4.1.3 Задача 3. Проектировочный расчет балки, работающей на изгиб.
Задача 3
Исходные данные:
- l1 = 4 м
- l2 = 2 м
- l3 = 4 м
- Общая длина L = 10 м
- Распределенная нагрузка q = 12 кН/м
- Сосредоточенная сила F = -30 кН
- Изгибающий момент M = -24 кН·м
Схема задачи 3 КР 4 изображена на рисунке 25.
Рисунок 25 - Схема задачи 3 КР 4
Длина балки L = 10 м. Распределенная нагрузка q₁ = 12 кН/м на участке от a₁ = 4 м до b₁ = 6 м. Сосредоточенная сила F₁ = 30 кН в точке c₁ = 0 м. Сосредоточенный момент M₁ = 24 кН·м в точке d₁ = 6 м. Опора в точке B (z = 10 м) — жесткая заделка.
Определение реакций опор
Сумма моментов относительно точки B:
Сумма проекций сил на вертикальную ось:
Проверка (сумма моментов относительно точки A):
Начальные параметры
Начальный угол поворота θ₀:
Начальный прогиб w₀:
Построение эпюр
Участок I (0 ≤ z ≤ 4 м):
Поперечная сила Q:
Изгибающий момент M:
Угол поворота EI·θ:
Прогиб EI·w:
Участок II (4 ≤ z ≤ 6 м):
Поперечная сила Q:
Изгибающий момент M:
Угол поворота EI·θ:
Прогиб EI·w:
Участок III (6 ≤ z ≤ 10 м):
Поперечная сила Q:
Изгибающий момент M:
Угол поворота EI·θ:
Прогиб EI·w:
Ключевые результаты
Максимальный изгибающий момент: |Mₘₐₓ| = 444 кН·м (в заделке B)
Максимальная поперечная сила: |Qₘₐₓ| = 54 кН (на участке III)
Подбор сечения
Сечение из двух швеллеров. Длина балки: L = 10 м. Распределенная нагрузка: q₁ = 12 кН/м на участке от 4 м до 6 м. Сосредоточенная сила: F₁ = 30 кН в точке 0 м. Сосредоточенный момент: M₁ = 24 кН·м в точке 6 м..Опора в точке B (z = 10 м) — жесткая заделка. Допускаемые напряжения для стали: σₐdₘ = 160 МПа; τₐdₘ = 100 Мпа. Максимальный изгибающий момент: |M|ₘₐₓ = 444 кН·м. Максимальная поперечная сила: |Q|ₘₐₓ = 54 кН.
Определение требуемого момента сопротивления
Из условия прочности по нормальным напряжениям:
Так как сечение состоит из двух швеллеров, то требуемый момент сопротивления одного швеллера:
Из сортамента прокатной стали ГОСТ 8240-97 выбираем швеллер №33 с характеристиками:
Момент сопротивления: Wₓ = 1510 см³
Момент инерции: Iₓ = 24900 см⁴
Статический момент полусечения: Sₓ = 860 см³
Толщина стенки: b = 10 мм = 1 см
Для двух швеллеров:
Общий момент сопротивления: Wₓ = 2·1510 = 3020 см³
Общий момент инерции: Iₓ = 2·24900 = 49800 см⁴
Общий статический момент: Sₓ = 2·860 = 1720 см³
Суммарная толщина стенок: b = 2·10 = 20 мм = 2 см
Проверка прочности по нормальным напряжениям
Процент недогрузки:
Таким образом, сечение из двух швеллеров №33 удовлетворяет условию прочности по нормальным напряжениям.
Проверка прочности по касательным напряжениям
Поскольку 9,33 МПа < 100 МПа, прочность балки по касательным напряжениям обеспечена. Эпюра задачи 3 КР 4 изображена на рисунке 26.
Рисунок 26 - Эпюра задачи 3 КР 4