Testiki муравьева 6 се

Решение. Исходим из формулы теории возмущений для возмущенных волновых функций ста-

ционарных состояний. Для возмущенной волновой функции основного состояния эта формула дает

Связанные стационарные состояния частицы в центральном поле отмечаются тремя индекса-

ми — радиальным квантовым числом nr , моментом l и проекцией m (которые для основного состояния принимают нулевые значения), а волновые функции могут быть выбраны в виде

m Rn l (r)Ylm ( , ) . Поэтому значения момента и проекции, которые можно обнаружить в воз- r

мущенном основном состоянии, это моменты и проекции тех сферических функций, которые входят в сумму (*). А это зависит от того, какие матричные в (*) не равны нулю (если бы были отличны от нуля все матричные элементы оператора возмущения, то все возможные моменты и проекции можно было обнаружить при измерениях в возмущенном основном состоянии).

Матричные элементы для данного возмущения определяются интегралом

откуда из условия ортогональности сферических функций заключаем, что матричные элементы отличны от нуля только для l 1 и m 0 . Следовательно, при измерении проекции момента в возмущенном основном состоянии можно получить только значение lz 0 , момент же может принимать значения l 0 и l 1 (ответ А), причем первое значение — за счет невозмущенной функции 0 в (*), второе — за счет поправки, т. е. в меру возмущения.

орбитального момента импульса электрона на ось z можно обнаружить в возмущенном основ-

ном состоянии атома? Ответ дать в первом порядке теории возмущений для волновой функции.

А. lz 0 Б. lz 0, 1 В. lz 0, 2 Г. lz 0, 1, 2

98

Решение. Согласно теории возмущений возмущенная волновая функции основного состояния определяется соотношением

Связанные стационарные состояния электрона в атоме водорода отмечаются тремя индекса-

ми — радиальным квантовым числом nr , моментом l и проекцией m (которые для основного состояния принимают нулевые значения), а волновые функции могут быть выбраны в виде

m Rn l (r)Ylm ( , ) (от спинового состояния электрона ответ в задаче не зависит, поэтому мы r

его и не рассмативаем). Значения проекции момента импульса электрона, которые можно обна-

ружить в возмущенном основном состоянии атома, это проекции тех сферических функций, ко-

торые входят в сумму (*). А это зависит от того, какие матричные элементы в (*) не равны нулю

(если бы были отличны от нуля все матричные элементы оператора возмущения, то все возмож-

ные моменты и проекции можно было обнаружить при измерениях в возмущенном основном состоянии).

Матричные элементы для данного возмущения определяются интегралом

ˆ откуда из условия ортогональности собственных функций оператора Lz заключаем, что матрич-

ные элементы отличны от нуля только для m 2 , m 0 и m 2 . Следовательно, при измере-

нии проекции момента в возмущенном основном состоянии можно получить только значения lz 2, 0, 2 (ответ В).

99

основном состоянии? Ответ дать в первом порядке теории возмущений для волновой функции.

Решение. Согласно теории возмущений возмущенная волновая функции основного состояния определяется соотношением

Связанные стационарные состояния частицы в центральном поле отмечаются тремя индекса-

состояния принимают нулевые значения), а волновые функции могут быть выбраны в виде

его и не рассматриваем). Значения момента импульса частицы, которые можно обнаружить в возмущенном основном состоянии, это моменты тех сферических функций, которые входят в сумму (*). А это зависит от того, какие матричные элементы в (*) не равны нулю.

Матричные элементы для данного возмущения определяются интегралом

Но cos2 можно следующим образом разложить по сферическим функциям

cos2 AY00 BY20

(такое разложение объясняется тем, что из-за отсутствия зависимости от в разложение могут входить только сферические функции с нулевым вторым индексом Yl 0 , которые являются мно-

гочленами степени l определенной четности от cos ). Отсюда из условия ортогональности сферических функций заключаем, что матричные элементы отличны от нуля только для l 0 и l 2 . Следовательно, при измерении момента в возмущенном основном состоянии можно по-

100

лучить только значения l 0 и l 2 (ответ А), причем первое значение — за счет невозмущен-

ной функции 0 в (*), второе — за счет поправки, т. е. в меру возмущения.

101

1. Правильные функции нулевого приближения являются:

А. точными собственными функциями невозмущенного гамильтониана

Б. точными собственными функциями возмущенного гамильтониана

В. точными решениями возмущенного временного уравнения Шредингера

Г. приближенными собственными функциями невозмущенного гамильтониана

Решение. Поскольку правильные функции являются линейными комбинациями собственных

функций невозмущенного гамильтонианоа, относящихся к вырожденному уровню, они являют-

ся точными собственными функциями невозмущенного гамильтониана.

2. Квантовая система имеет двукратно вырожденный уровень, которому отвечают невозмущен-

Решение. По определению правильные функции нулевого приближения — это такие линейные комбинации собственных функций невозмущенного гамильтониана, относящихся к вырожден-

ному уровню, которые наименьшим образом изменяются при наложении возмущения. Для этого недиагональные матричные элементы оператора возмущения с правильными функциями нуле-

вого приближения должны равняться нулю (ответ Б).

3. Уровень энергии некоторой квантовой системы двукратно вырожден. На систему накладывается малое возмущение, матричные элементы которого с невозмущенными собственными функциями известны: V11 V , V22 U (U V ), V12 V21 0 . Какими будут энергии возмущен-

Решение. Поскольку недиагональные матричные элементы с невозмущенными собственными функциями равны нулю, то именно они и являются правильными функциями нулевого прибли-

жения, на которых можно строить теорию возмущений. Поэтому поправки первого порядка определяются диагональными матричными элементами оператора возмущения с этми функция-

ми. Т. е. сдвиг энергий состояний будет составлять величины E1(1) V11 V , E1(1) V11 U

(ответ Г.)

