4.2. Прочностные расчеты статически определимых многопролетных консольно-шарнирных балок, работающих на изгиб
4.2.1 Задача 5. Проектировочный расчет многошарнирной балки, работающей на изгиб
Данные для Задачи 5 (Таблицы 4.2.1а, 4.2.1б, 4.2.1в)
l1 (Сотни=3) = 2,4 м; M=−13 кН·м.
l2 (Десятки=2) = 14,2 м
l3 (Единицы=0) = 1,2 м.
Схема и Нагрузки:
Схема (по Σ=2): № 1.
q (по Σ=2) = 8 кН/м.
F1 (по Σ=2) = -10 кН.
F2 (по Σ=5) = -5 кН (меняем направление).
Тип сечения два швеллера
Допускаемые напряжения: сталь: σadm=160 МПа; τadm=100 МПа;
Схема задачи 5 КР 4 изображена на рисунке 30.
Рисунок 30 - Схема задачи 5 КР 4
Профили поперечного сечения изображен на рисунке 31.
Рисунок 31 - Профили поперечного сечения
Схема задачи 5 КР 4 с заданными связями и нагрузками изображена на рисунке 32.
|
|
Рисунок 32 - Схема задачи 5 КР 4 с заданными связями и нагрузками
Схема задачи 5 КР 4 с обозначенными участками изображена на рисунке 33.
Рисунок 33 - Схема задачи 5 КР 4 с обозначенными участками
Участок 1 ( F - G)
Для удобства расчетов принимаем точки F,G на А* и В*. Так как рассчет производтся по участкам.В конце расчета проводится проверка и общий график. Схема задачи 5 участка 1 КР 4 изображена на рисунке 34.
|
|
Рисунок 34 - . Схема задачи 5 участка 1 КР 4
Реакции опор
Сумма моментов всех сил относительно точки B должна равняться нулю:
Сумма моментов всех сил относительно точки A должна равняться нулю:
Для проверки вычислим сумму проекций всех сил на вертикальную ось:
Методика построения эпюр
Составим аналитические выражения Q(z) и M(z) для каждого участка и вычислим их значения в характерных точках.
Участок I (0 ≤ z ≤ 1.2):
Поперечная сила Q:
Изгибающий момент M:
Участок II (1.2 ≤ z ≤ 1.5):
Поперечная сила Q:
Изгибающий момент M:
Эпюра задачи 5 участка 1 КР 4 изображена на рисунке 35.
Рисунок 35 - Эпюра задачи 5 участка 1 КР 4
Участок 2 (D – E)
Для удобства расчетов принимаем точки D,E на А* и В*. Так как рассчет производтся по участкам.В конце расчета проводится проверка и общий график с учетом всех точек. Схема задачи 5 участка 2 КР 4 изображена на рисунке 36.
|
|
Рисунок 36 - Схема задачи 5 участка 2 КР 4
Реакции опор
Сумма моментов всех сил относительно точки B должна равняться нулю:
Сумма моментов всех сил относительно точки A должна равняться нулю:
Для проверки вычислим сумму проекций всех сил на вертикальную ось:
Методика построения эпюр
Составим аналитические выражения Q(z) и M(z) для каждого участка и вычислим их значения в характерных точках.
Участок I (0 ≤ z ≤ 7.1):
Поперечная сила Q:
Изгибающий момент M:
Участок II (7.1 ≤ z ≤ 10.65):
Поперечная сила Q:
Изгибающий момент M:
Участок III (10.65 ≤ z ≤ 10.95):
Поперечная сила Q:
Изгибающий момент M:
Эпюра задачи 5 участка 2 КР 4 изображена на рисунке 37.
Рисунок 37 - Эпюра задачи 5 участка 2 КР 4
Участок 3 (В – С)
Для удобства расчетов принимаем точки В,С на А* и В*. Так как рассчет производтся по участкам.В конце расчета проводится проверка и общий график. Схема задачи 5 участка 3 КР 4 изображена на рисунке 38.
|
|
Рисунок 38 - Схема задачи 5 участка 3 КР 4
Реакции опор
Сумма моментов всех сил относительно точки B должна равняться нулю:
Сумма моментов всех сил относительно точки A должна равняться нулю:
Для проверки вычислим сумму проекций всех сил на вертикальную ось:
Методика построения эпюр
Составим аналитические выражения Q(z) и M(z) для каждого участка и вычислим их значения в характерных точках.
