2.1 Прочностные расчеты статически определимых стержней, находящихся под действием продольных сил
2.1.1. Задача 2. Проектировочный расчет, расчет на деформативность стержней, находящихся под действием продольных сил
Расчет продольных сил и напряжений стержня
1. Определение варианта (Исходные данные)
Шифр зачетной книжки: 123320. Расшифровка согласно инструкции:
• №1 (Сотни) — цифра 3
• №2 (Десятки) — цифра 2
• №3 (Единицы) — цифра 0
Используя Таблицу 2.2.1 и Схемы (Рис 2.1), выбираем данные:
• По №1 (3): a=1,6 м
• По №2 (2): F1=180 кН, b=1,4 м
• По №3 (0): F2=140 кН, F3=140 кН, Схема 0.
• Тип сечения квадрат
Схема задачи 2 КР 2 изображена на рисунке 5.
Рисунок 5 - Схема задачи 2 КР 2
Параметры материала:
Модуль упругости стали: E=2⋅105 МПа
Допускаемое напряжение: [σ]=160 МПа
Расчет реакций опор и построение эпюры продольных сил (N)
Определение реакции опоры (R) Направим ось х вдоль стержня вправо. Схема задачи 2 с координатной осью Х изображена на рисунке 6. Уравнение равновесия (сумма проекций сил на ось х):
Рисунок 6 - Схема задачи 2 КР 2 с координатной осью Х
(Примечание: На схеме 0 F1 направлена вправо, F2 и F3 — влево. Реакцию R направим вправо). Схема задачи 2 КР 2 с обозначенной реакцией R изображена на рисунке 7.
Рисунок 7 - Схема задачи 2 КР 2 с обозначенной реакцией R
Реакция положительная, значит, направление выбрано верно (вправо). Так как внешняя нагрузка сжимает стержень к стене, стена "отталкивает" его вправо.
Расчет продольных сил по участкам (Метод сечений) Разбиваем стержень на участки, границы которых определяются точками приложения сил и изменением сечения. Схема задачи 2 КР 2 с обозначенными участками сечений изображена на рисунке 8.
Рисунок 8 - Схема задачи 2 КР 2 с обозначенными участками сечений
Участок I (длина b=1,4 м, сечение A1): идём слева направо. Мысленно отсекаем правую часть.
(Сжатие, так как реакция R "вдавливает" сечение). Альтернативно (справа налево): N1=F1−F2−F3=180−140 −140=−100 кН.
Участок II (длина a=1,6 м, сечение A2): идём слева направо
Участок III (длина 1,0 м, сечение A2): идём слева направо
Участок IV (длина 0,2 м, сечение A2): идём слева направо
Результаты для эпюры N:
Уч. 1: −100 кН
Уч. 2: −100 кН
Уч. 3: −280 кН
Уч. 4: −140 кН
Подбор размеров поперечных сечений
Подбор размеров поперечных сечений
Условие прочности:
Отсюда требуемая площадь: A_req ≥ |N_max| / [σ].
А. Сечение A₁ (для Участка I) Максимальная сила на участке: |N₁| = 100 кН.
Б. Сечение A₂ (для Участков II, III, IV) Максимальная сила на этих участках (по модулю): |N₂| = 280 кН.
Выбор профиля из файла "Механика-МУ-сортамент." рассмотрим вариант Квадратного проката (ГОСТ 2591-88)
Для A₁ ≥ 6,25 см²:
• Сторона a = 25 мм → Площадь A = 6,25 см².
• Принимаем: Квадрат 25 × 25 мм (A₁ = 6,25 см²).
Для A₂ ≥ 17,50 см²:
• Сторона a = 42 мм → A = 17,64 см².
• Принимаем: Квадрат 42 × 42 мм (A₂ = 17,64 см²).
Проверка напряжений (σ)
Формула:
Перегрузка не должна превышать 5%.
Участок I:
Участок II:
Участок III (Максимально нагруженный):
(Недогрузка: (160 - 158,73) / 160 · 100% ≈ 0,8%.
Участок IV:
Расчет перемещений (Δl)
Формула:
где E = 2 · 10⁵ МПа = 2 · 10⁴ кН/см²
Участок I:
Участок II:
Участок III:
Участок IV:
Общее перемещение:
Относительная деформация:
Эпюра задачи 2 КР 2 изображена на рисунке 9.
Рисунок 9 - Эпюра задачи 2 КР 2