2.1.2. Задача 3. Проектировочный расчет, расчет на деформативность стержней, находящихся под действием продольных сил
Задача 3 Проектировочный расчет
Исходные данные
Вариант по зачетной книжке: ...320
• № 1 (Сотни) = 3
• № 2 (Десятки) = 2
• № 3 (Единицы) = 0
Параметры из Таблицы 2.3.1 и Таблицы 2.3.2:
Схема задачи 3 КР 2 изображена на рисунке 10.
Рисунок 10 - Схема задачи 3 КР 2
Длины участков:
• l1=1,6 м
• l2=1,0 м
• l3=1,0 м
• l4=1,4 м
• Нагрузки:
• F1=110 кН
• F2=50 кН
• F3=40 кН
Материал: Сталь, E=2⋅105 МПа, [σadm]=160 МПа.
Сечение: Круглое
Схема задачи 3 КР 2 с координатной осью Х изображена на рисунке 11
Рисунок 11 - Схема задачи 3 КР 2 с координатной осью Х
Расчет реакций опор и построение эпюры продольных сил (N)
Определение реакции опоры (R) Направим ось х вдоль стержня вправо.
Схема задачи 3 КР 2 с обозначенными участками сечений изображена на рисунке 12.
Рисунок 12 - Схема задачи 3 КР 2 с обозначенными участками сечений
Расчет по участкам:
Идём слева направо. Мысленно отсекаем правую часть.
Участок 1 (1,6 м):
Участок 2 (1,0 м):
Участок 3 (1 м):
Участок 4 (1,4 м):
Эпюра продольных сил N:
• Участки 1, 2 — растяжение (+).
• Участки 3, 4 — сжатие (-).
• Максимальная сила по модулю: ∣N∣max=120 кН.
Для обеспечения прочности должно выполняться условие:
Расчет для участка 1:
Подбор по сортаменту:
• сталь диаметром 31 мм с площадью сечения 7,548 см².
• Расчет для участка 2 (N₂ = 10 кН, растяжение)
Условие прочности:
• Подбор по сортаменту:
• Ближайший больший стандартный размер - круг Ø9 мм с площадью сечения 0,6362 см².
Расчет для участка 3 (N₃ = -40 кН, сжатие, l₃ = 1,0 м)
Подбор по сортаменту:
• Подбор по сортаменту таблица 12
• Для обеспечения устойчивости при длине 1,0 м выбрано сечение Ø18 мм
• Расчет для участка 4 (N₄ = -40 кН, сжатие, l₄ = 1,4 м)
Подбор сечения с учетом устойчивости:
Для обеспечения устойчивости при длине 1,0 м выбрано сечение Ø18 мм
Рассчитаем нормальные напряжения по формуле σ = N/A для каждого участка, используя фактические площади сечений:
Участок 1 (растяжение):
Участок 2 (растяжение):
σ₂ = N₂/A₂ = 10,000 Н / 63.62 мм² = 157.1 МПа (+)
Участок 3 (сжатие):
σ₃ = N₃/A₃ = -40,000 Н / 254.47 мм² = -157.2 МПа (-)
Участок 4 (сжатие):
σ₄ = N₄/A₄ = -40,000 Н / 254.47 мм² = -157.2 МПа (-)
Растянутые зоны («+»): участки 1 и 2
Сжатые зоны («-»): участки 3 и 4
σ₁ = 159.0 МПа, σ₂ = 157.1 МПа, σ₃ = σ₄ = -157.2 МПа
Продольные деформации участков
Рассчитаем деформации по формуле
, где E = 2·10⁵ Мпа
Участок 1 (растяжение):
Участок 2 (растяжение):
Участок 3 (сжатие):
Участок 4 (сжатие):
Общая деформация всего стержня:
Относительная продольная деформация стержня
Рассчитаем относительную деформацию по формуле
Общая длина стержня:
Ответ: нормальные напряжения: σ₁ = 159.0 МПа, σ₂ = 157.1 МПа, σ₃ = σ₄ = -157.2 Мпа. Продольные деформации: Δl₁ = 1.272 мм, Δl₂ = 0.786 мм, Δl₃ = -0.786 мм, Δl₄ = -1.100 мм. Общая деформация: Δl_общ = 0.172 мм. Эпюра задачи 3 КР 2 изображена на рисунке 13.
Рисунок 13 - Эпюра задачи 3 КР 2