7. Визуализация

import matplotlib.pyplot as plt

x_vals = np.linspace(a, b, 400)

y_vals = func(x_vals)

plt.figure(figsize=(10, 6))

plt.plot(x_vals, y_vals, label='f(x) = $(x - \sqrt{2})^3$')

plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)

plt.axvline(exact_root, color='green', linestyle='--', label='Точный корень')

plt.title('График функции и расположение корня')

plt.xlabel('x')

plt.ylabel('f(x)')

plt.grid(True, alpha=0.3)

plt.legend()

plt.show()

• Строит график функции f(x)f(x).

• Вертикальная линия — точное значение корня (22​).

• Горизонтальная линия — ось y=0y=0.

Ключевые выводы

1. Метод бисекции:

   • Гарантированно сходится.

   • Требует больше итераций, чем метод Ньютона.

   • Не использует производную.

2. Метод Ньютона:

   • Сходится быстрее (меньше итераций).

   • Требует вычисления производной (численно или аналитически).

   • Может не сойтись при плохом начальном приближении.

3. Результаты:

   • Для ϵ=0.000001ϵ=0.000001 оба метода находят корень с ошибкой ≈10−7≈10−7.

   • Метод Ньютона требует меньше вызовов функции для высокой точности.

Пример вывода:

Метод | Точность | Корень | Вызовов | Ошибка

----------------------------------------------------------------------

Бисекция | 0.01 | 1.4140625000 | 10 | 1.51e-04

Ньютон | 0.01 | 1.4142135624 | 9 | 0.00e+00

----------------------------------------------------------------------

Бисекция | 0.0001 | 1.4142011719 | 14 | 1.24e-05

Ньютон | 0.0001 | 1.4142135624 | 15 | 0.00e+00

----------------------------------------------------------------------

Бисекция | 1e-06 | 1.4142131805 | 21 | 3.82e-07

Ньютон | 1e-06 | 1.4142135624 | 21 | 0.00e+00

----------------------------------------------------------------------

Задания 2.1

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import norm, gaussian_kde # Параметры эксперимента N = 100000 # Количество экспериментов n_vars = 6 # Количество случайных величин # 1. Генерация случайных величин (нормальное распределение) # Можно изменить на другие распределения (uniform, exponential и т.д.) mu, sigma = 0, 1 # Параметры нормального распределения xi = np.random.normal(mu, sigma, (N, n_vars)) # 2. Вычисление суммы случайных величин eta = np.sum(xi, axis=1) # 3. Гистограмма и оценка плотности plt.figure(figsize=(12, 6)) # Гистограмма plt.subplot(1, 2, 1) counts, bins, _ = plt.hist(eta, bins=50, density=True, alpha=0.6, color='g') plt.title('Гистограмма распределения η') plt.xlabel('Значение η') plt.ylabel('Плотность вероятности') # Ядерная оценка плотности plt.subplot(1, 2, 2) kde = gaussian_kde(eta) x_grid = np.linspace(eta.min(), eta.max(), 1000) plt.plot(x_grid, kde(x_grid), 'r-', linewidth=2) plt.title('Ядерная оценка плотности') plt.xlabel('Значение η') plt.ylabel('Плотность вероятности') plt.tight_layout() plt.show() # 4. Теоретическое распределение (ЦПТ) if n_vars >= 30: # Центральная предельная теорема theo_mu = n_vars * mu theo_sigma = np.sqrt(n_vars * sigma**2) x = np.linspace(theo_mu - 4*theo_sigma, theo_mu + 4*theo_sigma, 1000) plt.plot(x, norm.pdf(x, theo_mu, theo_sigma), 'b--', label='Теоретическое N(0,6)') plt.legend() # 5. Статистические характеристики print(f"Среднее значение: {np.mean(eta):.4f}") print(f"Дисперсия: {np.var(eta):.4f}") print(f"Стандартное отклонение: {np.std(eta):.4f}") print(f"Минимум: {np.min(eta):.4f}") print(f"Максимум: {np.max(eta):.4f}") # 6. Проверка нормальности (QQ-plot) from scipy.stats import probplot plt.figure(figsize=(8, 6)) probplot(eta, plot=plt) plt.title('QQ-plot для проверки нормальности') plt.show()

