3.1.1 Задача 2. Проверочный расчет, расчет на деформативность статически неопределимых стержней, находящихся под действием продольных сил.
Исходные данные (Вариант 123320)
Согласно таблице 2.1, вариант расшифровывается следующим образом:
Сотни (3): 300⇒a=1.4 м, b=0.8 м.
Десятки (2): 20⇒c=1.2 м, d=1.0 м.
Единицы (0): 0⇒F1=700 кН, F2=500 кН, соотношение площадей A1:A2=3:2 (или A1=1.5A2), схема № 2.0 (рис. 2.2 ).
Параметры:
Модуль упругости: E=2⋅105 МПа.
Допускаемое напряжение: [σadm]=160 МПа.
Тип сечения: Круглое сечение (Тип 1)
Расчетная схема 2.0:
Схема задачи 1 КР 3 изображена на рисунке 17.
Рисунок 17 - Схема задачи 1 КР 3
Раскрытие статической неопределимости
Система один раз статически неопределима. Заменим правую заделку реакцией RB. Левую реакцию обозначим RA. Направим реакцию RA вправо (растяжение), а RB влево. Схема задачи 1 КР 3 с обозначенными участками сечений изображена на рисунке 18.
Рисунок 18 - Схема задачи 1 КР 3 с обозначенными участками сечений
Уравнение равновесия:
Уравнение перемещений:
Суммарное удлинение стержня равно нулю: Δl=0. Разобьем стержень на 4 участка и выразим внутренние продольные силы Ni через неизвестную реакцию RA (идя слева направо):
Участок I (1.4 м):
Участок II (0,8 м):
Участок III (1,2 м):
Участок IV (1 м):
Уравнения совместимости деформаций
Для всех участков стержня
Участок I:
Участок II:
Участок III:
Участок IV:
Требуемая площадь: A₁ = |341.81|/16 = 21.36 см²
По сортаменту (табл. 12 ГОСТ 2590-88):
d = 53 мм, A = 22.06 см² (ближайший больший стандартный размер)
Проверка напряжения:
Требуемая площадь: A₂ = |-358.19|/16 = 22.39 см²
По сортаменту (табл. 12 ГОСТ 2590-88):
d = 55 мм, A = 23.76 см² (ближайший больший стандартный размер)
Проверка напряжения:
Требуемая площадь: A₃ = |-358.19|/16 = 22.39 см²
По сортаменту (табл. 12 ГОСТ 2590-88):
d = 55 мм, A = 23.76 см² (совпадает с участком II)
Проверка напряжения:
Требуемая площадь: A₄ = |141.81|/16 = 8.86 см²
По сортаменту (табл. 12 ГОСТ 2590-88):
d = 34 мм, A = 9.079 см² (ближайший больший стандартный размер)
Проверка напряжения:
N_max = 358.19 кН
Требуемая площадь: A₂ ≥ N_max/[σ_adm] = 22.39 см²
Принимаем d = 55 мм (ближайший больший стандартный размер)
Фактическая площадь: A = 23.76 см² (из таблицы 12)
Для всех участков стержня: d = 55 мм, A = 23.76 см²
Участок I:
Участок II:
Участок III:
Участок IV:
Эпюра задачи 1 КР 3 изображена на рисунке 19.
Выводы: выполнил проверочный расчет, расчет на деформативность статически неопределимых стержней, находящихся под действием продольных сил.
Рисунок 19 - Эпюра задачи 1 КР 3
4. КР-4 Прочностные расчеты при деформации плоского изгиба прямого бруса
4.1. Прочностные расчеты статически определимых балок, работающих на изгиб
4.1.1 Задача 1. Проектировочный расчет балки, работающей на изгиб
Допускаемые напряжения:
• сталь: σadm=160 МПа; τadm=100 МПа;
• чугун: σadm=60 МПа, τadm =40 МПа;
• железобетон: σadm=30 МПа; τadm=10 МПа;
• древесина – сосна σadm =12 МПа; τadm =1,5 МПа.
• Сотни (№ 1): цифра 3
• Десятки (№ 2): цифра 2
• Единицы (№ 3): цифра 0
Схема задачи 1 КР 4 изображена на рисунке 20.
Дополнительные суммы для выбора схем и нагрузок:
• Σ(2+0)=Десятки+Единицы=2+0=2
• Σ(0+2+3)=Сотни+Десятки+Единицы=3+2+0=5
Рисунок 20 - Схема задачи 1 КР 4
Длины и Момент (по строкам №1, №2, №3):
• l1 (строка 3) = 4 м
• l2 (строка 2) = 2 м
• l3 (строка 0) = 4 м
• M (строка 0) = -24 кН·м (Знак «-» означает, что направление момента на схеме нужно поменять на противоположное).
Схема и Нагрузки (по сумме Σ(2+3)=2):
• Схема: № 6 (для всех задач 1-4 используется схема под индексом 6, т.е. 1.6, 2.6 и т.д.).
