Testiki муравьева 6 се
.pdf
ность перехода, вычисленная в первом порядке теории нестационарных возмущений, отлична от
нуля (основное состояние — первое)?
А. Для всех четных |
Б. Для всех нечетных |
В. Для всех |
Г. Только для первого возбужденного |
Решение. Частица, находящаяся в основном состоянии ямы, под действием возмущения, зави-
сящего от времени, совершает переходы в такие стационарные состояния |
n , для которых отли- |
чен от нуля матричный элемент |
|
V1n
a
0
f |
(x)x(x a) |
1 |
|
f |
n |
(x)dx |
|
|
,
(*)
где индексом 1 отмечена функция основного состояния. Функция 1 и оператор возмущения — четные относительно центра ямы, поэтому интеграл (*) равен нулю, если функция fn (x) — не-
четна относительно центра ямы. А таковыми являются состояния с четными квантовыми числа-
ми. Таким образом, под действием данного возмущения частица будет совершать переходы во все нечетные состояния.
3. На одномерный гармонический осциллятор, находящийся в n стационарном состоянии, дей-
|
ˆ |
f (t) |
— некоторая функ- |
ствует малое, зависящее от времени возмущение V (x,t) xf (t) , где |
|||
ция времени. В какие состояния возможны переходы осциллятора? |
|
|
|
А. Во все |
Б. Только в (n 1) |
|
|
В. Только в (n 1) |
Г. Только в (n 1) и (n 1) |
|
|
Решение. Осциллятор, находящийся |
n |
стационарном состоянии, под действием возмущения, |
|
зависящего от времени, совершает переходы в такие стационарные состояния |
k , для которых |
||
отличен от нуля матричный элемент |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
V |
|
f |
n |
(x)x f |
k |
(x)dx |
nk |
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
(*)
Согласно результатам лекции 2.5 первой части курса интеграл (*) отличен от нуля, только если индексы n и k отличаются на единицу. Поэтому переходы возможны в состояния n 1 и n 1.
4. На одномерный гармонический осциллятор, находящийся в первом возбужденном состоянии,
ˆ
действует зависящее от времени малое возмущение V (x,t) xf (t) , где f (t) — некоторая функция времени. Чему равно отношение вероятностей перехода осциллятора в основное и вто-
137
рое возбужденное состояния? Указание: Матричные элементы оператора координаты с осцил-
ляторными функциями равны: |
xnk |
n |
|
k ,n 1 |
|
(n 1) |
k ,n 1 . |
|
|
|
|
||||||
2m |
2m |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
w |
|
|
w |
|
1 |
|
|
|
w |
|
|
|
w |
|
2 |
|
А. |
1 0 |
2 |
Б. |
1 0 |
|
|
|
В. |
1 0 |
1 |
Г. |
1 0 |
|
|
|
||
w |
w |
2 |
|
w |
|
w |
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 2 |
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
осциллятор |
Решение. Согласно предыдущей задаче под действием возмущения V (x,t) xf (t) |
|||||||||||||||||
из первого стационарного состояния совершает переходы в нулевое (основное) и второе состоя-
ния. Сравним вероятности этих переходов.
Вероятность перехода из n -го стационарного состояния в |
ˆ |
k -ое под действием возмущения V (t) |
|
определяется соотношением |
|
где
|
( |
k |
|
) / |
kn |
|
n |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wn k |
|
1 |
|
Vkn |
(t)e |
i |
t |
dt |
, |
|
|
|
(*) |
|
|
kn |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— частота перехода между состояниями |
n |
и |
k , Vkn (t) |
— матричный эле- |
|||||||||
мент оператора возмущения
Vkn (t) |
|
|
* |
|
ˆ |
(**) |
|
dx k |
|
(x)V (t) n (x) . |
|||
Очевидно, квадраты модулей интегралов по времени для переходов 1 0 |
и 1 2 — одинако- |
|||||
вы. Действительно, частоты для переходов 1 0 |
и |
1 2 отличаются только знаком, а функция |
||||
f (t) — действительна. |
|
|
|
|
|
|
Поэтому отношение вероятностей переходов |
1 0 |
и 1 2 равно отношению квадратов мат- |
||||
ричных элементов |
|
|
|
|
|
|
w |
|
V |
2 |
|
|
||
1 0 |
|
01 |
|
w |
|
2 |
|
|
V |
||
|
|
||
1 2 |
|
|
|
|
|
21 |
|
Используя указание к задаче, получим
w1 0 1 . w1 2 2
(Ответ Б)
.