4. Уровень энергии некоторой квантовой системы двукратно вырожден. На систему наклады-

вается малое возмущение, матричные элементы которого с невозмущенными собственными

103

Решение. Ищем правильные функции нулевого приближения и поправки к энергиям в первом порядке теории возмущений из возмущенного уравнения Шредингера

5. Заряженная частица находится в центральном поле со случайным вырождением. Имеется уровень энергии с вырождением состояний с l 0 и l 2 . На частицу накладывают однородное электрическое поле. Произойдет ли расщепление этого вырожденного уровня энергии в первом порядке теории возмущений, и если да, то на сколько подуровней он расщепится?

104

А. Да, на 6 Б. Нет В. Да, на 3 Г. Да, на 2

Решение. При наложении однородного электрического поля к гамильтониану частицы добавля-

где d — телесный угол. Поскольку все сферические функции обладают определенной четно-

Поэтому интеграл (**) равен нулю. Следовательно, расщепления уровня энергии заряженной частицы в центрально-симметричном поле без случайного вырождения под действием возму-

ˆ щения V erE0 ezE0 erE0 cos не происходит (ответ Б.).

6. На бесспиновую заряженную частицу, находящуюся в центральном поле (без случайного вы-

рождения), накладывают магнитное поле, направленное вдоль оси y . Какими будут правильные функции нулевого приближения, отвечающие расщепленному уровню с моментом l ?

А. Каждая содержит одну сферическую функцию Ylm

Б. Каждая содержит комбинацию функций , собственную для ˆy

Ylm L

В. Каждая содержит комбинацию функций , собственную для ˆx

Ylm L

Г. Произвольные комбинации функций Ylm

Решение. Правильные функции нулевого приближения — это такие комбинации состояний, от-

вечающих вырожденному уровню, для которых равны нулю недиагональные матричные эле-

105

менты оператора возмущения. Поэтому правильными функциями нулевого приближения будут такие линейные комбинации сферических функций Ylm , которые будут собственными для опе-

7. На частицу, находящуюся в центрально-симметричном поле, в котором отсутствует случай-

Решение. Матричные элементы данного возмущения с функциями R(r)Ylm ( , ) (которые име-

ют одинаковую радиальную часть и отвечают одному моменту — по условию в данном поле от-

сутствует случайное вырождение) будут отличны от нуля — и диагональные, и недиагональные.

Поэтому правильными функциями нулевого приближения будут 2l 1 линейных комбинаций функций R(r)Ylm ( , ) с разными проекциями момента — G(r, , ) . Но возмущение не действу-

ет на переменную , поэтому если какая-то функция G(r, , ) является правильной, то функ-

ция G(r, , ) — тоже. А это такие линейные комбинации функций R(r)Ylm ( , ) , в которых сделаны замены m m. А поскольку для них диагональные матричные элементы одинаковы,

то они отвечают одной и той же возмущенной энергии. Следовательно, правильные функции можно разделить на такие пары функций (их будет l штук), которые отвечают одной энергии. И

одна правильная функция будет инвариантна относительно преобразования m m. Эта функ-

ция будет отвечать энергии, не испытавшей сдвига при наложении возмущения. Поэтому уро-

вень расщепится на l 1 подуровень (ответ В).

106

Указание. Кратность вырождения первого возбужденного уровня равна 3, декартовы квантовые

А. Не расщепится Б. На два В. На три Г. На четыре

Решение. Уравнение Шредингера для сферического гармонического осциллятора допускает разделение переменных. Поэтому собственные функции сферического осциллятора — это про-

изведения функций одномерного осциллятора, а собственные энергии — сумма соответствую-

щих собственных энергий. Поэтому каждое состояние характеризуется «декартовыми» кванто-

где fn (q) — собственные функции гамильтониана одномерного осциллятора. Первый возбуж- q

денный уровень (с энергией (5 / 2) ) является трехкратно вырожденным, ему отвечают три функции (которые я далее отмечу одним индексом)

Очевидно, все недиагональные матричные элементы возмущения с невозмущенными функция-

ми равны нулю (этот матричный элемент будет содержать скалярное произведение нулевой и

первого возбужденного уровня сферического осциллятора являются правильными функциями нулевого приближения, а поправки к энергиям — диагональными матричными элементами. При этом, очевидно, что матричные элементы V22 и V33 одинаковы и отличаются от матричного эле-

мента V11 . Поэтому возмущение снимет вырождение частично — одному уровню будет отвечать

107

ния (основное состояние — первое) возможны переходы из основного состояния?

Решение. Чтобы квантовая система под действием возмущения, зависящего от времени, могла

элемент оператора возмущения между невозмущенными состояниями n и k . Это и позволяет нам понять, между какими состояниями возможен переход, а между какими состояниями он не-

возможен (или, как говорят, запрещен). Установление возможных переходов квантовой системы позволяет установить «правила отбора» для переходов. Сделаем это на рассматриваемом при-

мере.

Оба этих интеграла представляют собой интегралы от двух собственных функций невозмущен-

ного гамильтониана, и, следовательно, равны нулю, если k 4 (первый интеграл) или k 2

(второй интеграл). Следовательно, под действием данного возмущения система может перейти из основного состояния только во второе или четвертое стационарные состояния (ответ Б).

2. На частицу, находящуюся в основном состоянии бесконечно глубокой потенциальной ямы,

136