1.1. Задача 1. Расчет осевых моментов инерции простых плоских сечений сварной конструкции
Определяем параметры выборки:
№ 1 (сотни): 3
№ 2 (десятки): 2
№ 3 (единицы): 0
Рассчитываем контрольные суммы:
Σ(2−х) (десятки + единицы) = 2+0=2
Σ(5−х) (сумма последних пяти цифр) = 2+3+3+2+0=10
Геометрические параметры (по Таблице 1.1.1а)
По № 1 = 3: t = 100 мм (высота пластины/листа)
По № 1 = 3: l1 = 0 мм
По № 2 = 2: l3 = 4 м = 4000 мм
По № 3 = 0: l2 = 300 мм
По № 3 = 0: Схема № 2 (Пластина III посередине, Тело I сверху, Тело II снизу).
Выбор профилей (по Таблице 1.1.1б)
Для Σ(2−х)=2:
Тело I: Профиль № 8 → Два швеллера (коробчатое сечение).
Тело II: Профиль № 3 → Уголок неравнополочный.
Выбор типоразмеров (по Таблице 1.1.1в)
Для строки Σ(2−х)=2:
Тело I (типоразмер): берем Σ(2−х)=2.
По Таблице 2 (Швеллеры) для типоразмера 2: Швеллер № 6,5.
Тело II (типоразмер): берем Σ(5−х)=10.
По Таблице 4 (Уголки неравнополочные) для типоразмера 10: Уголок 40х30х5.
Характеристики элементов сечения
Выписываем геометрические характеристики из таблиц сортамента (Приложения). Все размеры переводим в см, площадь в см², моменты инерции в см⁴.
1. Тело I: Два швеллера № 6,5 (гост 8240-97), образующие коробку
Высота h=65 мм = 6,5 см
Ширина полки b=36 мм = 3,6 см
Площадь одного швеллера A=7,51 см²
Моменты инерции одного швеллера: Ix=48,6 см⁴;Iy=8,70 см⁴
Смещение центра тяжести z0=1,24 см
2. Тело II: Уголок неравнополочный 40х30х5 (гост 8510-86)
Размеры: B=40 мм (4 см), b=30 мм (3 см), t=5 мм
Площадь A=3,28 см²
Моменты инерции (отн. собственных центральных осей): Ix=5,04 см⁴; Iy=2,41 см⁴ (прим.: ось x перпендикулярна большей полке)
Координаты центра тяжести: x0=0,82 см; y0=1,32 см
3. Тело III: Стальной лист (Пластина)
Высота (толщина по вертикали) Hpl=t=100 мм = 10 см
L=430 см
Площадь A=10⋅430=4300 см².
Разбивка конструкции на простые сечения. Составное сечение состоит из следующих элементов:
Элемент 1: Швеллер с уклоном полок по ГОСТ 8240-97 № 6,5У
Элемент 2: Швеллер с уклоном полок по ГОСТ 8240-97 № 6,5У (зеркальный)
Элемент 3: Лист 4300 × 100 мм
Элемент 4: Неравнополочный уголок по ГОСТ 8510-86* L40×30×5 (установлен под углом 90°). Элементы состава составного сечения изображены на рисунке 1.
Рисунок 1 - Элементы состава составного
Выбор положения координатных осей X₀Y
Принимаем систему координат X₀Y с началом в левом нижнем углу листа (элемента 3). Ось X₀ направлена горизонтально вправо, ось Y₀ - вертикально вверх. Схема положений точек центра тяжести элментов сечения изображены на рисунке 2.
Рисунок 2 - Схема положений точек центра тяжести элментов сечения
Расчетная схема и координаты центров тяжести
Принимаем глобальную систему координат XOY:
Начало координат (0;0) в нижнем левом углу листа (Тела III).
Ось X вправо вдоль низа листа, ось Y вверх.
Чертеж с геометрическими характеристиками сечения изображены на рисунке 3.
Рисунок 3 - Чертеж с геометрическими характеристиками сечения
Координаты собственных центров тяжести элементов (Ci):
Элемент 1 (Два швеллера сверху): стоят на листе.
Элемент 2 (Уголок снизу): Висит под листом. Ориентация: длинная полка (40мм) вертикально вниз, короткая (30мм) горизонтально вправо. Уголок крепится к низу листа. y0=1,32 см — это расстояние от внешней грани короткой полки до ц.т. по вертикали, если уголок стоит).
Уточнение по ГОСТ для 40х30х5 - x0=0,82 и y0=1,32 . Вертикальная координата (вниз от 0) - −y0=−3-0,82=-2,18 см. Горизонтальная координата - хc2=430-x0=430-1,32=428,68 см.
Элемент 3 (Лист):
Геометрические характеристики составного сечения
Чертеж с подробными характеристиками центров тяжести сечения изображены на рисунке 4.
Рисунок
4 - Чертеж с подробными характеристиками
центров тяжести сечения изображены
Площадь и статические моменты
Площади элементов:
A1=2⋅7,51=15,02 см²(два швеллера)
A2=3,28 см²(уголок)
A3=4300 см²(пластина)
Общая площадь: Asum=15,02+3,28+4402=4318,3 см²
Статические моменты относительно осей X и Y:
Статический момент относительно оси Y0
Статические моменты относительно оси X₀X (горизонтальной):
Суммы статических моментов относительно осей X и Y
Координаты центра тяжести всего сечения (Xc,Yc)
(Примечание: Центр тяжести практически совпадает с центром тяжести листа из-за его огромной массы по сравнению с профилями)
Расчет главных центральных моментов инерции
Моменты инерции рассчитываются относительно осей Xc и Yc, проходящих через найденный центр тяжести, по формуле:
где di — расстояние от собственной оси элемента до главной центральной оси.
Для сечения из 2-ух швеллеров, имеем:
Далее из двух моментов Ix и Iy выбирается наименьший, который и используется в расчёте.
Характеристики элементов:
Тело I (Швеллеры 2 шт): A/2=3,755см²,
ai := 214,427 - 3,6 = 210,827
bi := 5,0232 - 13,25 = -8,2268
Тело II (Уголок): A2=3,28 см², Ix02=5,04 см
Тело III (Пластина): A3=4300 см²,
Расчет осевого момента инерции Ixc
Формула:
, где ai=yi−Yc.
Тело I (Швеллеры):
Далее из двух моментов Ix и Iy выбирается наименьший, который и используется в расчёте. 1746,5292 см⁴
Тело II (Уголок):
Тело III (Пластина):
Плечо: a3=5,0232−5,0=0,0232 см.
Итоговый Ixc:
Расчет осевого момента инерции Iyc
Формула:
, где bi=xi−Xc.
Тело I (Швеллеры):
Далее из двух моментов Ix и Iy выбирается наименьший, который и используется в расчёте. 1746,5292 см⁴
Тело II (Уголок):
Тело III (Пластина):
Итоговый Iyc:
Для составного сечения получены следующие характеристики:
Координаты центра тяжести:
Xc=214,427 см
Yc=5,0232 см
Главные центральные моменты инерции:
Ix=37 758 см⁴
Iy=6,60⋅10^7 см⁴
Выводы: выполнил расчет осевых моментов инерции простых плоских сечений сварной конструкции.
КР-2 Прочностные расчеты при деформации осевого растяжения – сжатия