5. На заряженную частицу, находящуюся в основном состоянии в некотором центральном поле,
накладывают малое, зависящее от времени однородное электрическое поле E(t) , направленное
138
вдоль оси y . Какие значения проекции момента импульса частицы на ось |
z |
можно обнаружить |
|
в конечном состоянии? |
|
|
|
А. Только m 1 |
Б. Только m 0, 2 |
|
|
В. Только m 0, 1 |
Г. Любые целые |
|
|
Решение. Проекция момента импульса частицы, находящейся в основном состоянии в цен-
тральном поле, равна нулю. Под действием возмущения, зависящего от времени, частица может совершать переходы в стационарные состояния с другими проекциями, которые и могут быть обнаружены при измерениях. Следовательно, при измерении проекции момента импульса ча-
стицы в конечном состоянии могут быть обнаружены проекции момента тех состояний, в кото-
рые частица может совершить переходы. А это определяется матричными элементами операто-
ра возмущения
|
|
r |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
* |
(r)Y00dr , |
|
|
||
|
|
Rn l (r)Ylm |
( , )V (r , t)R00 |
|
|
||
где R (r)Y |
— волновая функция основного состояния, |
* |
( , ) |
— волновая функция |
|||
Rn l (r)Ylm |
|||||||
00 00 |
|
|
|
r |
|
|
|
|
ˆ |
конечного состояния, V (r ,t) erE(t) — оператор возмущения. Поскольку поле направлено по |
|
оси |
y , то оператор возмущения записывается в виде |
ˆ V (r ,t) erE(t) sin sin
r sin e |
i |
|
r sin e |
i |
|
.
Но функции sin ei |
и sin e i |
с точностью до множителей совпадают со сферическими функ- |
|||
циями Y11( , ) и Y1 1 |
( , ) соответственно. Поэтому матричный элемент перехода из основного |
||||
состояния в состояние с квантовыми числами |
nr ,l, m определяется соотношением |
||||
|
Rnr lYlm* rY11R00Y00dr RnrlYlm* rY1 1R00Y00dr . |
(*) |
|||
Поскольку функция Y00 не зависит от углов, |
угловые интегралы в (*) содержат произведение |
||||
двух сферических функций: Y * |
( , )Y ( , ) |
— первый и Y * |
( , )Y |
( , ) — второй. Поэтому |
|
|
lm |
11 |
lm |
1 1 |
|
из условия ортогональности сферических функций следует, что первый интеграл отличен от ну-
ля при m 1, второй — при m 1. Таким образом, при измерении проекции момента импуль-
са частицы в конечном состоянии могут быть получены три значения: m 0, 1, причем значе-
ния m 1 за счет переходов (т. е. в меру возмущения).
139
6. На частицу, находящуюся в основном состоянии в некотором центрально-симметричном поле
ˆ |
2 |
f (t) |
(где |
f (t) |
— неко- |
без случайного вырождения, действует малое возмущение V (r ,t) cos |
|
торая функция времени). Возможен ли переход частицы на первый возбужденный уровень энер-
гии?
