4.1.2 Задача 2. Проектировочный расчет балки, работающей на изгиб.
Задача 2
Исходные данные:
- l1 = 4 м
- l2 = 2 м
- l3 = 4 м
- Общая длина L = 10 м
- Распределенная нагрузка q = 12 кН/м
- Сосредоточенная сила F = -30 кН
- Изгибающий момент M = -24 кН·м
Схема задачи 2 КР 4 изображена на рисунке 22.
Рисунок 22 - Схема задачи 2 КР 4
Расстояние от начала до опоры A: L₁ = 4 м
Распределенная нагрузка: q₁ = 12 кН/м на участке от a₁ = 0 до b₁ = 6 м
Сосредоточенная сила: F₁ = 30 кН (вниз) в точке c₁ = 6 м
Сосредоточенный момент: M₁ = 24 кН·м (по часовой стрелке) в точке d₁ = 0 м
Определение опорных реакций
Сумма моментов относительно точки B:
Сумма моментов относительно точки A:
Проверка по сумме вертикальных сил:
Определение начальных параметров
Прогиб в точке A (z = L₁ = 4 м): wₐ = 0
Прогиб в точке B (z = L = 10 м): wʙ = 0
Уравнение прогиба в точке A:
Уравнение прогиба в точке B:
EI·wʙ = EI·w₀ + EI·θ₀·L + Rₐ·(L-L₁)³/6 - q₁·(L-a₁)⁴/24 + q₁·(L-b₁)⁴/24 - F₁·(L-c₁)³/6 + M₁·(L-d₁)²/2 = 0
EI·wʙ = EI·w₀ + EI·θ₀·10 + 60·(10-4)³/6 - 12·(10-0)⁴/24 + 12·(10-6)⁴/24 + 30·(10-6)³/6 + 24·(10-0)²/2 = 0
EI·wʙ = EI·w₀ + EI·θ₀·10 - 1192 = 0 (2)
Решение системы уравнений:
Из (2) - (1): EI·θ₀·6 - 1256 = 0
EI·θ₀ = 1256/6 = 209.333 кН·м²
Из (1): EI·w₀ = -EI·θ₀·4 - 64 = -209.333·4 - 64 = -901.333 кН·м³
Построение эпюр
Участок I (0 ≤ z ≤ 4 м):
Поперечная сила:
Изгибающий момент:
Угол поворота:
²
Прогиб:
Участок II (4 ≤ z ≤ 6 м):
Поперечная сила:
Изгибающий момент:
Угол поворота:
Прогиб:
Участок III (6 ≤ z ≤ 10 м):
Поперечная сила:
Изгибающий момент:
Угол поворота:
Прогиб:
Анализ результатов
Опорные реакции: Rₐ = 60 кН (вверх), Rʙ = -18 кН (вниз)
Максимальный изгибающий момент: Mₘₐₓ = -66 кН·м (в точке z = 5 м)
Максимальный прогиб: EI·wₘₐₓ = 231.17 кН·м³ (в точке z = 6.623 м)
Точка перегиба: z = 6.623 м (нулевой угол поворота)
Ддя балки с самым малым значением наибольшего изгибающего, профиль 3 по рис. 4.1.5(а: бревно или б: брус, соотношение сторон h=2b; в соответствии с вариантом (см. табл. 4.1.2)), материал древесина – сосна. Допускаемые напряжения: для сосны σadm =12 МПа; τadm =1,5 МПа. Размеры поперечных сечений профиля 2, 3 (рис. 4.1.5) принимают в соответствии с существующим ассортиментом, и принимают (см. пункт 1.12). Размер профиля 3 (древесина) следует округлять до числа: кратного 10 мм – балки прямоугольного сечения, и 20 мм – бревно (например, существующие размеры поперечных сечений деревянных балок: 100×200 мм, 120×240 мм; бревно диаметрами: d=100 мм, 120 мм, 240 мм, 280 мм). Для задачи необходим профиль б. Профиль 3 типа размер «б» изображен на рисунке 23.
Рисунок 23 - Профиль 3 типа размер «б»
Подбор сечения
Максимальный изгибающий момент: M_max = 66 кН·м = 66 × 10^3 Н·м
Максимальная поперечная сила: Q_max = 48 кН = 48 × 10^3 Н
Определение требуемого момента сопротивления
Выбор размеров бруса (профиль 3б)
Для прямоугольного
сечения с соотношением сторон h = 2b:
Согласно методическим указаниям, размеры поперечных сечений бруса принимают кратными 20 мм. Проверим возможные варианты:
Брус 200×400 мм (b = 200 мм, h = 400 мм)
Брус 220×440 мм (b = 220 мм, h = 440 мм)
Проверка по нормальным напряжениям
Проверка по касательным напряжениям
Вывод
Для данной балки подходит профиль 3б - брус из древесины сосны с размерами 220×440 мм.
Это сечение обеспечивает достаточный момент сопротивления (7098,67 см³ > 5500 см³). Выполнение условия прочности по нормальным напряжениям (9,297 МПа < 12 МПа). Выполнение условия прочности по касательным напряжениям (0,745 МПа < 1,5 МПа).
Согласно методическим указаниям, размеры поперечных сечений профиля 3 (брус) принимаются кратными 20 мм, поэтому выбранные размеры 220×440 мм соответствуют требованиям. Эпюра задачи 2 КР 4 изображена на рисунке 24.
Рисунок 24 - Эпюра задачи 2 КР 4