Модуль 1. Квазиклассическое приближение

Семинар 1.1. Квазиклассическое приближение. Функции, точность, правила квантования

Сегодня мы с вами будем решать задачи на квазиклассическое приближение. Причем за-

дачи это будут тестовые, допускающие быстрый ответ в уме и позволяющие лучше почувство-

вать возможности метода. Какое-то количество задач я дам вам для самостоятельного решения.

Но сначала небольшое напоминание. Квазиклассическими решениями одномерного уравнения Шредингера

1. Квазиклассическое приближение работает, если А. потенциальная энергия является резкой функцией координаты

Б. потенциальная энергия является плавной функцией координаты В. потенциальная энергия является маленькой Г. все перечисленное неверно

Решение. Основная идея квазиклассического приближения заключается в том, что решение уравнения Шредингера в потенциале, который является плавной функцией координаты, должно быть похоже на известное решение в постоянном потенциале и допускать переход в эти реше-

57

Решение. Конечно, этот вопрос — шуточный. Малый параметр любого приближения не должен зависеть от единиц измерений, и поэтому он должен быть безразмерным (ответ Г). А ответ, что

является неверным. Правильные слова такого рода должны быть такими — квазиклассическое приближение работает в таком случае, когда постоянная Планка много меньше классического

А. лучше при энергии E1

Б. лучше при энергии E2

В. безразлично Г. от энергии точность квазиклассического приближения не зависит

Решение. Возможность использования квазиклассического приближения зависит от производ-

ной потенциала по координате и разности энергии, при которой решается уравнение Шрединге-

тает квазиклассическое приближение. Поэтому квазиклассическое приближение лучше работает

Решение. «Плавность» или «неплавность» потенциала в квазиклассическом смысле определяет-

ся безразмерным параметром квазиклассичности k (x)

k 2 (x)

Производная по координате от потенциала, показанного на левом рисунке в условии, конечно, в

среднем меньше производной по координате от правого потенциала. Но энергия, при которой

58

решается уравнение Шредингера в левом потенциале, практически совпадает с потенциалом.

циала при показанной на этом рисунке энергии квазиклассическое приближение будет работать.

В. к выходу в область неквазиклассичности Г. к изменению начала отсчета времени

Решение. Очень часто студенты плохо понимают, на что влияет выбор нижнего предела в инте-

гралах в аргументах квазиклассических функций. Ни на что! Действительно, изменение нижне-

го предела интегрирования в аргументах квазиклассических функций эквивалентно добавлению к их фазам некоторых постоянных

постоянная. Раскрывая синус и косинус в (*) по формулам сложения, мы сведем их снова к си-

нусу и косинусу от

x

k(t)dt ,

a

но с другими коэффициентами. Поэтому изменение нижнего предела интегрирования в инте-

гралах в квазиклассических решениях эквивалентно изменению произвольных постоянных в решениях (ответ Б).

6. Частица массой m движется в потенциале U (x) x . Какой формулой определяется ква-

зиклассическое решение уравнение Шредингера при энергии E (в области, где E x )?

59

(в качестве нижнего предела интегрирования взята левая граница ямы). Постоянные C и D

следует подобрать так, чтобы функция (**) переходила в тождественный нуль слева от точки x a и справа от точки x b . Поскольку при приближении к границам ямы при любой энергии разность E U(x) не уменьшается, то для достаточно больших энергий можно пользоваться квазиклассическим приближением вплоть до самых границ. Поэтому граничные условия для функции (**) имеют вид

60

которое и является, таким образом, правилом квантования для данного потенциала (ответ А).

61

На а теперь — задачи.

диагональный матричный элемент оператора возмущения с невозмущенными функциями ос-

новного состояния равен нулю, недиагональные матричные элементы, содержащие волновую функцию основного состояния не равны нулю. Увеличится или уменьшится при этом энергия

основного состояния системы?

Решение. В данных условиях поправка первого порядка теории возмущений к энергии основно-

го состояния

(V00 — матричный элемент оператора возмущения с невозмущенными функциями основного состояния) равна нулю, поправка второго порядка

энергия основного состояния меньше энергий других стационарных состояний, а в числителе второй формулы — неотрицательные величины, поправка второго порядка к энергии основного состояния меньше нуля. Энергия основного состояния понизится.