А. Да Б. Нет В. Это зависит от f (t) Г. Мало информации для ответа
Решение. Переход частицы, находящейся в основном состоянии в некотором центральном поле,
на первый возбужденный уровень энергии возможен, если отличен от нуля матричный элемент оператора возмущения с невозмущенными функциями основного состояния и одним из состоя-
ний, отвечающих первому возбужденному уровню энергии. Согласно лекции 4.4 первой части курса первому возбужденному уровню энергии отвечает либо одно состояние с моментом и
проекцией |
l 0, m 0 |
, либо три состояния с моментом и проекциям |
l 1, |
m 0, 1 |
, либо вы- |
рождение этих состояний (это зависит от конкретного вида поля). Поэтому переход возможен,
если отличен от нуля матричный элемент
|
r |
|
* |
( , ) cos |
2 |
R |
|
|
R |
(r)Y |
|
|
(r)Y dr |
||
|
n l |
lm |
|
|
00 |
00 |
|
(*)
для перечисленных значений момента и проекции. Чтобы понять, какие из интегралов равны, а
какие не равны нулю, разложим возмущение cos2 по сферическим функциям. Так как возму-
щение не зависит от , в разложение войдут только сферические функции Yl 0 с нулевой проек-
цией. А так как сферические функции Yl 0 представляют собой многочлены определенной четно-
сти от cos , в разложение войдут только функции |
Y00 и Y20 |
cos2 Y |
Y |
00 |
20 |
( и — числа). Поэтому матричный элемент (*) сводится к двум интегралам |
|
Rnr lYlm* Y00 R00Y00dr Rnr lYlm* Y20 R00Y00dr . |
|
Поскольку функция Y00 не зависит от углов, второй интеграл для l 0 или l 1 равен нулю из-
за ортогональности сферических функций. В первом интеграле угловой интеграл отличен от ну-
ля для l 0, m 0 , но тогда будет равен нулю радиальный интеграл от функций Rnr 0,l 0 (r) и
Rnr 1,l 0 (r) (из-за ортогональности радиальных функций, отвечающих одному моменту, но раз-
ному радиальному квантовому числу). А это значит, что переход из основного состояния на
140
первый возбужденный уровень энергии под действием рассматриваемого возмущения не проис-
ходит. Ответ Б.
7. На заряженный трехмерный гармонический осциллятор, находящийся в основном состоянии,
накладывают малое, зависящее от времени однородное электрическое поле E(t) . Возможен ли
переход осциллятора на второй возбужденный уровень энергии? Указание. Кратность вырожде-
ния второго возбужденного уровня энергии трехмерного осциллятора равна 6.
А. Да Б. Нет
В. Это зависит от ориентации электрического поля Г. Мало информации для ответа
Решение. Переход сферического осциллятора из основного состояния на второй возбужденный уровень энергии возможен, если отличен от нуля матричный элемент оператора возмущения с невозмущенными функциями основного состояния и одним из состояний, отвечающих второму возбужденному уровню энергии. Поскольку (согласно указанию к условию) кратность вырож-
дения второго возбужденного уровня энергии осциллятора равна 6, ему отвечают пять состоя-
ний с моментом 2 (и всеми возможными проекциями) и одно состояние с моментом нуль (и ну-
левой проекцией). Это |
значит, |
что |
матричный элемент оператора возмущения |
ˆ |
rY10 ( ) |
(ось z |
системы координат я направил по полю) определя- |
V (r , t) erE(t) er cos E |
|||
ется соотношением |
|
|
|
|
r |
|
|
|
* |
( , )rY10 ( )R00 (r)Y00dr |
(*) |
|
Rn l (r)Ylm |
для перечисленных значений момента и проекции. Поскольку функция Y00 не зависит от углов,
угловой интеграл в (*) содержит две сферические функции
|
|
|
lm |
|
|
|
|
Y |
* |
|
|
|
|
|
где |
l |
равняется либо нулю, либо двум. |
||
функций следует, что матричный элемент переход не возможен. Ответ Б.
