Лабораторные работы 4 семестр / Лабораторная работа 3 ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ / third

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра ТОЭ

отчет

по лабораторной работе №3

по дисциплине «Теоретические основы электротехники»

Тема: ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Студенты гр. 4404		Комарницкий М.С.
		Коншин М. В.
Преподаватель		Епанчинов Д.А.

Санкт-Петербург

2026

Цель работы.

Изучение связи между видом свободного процесса в электрической цепи и расположением ее собственных частот (корней характеристического уравнения) на комплексной плоскости; экспериментальное определение собственных частот и добротности RLC-контура по осциллограммам.

Основные теоретические положения и расчётные формулы.

Схема установки исследования свободных процессов в электрических цепях представлена на рисунке 1.

Р ис. 0. Схема установки исследования свободных процессов в электрических цепях: а – первого порядка, б – второго порядка, в – третьего порядка.

1. Формула для расчета собственной частоты p₁ (Гц) у цепи первого порядка: p₁ = , где R – сопротивление резистора (Ом), C – емкость конденсатора (Ф).

Собственная частота p₁ по осциллограмме:

p₁= -α = , где α – постоянная затухания, для осциллограммы: α= , – постоянная времени. И U₁ – напряжение по осциллограмме в момент времени t₁, U₂ - напряжение по осциллограмме в момент времени t₂. Δt = t₂-t₁

2. Формула для расчета собственной частоты p_1,2 (Гц) у цепи второго порядка при колебательном процессе: p_1,2 = -α ± *j, где

α = R₁/(2L), ₀ = 1/ . L – индуктивность катушки (Гн).

Частота ω = , где T – период.

Собственная частота p_1,2 по осциллограмме должная удовлетворять условию Δt=T!

3. Формула для расчета собственной частоты p_1,2 = p₁ = p₂ по осциллограмме для критического режима:

p_1,2=-α = , где

t_m – момент наступления максимума.

4. Формула для расчета экспериментальной добротности цепи второго порядка Q:

Q =

5. Формула для расчета теоретической добротности Q цепи второго порядка: Q=

Экспериментальные результаты.

Для схемы б: C = 0,02 мкФ, L = 25 мГн. Сопротивление критического режима R­­­_к = 2 кОм.

Количество фотографий: 9

Обработка результатов эксперимента.

3.2.1. Исследование свободных процессов в цепи первого порядка

Рисунок 1. Схема установки исследования свободных процессов в электрических цепях первого порядка

Рисунок 2. Осциллограмма для исследования цепи первого порядка (R = 5кОм)

1 деление по оси y = 0.1 В. 1 деление по оси x = 0.1 мс

По снятой осциллограмме определим собственную частоту цепи

U₁ = 0.2 В. t₁ = 0.06 мс

U₂ = 0.1 В. t₂ = 0.12 мс

p = -α (постоянная затухания) = - = - = - =

Вопросы:

1. Каким аналитическим выражением описывается осциллографируемый процесс?

Ответ: осциллографируемый процесс описывается выражением:

U_C(t) = Ae^-10000t

2. Соответствует ли найденная собственная частота теоретическому расчету, выполненному согласно (3.1)?

Ответ:

Теоретическая собственная частота цепи:

p_теор = = -10 000 с^-1

Найденная собственная частота (- ) примерно соответствует теоретическому расчёту (-10000).

3.2.2. Исследование свободных процессов в цепи второго порядка.

C = 0,02 мкФ, L = 25 мГн.

Рисунок 3. Схема установки исследования свободных процессов в электрических цепях второго порядка

Осциллограмма на резисторе при значении (колебательный режим):

1 деление по оси y = 50 мВ. 1 деление по оси x = 0.1 мс

U1 = 0.09 В. t1 = 0.09 мс

U2 = 0.05 В. t2 = 0.14 мс

p_1,2=-α ± jω= ; α = = = 11755,7333с^-1

ω = = 52359,87756 с^-1

p_1,2 ≈ 11756±52360*j с^-1

Теоретическая собственная частота цепи:

Осциллограмма на резисторе при значении (апериодический режим):

1 деление по оси y = 50 мВ. 1 деление по оси x = 0.1 мс

U1 = 0.1 В. t1 = 0.1 мс

U2 = 0.01 В. t2 = 0.14 мс

Собственная частота цепи по осциллограмме:

p_1,2=-α ± jω= ; α = = = 57564,62732 с^-1

ω = = = 31415,92654 с^-1

Теоретическая собственная частота цепи:

Рисунок 4.Осциллограмма при R = 0

Осциллограмма критического режима (R = 2кОм):

t_m = 0.01мс

Собственная частота цепи по осциллограмме (t_m=0,07*10^-3с):

p_1,2=-α = = = 50000 с^-1

Теоретическая собственная частота цепи при R₁=R_кр=2 кОм:

p_1,2 = -α ± ;

α = R₁ / (2L) = 2·10³ / (2·25·10⁻³) = 2·10³ / 0,05 = 4·10⁴

ω₀² = 1 / (LC) = 1 / (25·10⁻³ · 0,02·10⁻⁶) = 2·10⁹

α² = (4·10⁴)² = 1,6·10⁹

p₁,₂ = -α ± √(α² − ω₀²)

α² − ω₀² = 1,6·10⁹ − 2·10⁹ = -4·10⁸

√(α² − ω₀²) = j·2·10⁴

p₁,₂ ≈ -40000 ± 20000* j с⁻¹

Добротность контура при R₁ = 0,5 кОм.