• q=12 кН/м.
• F=−30 кН (Знак «-» означает, что направление силы F нужно поменять на противоположное тому, что на рисунке).
Исходные данные:
- l1 = 4 м
- l2 = 2 м
- l3 = 4 м
- Общая длина L = 10 м
- Распределенная нагрузка q = 12 кН/м
- Сосредоточенная сила F = -30 кН
- Изгибающий момент M = -24 кН·м
Определение опорных реакций
Обозначим опоры: А (z = 0) и В (z = 10 м).
Уравнение моментов относительно точки B:
Уравнение моментов относительно точки A:
Проверка:
Построение эпюр
Участок I (0 ≤ z ≤ 6 м)
Поперечная сила Q:
Точка пересечения с осью: -12z + 48 = 0 => z1 = 4 м
Изгибающий момент M:
Угол поворота θ:
Прогиб w:
Участок II (6 ≤ z ≤ 10 м)
Поперечная сила Q:
Изгибающий момент M:
Угол поворота θ:
Прогиб w:
Анализ эпюр и характерных значений
Опорные реакции:
Реакция в опоре А: RA = 48 кН (направлена вверх). Реакция в опоре В: RB = -6 кН (отрицательное значение указывает на направление вниз). Наличие отрицательной реакции в опоре В говорит о том, что балка в этой точке "отрывается" от опоры, если бы не было закрепления. Это связано со значительной распределенной нагрузкой на левой части балки и восходящей сосредоточенной силой на правом конце.
Поперечная сила Q:
Максимальное значение |Qmax| = 48 кН в сечении z = 0 м (опора А). На участке 0 ≤ z ≤ 4 м поперечная сила положительна, на участке 4 ≤ z ≤ 10 м — отрицательна. В точке z = 4 м наблюдается смена знака Q, что соответствует экстремуму изгибающего момента
Изгибающий момент M:
Максимальное значение Mmax = 96 кН·м в сечении z = 4 м (совпадает с точкой, где Q = 0). На левой опоре (z = 0) и правой опоре (z = 10 м) момент равен нулю, что соответствует шарнирному закреплению. В точке приложения момента (z = 6 м) наблюдается скачок на величину 24 кН·м
Углы поворота и прогибы:
Максимальный прогиб |wmax| = 974.285/EI кН·м³ в сечении z = 4.80243 м.На опорах (z = 0 и z = 10 м) прогиб равен нулю, что подтверждает корректность расчета. Угол поворота меняет знак в точке z = 4.80243 м, что соответствует месту максимального прогиба.
Подбор сечения
Максимальный изгибающий момент: M_max = 96 кН·м = 96 × 10^3 Н·м
Максимальная поперечная сила: Q_max = 48 кН = 48 × 10^3 Н
Допускаемое нормальное напряжение: σ_adm = 160 МПа = 160 × 10^6 Па
Допускаемое касательное напряжение: τ_adm = 100 МПа = 100 × 10^6 Па
Материал балки: сталь Ст3 (модуль упругости E = 2 × 10^11 Па)
Требуется подобрать номер двутавра с учетом проверки прочности как по нормальным, так и по касательным напряжениям.
Геометрические характеристики двутавра №55
Высота балки: h = 550 мм = 0.55 м
Ширина полки: b = 180 мм = 0.18 м
Толщина стенки: d = 10.3 мм = 0.0103 м
Средняя толщина полки: t = 16.5 мм = 0.0165 м
Момент инерции: I_x = 55962 см^4 = 55962 × 10^-8 м^4 = 5.5962 × 10^-4 м^4
Момент сопротивления: W_x = 2035 см^3 = 2035 × 10^-6 м^3 = 2.035 × 10^-3 м^3
Статический момент полусечения: S_x = 1181 см^3 = 1181 × 10^-6 м^3 = 1.181 × 10^-3 м^3
Площадь поперечного сечения: A = 118 см^2 = 118 × 10^-4 м^2 = 0.0118 м^2
Масса 1 м длины: m = 92.6 кг/м
Проверка прочности по нормальным напряжениям
Максимальное нормальное напряжение определяется по формуле:
Сравниваем с допускаемым напряжением: σ_max = 47.176 МПа < σ_adm = 160 Мпа. Условие прочности по нормальным напряжениям выполняется.
Процент недогрузки по нормальным напряжениям:
Проверка прочности по касательным напряжениям
Максимальное касательное напряжение определяется по формуле:
Сравниваем с допускаемым напряжением: τ_max = 98.350 МПа < τ_adm = 100 Мпа. Условие прочности по касательным напряжениям выполняется. Процент недогрузки по касательным напряжениям:
В результате прочностного расчета принят двутавр №55 по ГОСТ 8239-89. Эпюра задачи 1 КР 4 изображена на рисунке 21.
Рисунок 21 - Эпюра задачи 1 КР 4