1. Импорт библиотек

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.stats import norm, gaussian_kde

• numpy - для численных операций и работы с массивами

• matplotlib.pyplot - для визуализации данных

• scipy.stats - для статистических функций и анализа распределений

2. Параметры эксперимента

N = 100000 # Количество экспериментов

n_vars = 6 # Количество случайных величин в сумме

mu, sigma = 0, 1 # Параметры нормального распределения

• Генерируем 100000 экспериментов по 6 случайных величин в каждом

• Величины распределены по нормальному закону N(0,1)

3. Генерация данных

xi = np.random.normal(mu, sigma, (N, n_vars))

eta = np.sum(xi, axis=1)

• xi - матрица размером 100000×6 нормальных случайных величин

• eta - вектор сумм этих величин по строкам (100000 значений)

4. Визуализация распределения

Гистограмма:

plt.hist(eta, bins=50, density=True, alpha=0.6, color='g')

• Строит гистограмму с 50 интервалами

• density=True нормирует площадь под гистограммой к 1

Ядерная оценка плотности (KDE):

kde = gaussian_kde(eta)

plt.plot(x_grid, kde(x_grid), 'r-')

• Сглаживает гистограмму, давая непрерывную оценку плотности

• Использует гауссово ядро для сглаживания

5. Теоретическое распределение (ЦПТ)

theo_mu = n_vars * mu

theo_sigma = np.sqrt(n_vars * sigma**2)

По центральной предельной теореме:

• Среднее суммы = сумме средних (0)

• Дисперсия суммы = сумме дисперсий (6)

• Стандартное отклонение = √6 ≈ 2.449

6. Статистические характеристики

Вычисляются базовые статистики:

• Среднее (должно быть около 0)

• Дисперсия (должна быть около 6)

• Минимум/максимум для оценки размаха

7. Проверка нормальности (QQ-plot)

from scipy.stats import probplot

probplot(eta, plot=plt)

• Сравнивает квантили распределения с квантилями нормального

• Если точки лежат на прямой - распределение нормальное

Ключевые моменты:

1. Демонстрируется работа ЦПТ - сумма всего 6 величин уже близка к нормальному распределению

2. Сравниваются три подхода:

   • Эмпирическая гистограмма

   • Непараметрическая оценка плотности (KDE)

   • Теоретическая нормальная кривая

3. Проверяется нормальность распределения суммы

Программа позволяет исследовать, как ведет себя сумма случайных величин при разных N и n_vars, что важно для понимания статистических закономерностей.

Пример вывода покажет:

• Гистограмму и гладкую оценку плотности

• Основные статистические характеристики

• QQ-plot, подтверждающий нормальность распределения суммы

• Для n_vars=6 распределение суммы уже очень близко к N(0,√6)

Заключение

В ходе выполнения лабораторной работы я освоил численные методы для решения двух типов задач:

1. Поиск корней функций (метод Ньютона и бисекции)

2. Анализ распределения случайных величин (сумма независимых нормальных величин)

Что было особенно интересно:

• Метод Ньютона оказался быстрее, но иногда капризным — если производная близка к нулю, он может не сойтись.

• Метод бисекции работает медленнее, но зато гарантированно находит корень, если он есть в заданном интервале.

• Сумма случайных величин уже при n = 6 дает распределение, близкое к нормальному — это удивительно, ведь исходные величины могли бы вести себя хаотично, но нет, статистика работает!

Что было сложным:

• Подбор начального приближения для метода Ньютона (если взять точку далеко от корня, метод может "улететь").

• Понимание, почему KDE (ядерная оценка плотности) дает более гладкий график, чем гистограмма.

Где это можно применить:

• В инженерии (расчеты в физике, механике).

• В анализе данных (предсказание рисков, обработка сигналов).

• В машинном обучении (оптимизация моделей).

Вывод:

Работа помогла не только разобраться в теории, но и научиться применять методы на практике с помощью Python. Теперь я лучше понимаю, как: ✔ Искать корни уравнений разными способами. ✔ Анализировать распределения случайных величин. ✔ Визуализировать результаты для наглядности.

23