Q= = = 5,34478

Добротность контура при R₁ = 0 Ом.

Находим логарифмический декремент затухания для 10 периодов:

ln(0,42/0,5​)=ln(1,19)≈0,174

Вычисляем добротность:

Q = = 180

Вопросы:

3. Какими аналитическими выражениями (в общем виде) опи-

сываются процессы во всех четырех случаях?

Ответ: Во всех четырех случаях графики процессов описываются аналитическим выражением:

где - постоянные интегрирования, - порядок цепи;

4. Соответствуют ли найденные собственные частоты теоретическому расчету, выполненному согласно (3.2)?

Ответ: найденные собственные частоты примерно соответствуют теоретическим расчётам.

5. Каковы теоретические значения собственных частот при R₁ = 3 кОм и соответствует ли этим значениям снятая осциллограмма?

Ответ: Теоретическая собственная частота цепи равна Ей примерно соответствуют значения, снятые осциллографом (57564) .

6. Как соотносятся найденные значения добротности с результатами теоретического расчета по формуле (3.9)?

Ответ:

Теоретическое значение добротности при R = 0 стремится к бесконечности.

Теоретическое значение добротности при R = 0.5 кОм: , что примерно соответствует найдённому (5,34).

3.2.3. Исследование свободных процессов в цепи третьего порядка

Рисунок 5. Схема установки исследования свободных процессов в электрических цепях третьего порядка

Рисунок 6. Осциллограмма для исследования цепи третьего порядка

Вопросы:

7. Каким аналитическим выражением описывается осцилло-

графируемый процесс?

Ответ: Свободный процесс в цепи третьего порядка описывается суммой трёх экспонент: u(t)=A₁​e^p₁^​t + A₂​e^p₂^​t + A₃​e^p₃^​t

Если подкоренное выражение отрицательное → будут затухающие колебания.

Если положительное → апериодический процесс.

8. Каковы значения собственных частот, вычисленные согласно (3.3), и соответствует ли этим значениям снятая осциллограмма?

Ответ:

RC=5000⋅2⋅10⁻⁸=1⋅10⁻⁴

p₁ = -10000 с⁻¹

= = 25000

Отрицательное значение, следовательно, корни комплексные.

p_2,3 ​= −25000±61450*j

Процесс — затухающие колебания.

Так как α₂² − (2 + R₁/R)/(LC) < 0, собственные значения p₂,₃ являются комплексно-сопряжёнными. Следовательно, свободный процесс носит колебательный затухающий характер. Снятая осциллограмма подтверждает наличие затухающих колебаний, что соответствует расчётным значениям собственных частот.

Вывод.

В ходе выполнения лабораторной работы была изучена связь между видом свободного процесса в электрической цепи и расположением её собственных частот на комплексной плоскости. Экспериментально исследованы свободные процессы в цепях первого, второго и третьего порядка, а также определены собственные частоты и добротность RLC-контура по осциллограммам.

По результатам обработки осциллограмм установлено, что характер переходного процесса (апериодический, колебательный или критический) определяется расположением корней характеристического уравнения: при действительных отрицательных корнях наблюдается апериодический процесс, при комплексно-сопряжённых — затухающие колебания. Экспериментально полученные осциллограммы подтверждают теоретические выводы о зависимости вида процесса от соотношения параметров R, L и C.

Найденные экспериментальные значения собственных частот в целом соответствуют теоретическим расчётам, однако имеют определённые расхождения по численным значениям. Данные отличия можно объяснить погрешностями измерений, неточностью считывания параметров по осциллограмме, а также возможным отличием реальных значений индуктивности, ёмкости и сопротивления от их номинальных значений.

Полученные значения добротности также близки к расчётным: при уменьшении сопротивления добротность возрастает, что подтверждает теоретическую зависимость Q = √(L/C) / R. В предельном случае при R → 0 добротность стремится к бесконечности, что соответствует практически незатухающим колебаниям.

Таким образом, цель работы достигнута: экспериментально подтверждена связь между расположением собственных частот на комплексной плоскости и характером свободного процесса в электрической цепи различных порядков.