Участок I (0 ≤ z ≤ 1.2):
Поперечная сила Q:
Изгибающий момент M:
Участок II (1.2 ≤ z ≤ 4.75):
Поперечная сила Q:
Изгибающий момент M:
Эпюра задачи 5 участка 3 КР 4 изображена на рисунке 39.
Рисунок
39 - Эпюра задачи 5 участка 3 КР 4
Участок 4 (А – В)
Для удобства расчетов принимаем точки А* и В*. Так как рассчет производтся по участкам.В конце расчета проводится проверка и общий график с учетом всех точек. Схема задачи 5 участка 4 КР 4 изображена на рисунке 40.
|
|
Рисунок 40 - Схема задачи 5 участка 4 КР 4
Реакции опор
Сумма моментов всех сил относительно точки A должна равняться нулю:
Сумма проекций всех сил на вертикальную ось должна равняться нулю:
Для проверки вычислим сумму моментов всех сил относительно точки B:
Методика построения эпюр
Составим аналитические выражения Q(z) и M(z) для каждого участка и вычислим их значения в характерных точках.
Участок I (0 ≤ z ≤ 1.2):
Поперечная сила Q:
QI(z) = RA - q1(z - a1) = -38.4764 - 8(z - 0) = -8z - 38.4764;
Значения Q на краях отрезка:
QI(0) = -8·0 - 38.4764 = -38.4764 кН;
QI(1.2) = -8·1.2 - 38.4764 = -48.0764 кН;
Изгибающий момент M:
MI(z) = MA + RA z - q1(z - a1)2/2 = 51.93168 - 38.4764z - 8(z - 0)2/2 = 51.93168 - 38.4764z - 8z2/2 = -4z2 - 38.4764z + 51.9317;
Значения M на краях отрезка:
MI(0) = -4·02 - 38.4764·0 + 51.9317 = 51.9317 кНм;
MI(1.2) = -4·1.22 - 38.4764·1.2 + 51.9317 = 0;
Эпюра задачи 5 участка 4 КР 4 изображена на рисунке 41.
Рисунок 41 - Эпюра задачи 5 участка 4 КР 4
Сумма моментов всех внешних сил относительно точки A (жесткая заделка слева):
Подбор сечения
Максимальный изгибающий момент: Mmax = 63,4517 кН·м
Допускаемые напряжения:
сталь: σadm=160 МПа; τadm=100 МПа;
тип сечения – два швеллера
Из эпюр (рис. участка 3) имеем: |M|max = 63,4517 кН·м; |Q|max = 57,6764 кН.
Отмечаем опасные сечения:
I-I опасное сечение соответствует Mmax, в 1-й опасной точке в сечении возникают максимальные нормальные напряжения σmax;
II-II опасное сечение соответствует Qmax, во 2-й опасной точке в сечении возникают максимальные касательные напряжения τmax. Из условия прочности балки по нормальным напряжениям имеем:
Для двух швеллеров требуемый момент сопротивления одного швеллера:
Из сортамента прокатной стали ГОСТ 8240-97 (см. табл. 8) по величине момента сопротивления выбираем ближайший номер швеллера. Принимаем №24, с моментом сопротивления Wx = 242 см³.
Проверяем это сечение на прочность по нормальным напряжениям:
Таким образом, сечение из двух швеллеров №24 удовлетворяет условию прочности по нормальным напряжениям.
Проверим прочность балки по касательным напряжениям:
где Sx – статический момент площади полусечения относительно оси x;
Ix – момент инерции сечения относительно оси x;
b – толщина стенки швеллера.
Для швеллера №24:
Sx = 163 см³, Ix = 2900 см⁴, d = 5,6 мм.
Для двух швеллеров:
Sx_total = 2·Sx = 326 см³
Ix_total = 2·Ix = 5800 см⁴
b_total = 2·d = 11,2 мм
Прочность балки по касательным напряжениям обеспечена. В заключение, сечение из двух швеллеров №24 удовлетворяет условиям прочности по нормальным и касательным напряжениям. Эпюра задачи 5 КР 4 изображена на рисунке 42.
Выводы: выполнил прочностные расчеты статически определимых балок, работающих на изгиб и прочностные расчеты статически определимых многопролетных консольно-шарнирных балок, работающих на изгиб.
Рисунок 42 - Эпюра задачи 5 КР 4
КР-5 Прочностные расчеты при деформации продольного изгиба