4.1.4 Задача 4. Проектировочный расчет балки, работающей на изгиб.

Задача 4

Исходные данные:

- l1 = 4 м

- l2 = 2 м

- l3 = 4 м

- Общая длина L = 10 м

- Распределенная нагрузка q = 12 кН/м

- Сосредоточенная сила F = -30 кН

- Изгибающий момент M = -24 кН·м

Схема задачи 4 КР 4 изображена на рисунке 27.

Рисунок 27 - Схема задачи 4 КР 4

Геометрические параметры:

Длина балки L = 10 м

Координаты приложения нагрузок:

• Начало распределенной нагрузки: a₁ = 0 м

• Конец распределенной нагрузки: b₁ = 4 м

• Точка приложения силы F₁: c₁ = 6 м

• Точка приложения силы F₂: c₂ = 4 м

Нагрузки:

• Распределенная нагрузка q₁ = 12 кН/м (на участке [0; 4] м)

• Сосредоточенная сила: F₁ = -30 кН (направлена вниз, в точке z = 6 м)

• Сосредоточенная сила: F₂ = +30 кН (направлена вверх, в точке z = 4 м)

• Сосредоточенный момент: M₁ = -24 кН·м (направлен по часовой стрелке)

• Тип закрепления: Жесткая заделка в точке A (z = 0)

Определение опорных реакций

Уравнение равновесия вертикальных сил:

Проверка правильности расчета

Уравнение равновесия моментов относительно точки B:

Начальные параметры

• Для жесткой заделки (z = 0):

• Прогиб: w₀ = 0

• Угол поворота: θ₀ = 0

РАСЧЕТ ПО УЧАСТКАМ

УЧАСТОК I (0 ≤ z ≤ 4 м)

Поперечная сила Q₁(z)

Изгибающий момент M₁(z)

Угол поворота EI·θ₁(z)

Прогиб EI·w₁(z)

УЧАСТОК II (4 ≤ z ≤ 6 м)

Поперечная сила Q₂(z)

Изгибающий момент M₂(z)

Угол поворота EI·θ₂(z)

Прогиб EI·w₂(z)

УЧАСТОК III (6 ≤ z ≤ 10 м)

Поперечная сила Q₃(z)

Изгибающий момент M₃(z)

Угол поворота EI·θ₃(z)

Прогиб EI·w₃(z)

Проверка непрерывности

В точке z = 4 м (стык участков I и II):

• M: 84 кН·м = 84 кН·м

• EI·θ: 208 кН·м² = 208 кН·м²

• EI·w: 288 кН·м³ = 288 кН·м³

В точке z = 6 м (стык участков II и III):

• M: 24 кН·м = 24 кН·м

• EI·θ: 316 кН·м² = 316 кН·м²

• EI·w: 832 кН·м³ = 832 кН·м³

Итоговые результаты

• Максимальный изгибающий момент 84 кН·м (в точке z = 4 м).

• Максимальная поперечная сила 48 кН (в заделке).

• Максимальный угол поворота 412/EI рад (на свободном конце).

• Максимальный прогиб 2288/EI м (на свободном конце).

• Особые точки M = 0 при z = 0.258 м и θ = 0 при z = 0.523 м.

Выводы

• Опорные реакции: M_A = -12 кН·м, R_A = 48 кН.

• Опасное сечение — в точке z = 4 м (максимальный момент 84 кН·м).

Подбор сечения

балка прямоугольного сечения, железобетон, соотношение сторон h=2b. Допускаемые напряжения для железобетона σadm=30 Мпа, τadm=10 МПа1.12. Примеры типоразмеров поперечных сечений балок в соответствии с существующим ассортиментом профиль 2 (железобетон) следует округлять до числа, кратного 10 мм: 100×200 мм, 110×220 мм, 120×240 мм, 130×260 мм, 140×280 мм, 150×300 мм, 160×320 мм, 180×360 мм, 200×400 мм. Профиль 2 типа размер «а» изображен на рисунке 28.

Рисунок 28 - Профиль 2 типа размер «а»

Исходные данные

• Максимальный изгибающий момент: |M_max| = 84 кН·м

• Максимальная поперечная сила: |Q_max| = 48 кН

• Материал: железобетон

• Соотношение сторон: h = 2b

• Допускаемые напряжения: σ_adm = 30 МПа; τ_adm = 10 МПа

Подбор поперечного сечения для железобетонной балки

Условие прочности по нормальным напряжениям:

Для прямоугольного сечения момент сопротивления:

При соотношении h = 2b:

Из условия прочности:

Решаем уравнение:

Следовательно:

h = 2b = 32.2 см. Из стандартных размеров выбираем ближайшее большее сечение:180×360 мм (b = 18 см, h = 36 см).

Проверяем прочность:

Проверка по касательным напряжениям

Условие прочности по касательным напряжениям:

Для прямоугольного сечения:

Проверяем для сечения 180×360 мм:

Нормальные напряжения:

Касательные напряжения:

Где:

- M - изгибающий момент в сечении

- y - расстояние от нейтральной оси

- I_x - момент инерции сечения относительно оси x

- Q - поперечная сила

- S_x^max - статический момент площади полусечения относительно оси x

Для сечения 180×360 мм:

Эпюра задачи 4 КР 4 изображена на рисунке 29.

Рисунок 29 - Эпюра задачи 4 КР 4