6.1 Прочностные расчеты статически определимого бруса при деформации кручения
6.1.1 Задача 1. Проектировочный расчет, расчет на деформативность бруса, работающего на кручение
Расшифровка варианта
На основании правил выбора варианта:
№ 1 (Сотни): Предпредпоследняя цифра — 3 (...320).
№ 2 (Десятки): Предпоследняя цифра — 2 (...320).
№ 3 (Единицы): Последняя цифра — 0 (...320).
Суммы для выбора нагрузок:
Σ(2−х) (сумма двух последних цифр): 2+0=2.
Σ(3−х) (сумма трех последних цифр): 3+2+0=5.
Свойства материала (Сталь):
Допускаемое напряжение: τadm=80 МПа.
Модуль сдвига: G=8⋅104 МПа.
Часть 1: Задачи 1, 2, 3
Задача 1
l1=3 м, l2=2 м, l3=4 м, l4=3 м.
M1=8 кНм, M2=20 кНм, M3=30 кНм.
Схема задачи 1 КР 6 изображена на рисунке 45.
Рисунок 45 - Схема задачи 1 КР 6
Расчет:
Исходные данные и расчетная схема
Длины участков: l₁ = 3 м, l₂ = 2 м, l₃ = 4 м, l₄ = 3 м.
Внешние моменты: M₁ = 8 кНм (против M₀), M₂ = 20 кНм (по M₀), M₃ = 30 кНм (против M₀).
Правило знаков: Момент положителен, если вращает вал против часовой стрелки.
Материал: Сталь
Допускаемое касательное напряжение: [τ] = 80 МПа = 80 · 10^6 Па
Модуль сдвига: G = 8 · 10^10 Па
Тип сечения: Сплошной круглый вал
Построение эпюры крутящих моментов (T)
Участок 1 (0...3 м):
Участок 2 (3...5 м):
Участок 3 (5...9 м):
Участок 4 (9...12 м):
Максимальный момент: T_max = 30 кНм (участок 3).
Подбор диаметра вала (d)
Формула:
Расчет:
Принято: d = 125 мм (ГОСТ 6636-69).
Проверка прочности
Полярный момент сопротивления:
Максимальное напряжение:
Сравнение: 78.23 МПа < 80 МПа — условие выполнено.
Расчет углов закручивания
Полярный момент инерции:
Общий коэффициент: G · Iₚ = 1.9176 · 10⁶ Н·м².
Подробный расчет углов по участкам:
Участок 1 (0-3 м):
Участок 2 (3-5 м):
Участок 3 (5-9 м):
Участок 4 (9-12 м):
Относительные углы:
Суммарные углы:
- После участка 1 (3 м): 0.02816 рад
- После участка 2 (5 м): 0.03859 рад
- После участка 3 (9 м): 0.10117 рад
- На конце (12 м): 0.10117 рад
Расчет касательных напряжений
Геометрические характеристики:
d = 125 мм = 0.125 м
R = d/2 = 0.0625 м
Iₚ = 2.397·10⁻⁵ м⁴
Wₚ = 3.835·10⁻⁴ м³
Максимальные напряжения по участкам:
Участок 1 (T₁ = 18 кНм):
Участок 2 (T₂ = 10 кНм):
Участок 3 (T₃ = 30 кНм):
Участок 4 (T₄ = 0 кНм):
Проверка прочности:
Участок 1: 46.94 МПа < 80 МПа
Участок 2: 26.08 МПа < 80 МПа
Участок 3: 78.23 МПа < 80 МПа
Участок 4: 0 МПа < 80 МПа
Эпюра задачи 1 КР 6 изображена на рисунке 46.
.
Рисунок 46 - Эпюра задачи 1 КР 6 изображена на рисунке 46.
6.1.2 Задача 2. Проектировочный расчет, расчет на деформативность бруса, работающего на кручение
Задача 2
Исходные данные:
Длины участков l₁ = 3 м, l₂ = 2 м, l₃ = 4 м, l₄ = 2 м
Внешние моменты M₁ = 30 кНм, M₂ = 20 кНм, M₃ = 8 кНм, M₄ = 12 кНм
Материал сталь
Допускаемое касательное напряжение [τ] = 80 МПа = 80·10⁶ Па
Модуль сдвига: G = 8·10¹⁰ Па
Тип сечения сплошной круглый вал
Схема задачи 2 КР 6 изображена на рисунке 47.
Рисунок 47 - Схема задачи 2 КР 6
Определение внутренних силовых факторов (крутящих моментов)
Участок 1 (заделка → D, l₁ = 3 м):
Участок 2 (D → C, l₂ = 2 м):
Участок 3 (C → B, l₃ = 4 м):
Участок 4 (B → конец, l₄ = 2 м):
Максимальный момент: |T_max| = 16 кНм
Подбор поперечного сечения по условиям прочности
Формула подбора диаметра:
Выбираем стандартный диаметр: d = 105 мм (105 мм > 100.6 мм)
Проверка касательных напряжений
Полярный момент сопротивления:
Максимальное напряжение:
Сравнение с допускаемым:
70.39 МПа < [τ] = 80 МПа → условие прочности выполняется
Формула:
Участок 1:
Участок 2:
Участок 3:
Участок 4:
Расчет относительных углов поворота сечений (θ, рад/м)
Полярный момент инерции:
Жесткость сечения:
Относительные углы закручивания:
Участок 1:
Участок 2:
Участок 3:
Участок 4:
Расчет угловых перемещений (φ, рад) и построение эпюры
Сечение D:
Сечение C:
Сечение B:
Свободный конец:
Итоговые данные:
Внутренние моменты: T₁ = -14 кНм, T₂ = +16 кНм, T₃ = -4 кНм, T₄ = -12 кНм
Диаметр вала: d = 105 мм
Максимальное напряжение: τ_max = 70.39 МПа (запас прочности 12%)
Относительные углы закручивания: θ₁ = -0.01467, θ₂ = +0.01676, θ₃ = -0.00419, θ₄ = -0.01257 рад/м
Угловые перемещения: φ_D = -0.0440, φ_C = -0.0105, φ_B = -0.0273, φ_конец = -0.0524 рад
Эпюра задачи 2 КР 6 изображена на рисунке 48.
Рисунок 48 - Эпюра задачи 2 КР 6