Какова кратность вырождения второго возбужден-

ного уровня энергии системы?

А. 15 Б. 16 В. 17 Г. 18

Решение. Разместим бозоны по уровням энергии одночастичного осциллятора, найдем второе возбужденное состояние, посчитаем количество симметричных функций, которые ему отвеча-

ют. Основному состоянию отвечает размещение обеих частиц в основном состоянии одноча-

стичного осциллятора (энергия основного состояния — ). Первое возбужденное состояние имеет энергию на бóльшую энергии основного состояния, и ему отвечает следующее раз-

мещение частиц — одна частица в основном состоянии, вторая — в первом возбужденном

(энергия 2 ). Второе возбужденное имеет еще на бóльшую энергию. Поэтому существуют

два варианта размещения частиц во втором возбужденном состоянии: первый — обе частицы

190

находятся в первом возбужденном состоянии одномерного осциллятора, второй — одна из ча-

стиц находится в основном состоянии, вторая — во втором возбужденном. В первом варианте размещения пространственная функция бозонов симметрична (и сделать ее антисимметричной нельзя, поскольку частицы имеют одинаковые пространственные функции), поэтому и спиновая должна быть симметричной. Для частиц со спином s 1 существует пять симметричных спино-

вых состояний с суммарным спином S 2 (и всеми проекциями) и одно состояние с суммарным спином, равным нулю (итого — 6 состояний).

Для второго варианта размещения пространственная функция может быть симметричной или антисимметричной. Если пространственная функция симметрична, спиновая функция должна быть также симметричной — шесть состояний, которые я подсчитал в предыдущем аб-

заце. Если пространственная функция антисимметрична, то существует три антисимметричных спиновых состояния с S 1. Всего получается 15 состояний. Следовательно, кратность вырож-

дения второго возбужденного состояния рассматриваемой системы — 15 (ответ А).

7. Два тождественных невзаимодействующих фермиона со спином s 1/ 2 находятся в потен-

циале сферического гармонического осциллятора. Какова кратность вырождения первого воз-

бужденного уровня энергии системы? Указание. Кратности вырождения уровней энергии трех-

мерного осциллятора равны: 1 — для основного состояния, 3 — для первого возбужденного.

А. 9 Б. 12 В. 15 Г. 18

Решение. Первому возбужденному состоянию системы отвечает размещение одной частицы в основном состоянии одночастичного сферического осциллятора, второй — на первом возбуж-

денном уровне энергии (три разных состояния). Каждому такому размещению частиц отвечают четыре спиновых состояния — в случае симметричной пространственной функции — одна ан-

тисимметричная спиновая (с S 0 ), в случае антисимметричной пространственной функции — три спиновых функции (с S 1 и тремя возможными проекциями). Следовательно кратность вырождения первого возбужденного состояния системы равна 12 (ответ Б).

8. Имеется два фермиона со спином s 1/ 2 . Что можно сказать о спиновой волновой функции состояния с определенным суммарным спином S 1?

А. Эта функция антисимметрична относительно перестановок спиновых координат частиц, так как частицы — фермионы

191

Б. Эта не обладает определенной симметрией по отношению к перестановкам спиновых коор-

динат В. Эта функция антисимметрична относительно перестановок спиновых координат частиц по

построению независимо от того, являются частицы тождественными, или нет Г. Эта функция симметрична относительно перестановок спиновых координат частиц по по-

строению независимо от того, являются частицы тождественными, или нет

Решение. Спиновое состояние системы их двух частиц со спином s 1/ 2 у каждой может отве-

Решение. Поскольку в основном состоянии системы оба фермиона находятся в основном состо-

янии одночастичного осциллятора, их пространственная функция симметрична, и, следователь-

но, спиновая — антисимметрична. А таким является только спиновое состояние с S 0 (ответ Б).

10. Система из двух тождественных невзаимодействующих бозонов со спином s 1 находится в состоянии, в котором пространственная часть волновой функции антисимметрична относитель-

но перестановок координат. Имеет ли суммарный спин такой системы определенное значение, и

если да, то какое?

Решение. Поскольку пространственная функция бозонов по условию антисимметрична, то спи-

новая функция является также антисимметричной. А для системы двух бозонов со спином s 1

антисимметричными являются три функции с суммарным спином S 1 (ответ В).

11. Система из двух тождественных невзаимодействующих бозонов со спином s 1 находится в состоянии, в котором пространственная часть волновой функции симметрична относительно

192