( , )Y10 ( )d ,
Поэтому из условия ортогональности сферических оператора возмущения равен нулю, и, следовательно,
141
8. На атом водорода, находящийся в основном состоянии, действует зависящее от времени ма-
ˆ |
cos |
2 |
f (t) (где |
f (t) — некоторая функция времени). Возможен ли |
лое возмущение V (r , t) V0 |
|
|||
переход электрона на первый возбужденный уровень энергии? |
||||
А. Да |
Б. Нет |
|
||
В. Это зависит от величины возмущения |
|
|||
Г. Мало информации для ответа
Решение. Первый возбужденный уровень энергии атома водорода является четырехкратно вы-
рожденным. Ему отвечают три состояния с моментом 1 (и всеми возможными проекциями) и
одно состояние с моментом нуль (и нулевой проекцией). А переход электрона из основного со-
стояния возможен, если отличен от нуля матричный элемент оператора возмущения с невозму-
щенными функциями основного состояния и одного из состояний, отвечающих первому воз-
ˆ |
V0 cos |
2 |
|
опреде- |
бужденному уровню энергии. Матричный элемент оператора возмущения V |
|
|||
ляется соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
* |
|
2 |
R00 (r)Y00dr |
(*) |
|
|
|
|
Rn l (r)Ylm ( , ) cos |
|
||||||
для перечисленных значений момента и проекции ( l 0,1 , |
m 0, 1 ). Разложим возмущение |
|||||||||
cos |
2 |
по сферическим функциям. Так как возмущение не зависит от , в разложение войдут |
||||||||
|
||||||||||
только сферические функции Yl 0 с нулевой проекцией. А так как сферические функции |
Yl 0 |
|||||||||
представляют собой многочлены определенной четности от |
cos , в разложение войдут только |
|||||||||
функции Y00 и Y20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
cos |
2 |
Y |
Y |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
00 |
|
|
20 |
|
|
(
и |
— числа). Поэтому матричный элемент (*) сводится к двум интегралам |
|
|
r |
|
* |
|
R Y dr |
|
r |
|
* |
|
|
|
R |
Y |
|
Y |
|
R |
Y |
|
Y |
R Y dr |
||
|
|
n l |
lm 00 |
00 00 |
|
n l |
lm 20 |
00 00 |
||||
.
Поскольку функция Y00 |
не зависит от углов, второй интеграл для l 0 |
или |
l 1 |
равен нулю из- |
за ортогональности сферических функций. В первом интеграле угловой интеграл отличен от ну-
ля для l 0, m 0 , но равен нулю радиальный интеграл от функций |
R |
(r) |
и |
R |
(r) (из- |
|
nr 0,l 0 |
|
|
nr 1,l 0 |
|
за ортогональности радиальных функций, отвечающих одному моменту, но разному радиально-
му квантовому числу). А это значит, что переход из основного состояния на первый возбужден-
ный уровень энергии под действием рассматриваемого возмущения не происходит. Ответ Б.
142
1. На частицу, находящуюся в основном состоянии бесконечно глубокой прямоугольной
потенциальной |
ямы, расположенной между точками |
x a / 2 и x a / 2 , действует малое |
|||
периодическое |
возмущение |
ˆ |
2 |
cos t . При |
какой частоте возмущения частица |
V (x,t) x |
|
||||
сможет перейти в первое возбужденное состояние? Указание. Энергия стационарных состояний
частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме определяется соотношением
n 1, 2, 3,... |
|
|
|
|
|
|
|
||
А. |
3 2 |
Б. |
4 2 |
В. |
5 2 |
|
|
|
|
Г. |
Ни при какой |
||||||||
2ma2 |
2ma2 |
2ma2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
2 |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
E |
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
|
2ma |
|||||
|
|
|
|
||||
,
Решение. Для того чтобы происходил переход под действием периодического возмущения
ˆ |
ˆ |
V (x,t) V (x) cos t , должны быть выполнены два условия: должен быть отличен от нуля |
|
матричный элемент оператора возмущения
V |
|
|
* |
ˆ |
(x) 0 |
dx |
(x)V (x) |
||||
kn |
|
k |
n |
|
и частота возмущения должна быть «настроена» на разность энергий состояний
k
и n
k n .