2. На частицу, находящуюся в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме, нало-

жили возмущение (x a / 2) , где a — размер ямы. Каким должен быть параметр , чтобы для расчета энергий можно было пользоваться теорией возмущений

Решение. Теория возмущений работает, если матричный элемент оператора возмущения много меньше разности невозмущенных энергий. Энергии стационарных состояний частицы в яме

2

E ma2 .

93

Матричные элементы заданного в условии оператора возмущения равны нулю для четных со-

стояний и не равны нулю для нечетных

(числовые множители в этих формулах опущены). Поэтому теория возмущений работает, если

Очевидно, подынтегральная функция отрицательна во всех внутренних точках ямы. Действи-

нарного состояния отрицательна. Ответ Б.

4. На частицу, находящуюся в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме наложи-

Решение. Поправка первого порядка теории возмущений к энергии стационарных состояний определяется диагональным матричным элементом оператора возмущенияй с невозмущенными волновыми функциями стационарных состояний

94

поэтому интеграл (*) равен нулю, и, следовательно, энергии стационарных стсотяний при вклю-

чении данного возмущения не изменятся.

5. На частицу, находящуюся в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме наложи-

ли возмущение V (x) V0 cos x / a , где a — размер ямы. Чему равна поправка второго поряд-

ка к энергии основного состояния?

Решение. Используем формулу для поправки второго порядка теории возмущений

из условия ортонормированности волновых функций стационарных состояний заключаем, что матричные элементы будут отличны от нуля только для n 2 и равны

V02 V20 .

Используя формулу для энергий стационарных состояний частицы в яме En 2 2n2 , получим

2ma2

из (*)

E(2) V02ma2 .

6 2 2

95

(Ответ А)

ˆ 6. На одномерный гармонический осциллятор наложили возмущение V (x) (x) . Как поправ-

ка первого порядка теории возмущений к энергии четных стационарных состояний зависит от квантового числа состояния для больших значений квантового числа?

Решение. Поправка первого порядка для энергий стационарных состояний определяется диаго-

нальным матричным элементом оператора возмущения

Волновые функции нечетных стационарных состояний — нечетные, поэтому поправка первого порядка равна нулю. Оценим значение волновой функции при x 0 для четных состояний. По-

скольку нормировочный интеграл набирается в основном внутри ямы, имеем

Решение. Энергия взаимодействия заряженной частицы с электрическим полем напряженности

E определяется соотношением

ˆ

V erE .

В системе координат, ось z которой направлена по полю возмущение имеет вид

96

где f0 (r ) — волновая функция основного состояния. Поскольку волновая функция основного состояния электрона в атоме водорода не зависит от углов, а cos с точностью до числового множителя совпадает со сферической функцией Y10 , интеграл по углам в (*) дает

Таким образом, сдвиг энергии основного состояния электрона в атоме водорода при наложении на него электрического поля в первом порядке теории возмущений равен нулю (ответ В.).

ˆ 8. На одномерный гармонический осциллятор, накладывают возмущение V (x) a sin(x / b) . Как

изменится средняя четность 100-го стационарного состояния (основное состояние — нулевое)?

А. уменьшится Б. увеличится В. не изменится Г. мало информации для ответа

Решение. Волновая функция сотого состояния невозмущенного гармонического осциллятора является четной. И, следовательно, средняя четность этого состояния равна 1. Возмущение яв-

ляется нечетным. Поэтому все собственные состояния возмущенного гамильтониана будут функциями неопределенной четности. Т. е. средняя четность этих состояний будет удовлетво-

рять строгим неравенствам.

1 P 1

Значит средняя четность сотого собственного состояния возмущенного гамильтониана умень-

шится. Ответ А.

Какие значения момента импульса частицы и его проекции на ось z можно обнаружить в воз-

мущенном основном состоянии частицы? Ответ дать в первом порядке теории возмущений для волновой функции.

А. l 0, 1; lz 0 Б. l 0; lz 0, 1 В. l 0, lz 0 Г. l 0, 1; lz 0, 1, 1

97