Вусловиях данной задачи матричный элемент оператора возмущения для основного и первого возбужденного состояния частицы в яме
V |
|
|
* |
ˆ |
(x) |
dx |
(x)V (x) |
||||
12 |
|
1 |
2 |
|
равен нулю, поскольку волновая функция основного состояния является четной, первого возбужденного состояния — нечетной, оператор возмущения — четным. Поэтому ни при какой частоте возмущения переход между основным и первым возбужденным состояниями невозможен. Ответ Г.
2. На частицу, находящуюся в |
n -ом состоянии бесконечно глубокой прямоугольной |
потенциальной ямы (основное состояние — первое), расположенной между точками x 0 и
, действует малое периодическое возмущение ˆ . При какой t
cos
a
/
x
cos
)
t
,
x
(
V x a
частоте возмущения частица будет совершать переходы? Ответ дать в первом порядке теории
нестационарных возмущений. Указание. Энергия стационарных состояний частицы в
бесконечно глубокой потенциальной яме определяется соотношением En 2 2n2 , n 1, 2, 3,...
2ma2
145
А.
В.
|
2 |
(2n 1) |
|
|
2ma2 |
||
|
|
||
|
2 |
(2n 1) |
|
|
|
||
|
2ma |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
Б.
Г.
2 (2n 1) 2ma2
2 (n 1) ma2
и |
2 (2n 1) |
|||
|
2ma2 |
|||
|
|
|
||
|
|
2 |
(n 1) |
|
и |
|
|||
|
|
ma |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Решение. Для того чтобы происходил переход под действием периодического возмущения
ˆ ˆ
V (x,t) V (x) cos t , должны быть выполнены два условия: должен быть отличен от нуля матричный элемент оператора возмущения
V |
|
|
* |
ˆ |
(x) 0 |
dx |
(x)V (x) |
||||
kn |
|
k |
n |
|
и частота возмущения должна быть «настроена» на разность энергий состояний
|
|
k |
|
n |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
В условиях данной задачи матричный элемент оператора возмущения
k
и n
|
|
|
|
nk |
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
между состояниями |
n |
и |
k |
отличен |
||
выражение для собственной функции |
|
|
||||
dx * n
от
(x) cos
нуля,
|
x |
|
|
|
|
|
a |
|
если
k |
( |
|
|
k |
|
x) n
1
. Действительно,
используя
и формулу sin cos Vnk
sin sin |
|||
a |
|
(n |
|
|
|
|
|
dx sin |
|
||
0 |
|
|
a |
|
|
sin |
nx |
||
n |
|
a |
|
||
|
|
|
|
|
|
, получим |
|
|
|
|
|
||||
1)x |
sin |
|
kx |
sin |
(n 1)x |
sin |
|
||
|
|
|
|
a |
|
|
|||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
kx |
|
a |
|
|
|
,
откуда из условия ортогональности собственных функций и следует сделанное утверждение.
Поэтому для частоты возмущения должны быть выполнены условия
|
|
n 1 |
|
n |
2 |
(2n 1) |
или |
|
n |
|
n 1 |
|
2 (2n 1) |
. |
|
|
|
2ma2 |
|
|
|
2ma2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ Б.
3. На частицу, находящуюся в 3-ом состоянии бесконечно глубокой прямоугольной
потенциальной ямы (основное состояние — первое), расположенной между точками |
x 0 и |
|
x a , действует малое периодическое возмущение |
ˆ |
какой |
V (x,t) x(x a) cos t . При |
||
минимальной частоте возмущения частица будет совершать переходы? Ответ дать в первом порядке теории нестационарных возмущений. Указание. Энергия стационарных состояний
146
частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме определяется соотношением E |
2 2n2 |
, |
|
2ma2 |
|||
n |
|
||
n 1, 2, 3,... |
|
|
|
|
8 |
2 |
|
|
16 |
2 |
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
|
7 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
А. |
|
2ma |
2 |
б. |
2ma |
2 |
|
в. |
2ma |
2 |
г. |
ma |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. Для того чтобы происходил переход между состояниями |
|
n |
и k |
под действием |
|||||||||||||||||
периодического возмущения |
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
V (x,t) V (x) cos t , должны быть выполнены два условия: |
||||||||||||||||||||
матричный элемент оператора возмущения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
* |
|
ˆ |
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
(x)V (x) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
kn |
|
k |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
должен быть отличен от нуля, частота возмущения должна быть «настроена» на разность энергий состояний k и n
|
|
|
|
|
k |
|
n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В условиях данной задачи матричный элемент оператора возмущения |
|||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
* |
(x)x(x a) |
|
(x) |
|
|
|||||
|
dx |
k |
|
|
|||||||||
|
3k |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
между состояниями 3 и |
k отличен от нуля, если состояние |
k |
имеет ту же четность, что и |
||||||||||
состояние 3 (поскольку |
функция |
x(x a) |
— |
|
четна относительно центра ямы). Поэтому |
||||||||
переходы возможны в 1-ое, 5-ое, 7-ое и т. д. состояния. А поскольку энергетические интервалы между уровнями растут с ростом квантового числа, самая маленькая разность энергий (и,
соответственно, частота возмущения) будет между первым и третьим уровнями. Следовательно,
самая маленькая частота перехода, при которой возможен переход, равна
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ma |
2 |
|
|
|
|
|
|
(Ответ А)
.
4. На частицу, находящуюся в основном состоянии бесконечно глубокой прямоугольной
потенциальной ямы, расположенной между |
точками |
x 0 |
и x a , действует малое |
||
ˆ |
(где |
4 2 |
|
||
периодическое возмущение V (x,t) x cos t |
ma2 |
). |
Может ли частица совершить |
||
переход, и в какие состояния (основное состояние — первое)? Указание. Энергия стационарных
147
состояний частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме определяется соотношением
E |
2 2n2 , n 1, 2, 3,... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2ma2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
А. Да, во второе |
Б. Да, в третье |
|
|
В. |
Нет |
Г. Мало информации для ответа |
||||||
Решение. Для того чтобы происходил переход между состояниями n и k |
под действием |
|||||||||||
периодического |
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
t , должны быть выполнены |
два условия: |
||||
возмущения V (x,t) V (x) cos |
||||||||||||
матричный элемент оператора возмущения |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
V |
|
|
* |
|
ˆ |
(x) |
|
|||
|
|
dx |
k |
(x)V (x) |
|
|||||||
|
|
kn |
|
|
|
|
n |
|
|
|||
должен быть отличен от нуля, частота возмущения должна быть «настроена» на разность энергий состояний k и n
|
|
k |
|
n |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
В условиях данной задачи частота возмущение равна частоте перехода между первым и третьим
состояниями
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
, |
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ma |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а вот матричный элемент оператора возмущения равен нулю, поскольку и |
1 и 3 — четны |
||||||||
относительно центра ямы, а оператор, который может быть сведен к |
x (a / 2) |
— нечетен |
|||||||
V13
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
(x) |
|
1 |
(x) |
x |
||
|
|||||||||
|
dx |
(x)x |
|
dx |
|
||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
(x) |
|
|
|||
3 |
|
||
2 |
|
|
0
.
Следовательно, под действием данного возмущения переход из первого состояния в третье не происходит (ответ В).
5. На одномерный гармонический осциллятор с |
|
частотой |
|
ˆ |
5 |
cos 1t . При |
|
состоянии, действует малое возмущение V (x, t) x |
|
||
возмущения возможен переход?
, находящийся в основном какой минимальной частоте
А. |
1 |
Б. 1 3 |
В. 1 5 |
Г. 1 7 |
|
||
Решение. Матричный элемент оператора |
x |
5 |
с осцилляторными функциями |
|
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
Vkn dx *k (x)x5 n (x) |
(*) |
||
отличен от нуля если их индексы отличаются на единицу, тройку, или пятерку. Это можно понять, используя ту же логику, которая позволила нам вычислить матричные элементы с
148